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2012Laquerriere29866 .pdf



Nome del file originale: 2012Laquerriere29866.pdf
Titolo: [tel-00823901, v1] Interpolation et comparaison de certains processus stochastiques
Autore: Laquerrière, Benjamin

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UNIVERSITÉ DE LA ROCHELLE

ÉCOLE DOCTORALE S2I
LABORATOIRE : MIA

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

THÈSE présentée par :
Benjamin Laquerrière
soutenue le : 10 mai 2012
pour obtenir le grade de : Docteur de l’université de La Rochelle
Discipline : Mathématiques et applications

Interpolation et comparaison de certains processus
stochastiques

JURY :
Marc A RNAUDON
Michel B ERTHIER
Jean-Christophe B RETON
Giulia D I N UNNO
Thierry K LEIN
Jorge Alberto L EÓN VÁZQUEZ
Nicolas P RIVAULT
Ciprian T UDOR

Président du jury
Examinateur
Directeur de thèse
Rapporteur
Examinateur
Rapporteur
Directeur de thèse
Rapporteur

Université de Poitiers
Université La Rochelle
Université Rennes 1
Universitetet i Oslo
Université Toulouse 3
Cinvestav
Nanyang Technological University
Université Lille 1

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

Remerciements
Je ne saurais assez remercier Nicolas Privault et Jean-Christophe Breton de m’avoir accordé leur confiance lorsque j’ai commencé cette thèse. Merci aussi pour leurs encouragements et pour la patience dont ils ont dû, trop souvent, faire preuve.

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

Je remercie Giulia Di Nunno, Jorge León Vázquez et Ciprian Tudor d’avoir pris sur leur
temps pour rapporter cette thèse, Thierry Klein et Michel Berthier qui m’ont fait l’honneur de faire partie de mon jury, ainsi que Marc Arnaudon qui m’a fait celui de le présider.
Je souhaite aussi remercier les différents laboratoires qui m’ont accueilli durant la préparation de cette thèse, en particulier le MIA de l’Université de La Rochelle et son directeur
Michel Berthier (encore), mais aussi le LAGA de l’Université Paris 13, le CEREMADE
de l’Université Paris Dauphine et le département de mathématiques de la City University
de Hong Kong.
Je voudrais remercier quelques doctorants (maintenant docteurs) rencontrés çà et là, de
l’intérêt que certains ont porté à mon travail, de l’enthousiasme avec lequel ils parlaient
du leur ou tout simplement de la sympathie qu’ils m’ont témoigné. Je pense en particulier
à Roland Diel, Guillaume Voisin, Laurent Tournier, Emmanuel Jacob et Jérémie Bettinelli.
Je leur souhaite à tous une bonne continuation.
Je remercie également ma famille. En premier lieu, mes parents bien entendu et Martine
de la gentillesse avec laquelle elle m’a hébergé quelques mois et du stress qu’elle a essayé
de me mettre, ce savant mélange se manifestant le plus souvent par un “laisse la vaisselle,
je la ferai. Toi, il faut que tu bosses !”
Un grand merci à mes “collègues” de thèse, Guillaume pour son soutien quotidien et
“Petit o” pour son humour. Merci aussi à ma sœur de thèse Caroline dont la spontaneíté
légendaire m’a suivi