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FI 12 15 19 10 12 rete Carico di collasso orizzontale di un palo secondo Broms. Sabbia .pdf



Nome del file originale: FI 12 15 19-10-12 rete Carico di collasso orizzontale di un palo secondo Broms. Sabbia.pdf
Titolo: FI 12 15 19-10-12 rete Carico di collasso orizzontale di un palo secondo Broms. Sabbia
Autore: Pasquale

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Corso di Fondazioni I Ing Edile Anno 2012/2013 Pasquale De Simone
FI 12 15 19-10-12 rete Carico di collasso orizzontale di un palo secondo Broms. Sabbia
15.1 Terreno incoerente. Palo vincolato. Schema di Broms. Plinto sul piano campagna
15.1.1 Meccanismo di palo rigido o corto
15.1.2 Meccanismo di palo intermedio. L’approssimazione di Broms
15.1.3 Meccanismo di palo lungo
15.2 Terreno incoerente. Palo libero di ruotare
15.2.1 Meccanismo di palo corto
15.2.2 Meccanismo di palo lungo

15.1 Terreno incoerente. Palo vincolato. Schema di Broms. Plinto sul piano campagna
Nel caso di un terreno incoerente (sabbia o argilla normal consolidata drenata) avente peso
dell’unità di volume γ (in falda γ’) ed angolo di attrito ϕ (ϕ’), si assume con Broms che la reazione
del terreno sul palo per unità di lunghezza del palo in condizioni di rottura sia proporzionale alla
profondità z, avendo valore 3KpγBz (con Kp coefficiente di spinta passiva). Con questa legge di
distribuzione delle reazioni sul palo la trattazione risulta molto più semplice nel caso (ipotetico) di
plinto a piano campagna, che è lo schema trattato da Broms. Di seguito si procede secondo questa
ipotesi, esaminando dapprima il problema del collasso nella maniera classica, ovvero secondo il
DM 11-03-88, ed introducendo in un secondo momento le modifiche necessarie per effettuare la
verifica allo SLU secondo NTC..

15.1.1 Meccanismo di palo rigido o corto
Come nel caso dell’argilla non drenata si parte ancora dall’ipotesi di palo rigido o corto. Al
cinematismo di traslazione orizzontale corrisponde la reazione indicata in Fig. 15.1, con il valore
3KpγBD alla base.

M

Hu

z
D

L=D

3KpγBz

B

3KpγBD

Fig. 15.1 Palo impedito di ruotare in terreno incoerente, collasso per palo corto

L’equilibrio alla traslazione orizzontale
L2
H uRS − 3K pγB = 0
(15.1.1.1)
2
fornisce il carico di collasso H uRS di palo corto, mentre quello alla rotazione dà il momento max
RS
M max

RS
M max
= H uRS

2
L
3

(15.1.1.2)

e quindi
RS
M max
= 3K pγB

L2 2
L = K pγBL3
2 3

(15.1.1.3)

Se
M max > M u

(15.1.1.4)

il carico H uRS è solo un limite superiore per H uR (teorema cinematico), ed occorre passare al
meccanismo di palo intermedio. In caso contrario è soddisfatta anche l’ammissibilità statica, e
quindi il teorema statico, e la (15.1.1.1) fornisce l’effettivo carico di collasso, con il palo che è di
tipo corto o rigido.
Scrivendo la relazione (15.1.1.4) col simbolo di uguaglianza si ricava l’espressione della
lunghezza critica di palo corto LRS
c
LRS
c =3

Mu
K pγB

(15.1.1.5)

15.1.2 Meccanismo di palo intermedio. L’approssimazione di Broms
Con la formazione della cerniera plastica con momento Mu in testa al palo il meccanismo di
collasso consiste in una rotazione attorno ad un punto in prossimità della base, con il diagramma
intrecciato di reazione del terreno indicato in Fig. 15.2.

Hu
Mu

D

L=D

B
Fig. 15.2 Palo impedito di ruotare in terreno incoerente, cinematismo di palo intermedio

Broms ha adottato lo schema semplificato di Fig. 15.3, con la rotazione attorno alla punta del
palo, e la forza concentrata F alla base, necessaria per il ripristino dell’equilibrio.

Mu

Hu

M

Mu

D

f

L=D

Mmax
g
F
B

3KpγBD

Fig. 15.3 Approssimazione di Broms per palo intermedio. Rotazione attorno alla base e forza
concentrata F
In questo caso il carico di collasso H uRI è dato semplicemente dall’equilibrio alla rotazione
attorno alla base
L2 L
H uRI L − M u − 3K pγB
=0
(15.1.2.1)
2 3
da cui
L2 M u
RI
(15.1.2.2)
H u = K pγB +
2
L
RI
Il momento max M max
si verifica alla quota fRI di taglio nullo, che è data dalla condizione di
equilibrio alla traslazione del relativo tratto di palo
2

H

RI
u

f RI
− 3K pγB
=0
2

(15.1.2.3)

da cui
2 H uRI
=
3K pγB

f RI =

L2
2M u
+
3 3K pγBL

(15.1.2.4)

con il momento

2 RI
L2 M  2 L2
2M u
f − M u =  K pγB + u 
+
− Mu
3
2
L  3 3 3K pγBL

relazione che si può anche riscrivere
RI
M max
= H uRI

(15.1.2.5)

3

RI
M max

 L2
 L2
3
2M u  2 L2
2M u
2M u  2
= K pγB +
+
− M u = K pγB +
− Mu
 3 3K pγBL  3 3 3K pγBL
 3 3K pγBL 
2




(15.1.2.6)

equivalente alla scrittura
RI
M max
= K pγBf RI − M u
direttamente deducibile dalla prima espressione con la sostituzione
2
3
H uRI = K pγBf RI
2
Se
RI
M max
> Mu
3

(15.1.2.7)
(15.1.2.8)
(15.1.2.9)

il carico H uRI è solo un limite superiore per H uR (teorema cinematico), ed occorre passare al
meccanismo di palo lungo, altrimenti risulta soddisfatto anche il teorema del limite inferiore ed il
palo è effettivamente intermedio, con il carico di collasso dato dalla (15.1.2.2).
RI
Per determinare la lunghezza critica LRI
c occorre scrivere prima la condizione per f c

f cRI = 3

2M u
K pγB

(15.1.2.10)

e poi determinare g cRI mediante l’equilibrio alla rotazione del tronco inferiore, che fornisce la
cubica
2

3K pγB

[

(

)]

g cRI
2 f cRI + f cRI + g cRI − M u = 0
6

(15.1.2.11)

15.1.3 Meccanismo di palo lungo
Introducendo la seconda cerniera plastica alla profondità incognita f (certamente minore di quella
determinata in precedenza nell’ipotesi di palo intermedio), si ha il meccanismo di palo lungo (Fig.
15.4), che costituisce a questo punto l’effettivo meccanismo di collasso.
La reazione del terreno è nota nel solo tratto impegnato dal meccanismo di collasso, compreso tra
le due cerniere plastiche, avendo la solita legge lineare, con valore 3KpγBf alla quota f della seconda
cerniera. Al di sotto la reazione è indeterminata, dovendo solo soddisfare ai requisiti dell’equilibrio
di momento pari ad Mu e taglio nullo in corrispondenza della cerniera.
Le condizioni di equilibrio del tronco superiore si scrivono
f2
H uRL − 3K pγB
=0
2
2
H uRL f − 2 M u = 0
3
e sostituendo nella prima l’espressione di f ricavata dalla seconda
3M
f = RLu
Hu
si ha
9 M u2
RL
H u = 3K pγB
2
2 H uRL
da cui il carico di collasso
1
H uRL = 33 K pγBM u2
2

(15.1.3.1)
(15.1.3.2)

(15.1.3.3)

(15.1.3.4)

(15.1.3.5)

e quindi il valore di f
Mu
2M u
f =
=3
K pγB
1
3
K pγBM u2
2

(15.1.3.6)

Mu
M

Hu
Mu

Mu

D

f

3KpγBf

L=D

Mu

B

Fig. 15.4 Palo impedito di ruotare in terreno incoerente. Palo lungo

15.2 Terreno incoerente. Palo libero di ruotare
Si considera ancora lo schema di palo di lunghezza L = D, con un momento in testa (piano
campagna) pari a Hue, con e eccentricità del carico nello schema reale.
15.2.1 Meccanismo di palo corto
Assumendo ancora con Broms rotazione attorno alla punta con reazione alla base pari alla forza
concentrata F (Fig. 15.5), il carico di collasso H uFS è dato dall’equilibrio alla rotazione attorno alla
base
L2 L
H uFS L + H uFS e − 3K pγB
=0
(15.2.1.1)
2 3
da cui
L3
H uFS = K pγB
(15.2.1.2)
2(L + e )
FS
Il momento max M max
si verifica alla quota f di taglio nullo, che è data dalla condizione di
equilibrio alla traslazione del relativo tratto di palo
f2
H uFS − 3K pγB
=0
(15.2.1.3)
2
da cui

f =

2 H uFS
L3
L
=
=L
3K pγB
3(L + e )
3(L + e )

(15.2.1.4)

con il momento

L3  2
L
2

FS
M max
= H uFS  f + e  = K pγB
+ e
 L
2(L + e )  3
3(L + e )
3



(15.2.1.5)

FS
M max
> Mu

(15.2.1.6)

Se
il carico H uFS è solo un limite superiore per H uF (teorema cinematico), ed occorre passare al
meccanismo di palo lungo, altrimenti il palo è corto con il carico di collasso dato dalla (15.2.1.2).

Hue

Hu

Hue

M
f

D

Mmax

L=D

g

F
B

3KpγBD

Fig. 15.5 Palo libero corto. Rotazione attorno alla base e forza concentrata F secondo
l’approssimazione di Broms

15.2.2 Meccanismo di palo lungo
Introducendo la cerniera plastica alla quota f, Fig. 15.6, le condizioni di equilibrio del tronco
superiore si scrivono
f2
H uFL − 3K pγB
=0
(15.2.2.1)
2
2 

(15.2.2.2)
H uFL  e + f  − M u = 0
3 

ed eliminando H uFL

3K pγB

f2
2 
e + f  − Mu = 0
2 
3 

che si riscrive
f3 f2
Mu
+
e−
=0
3
2
3K pγB

(15.2.2.3)

(15.2.2.4)

o anche

3
Mu
f3 + f 2 e−
=0
(15.2.2.5)
2
3K pγB
La soluzione della cubica, con il metodo diretto o con quello di Newton-Raphson, fornisce il
valore di f, da cui il carico di collasso
f2
FL
H u = 3K pγB
(15.2.2.6)
2
Hue

Hue

Hu
Mu

D

f
3KpγBf

L=D

Mu

B

Fig. 15.6 Palo libero di ruotare in terreno incoerente. Palo lungo

M


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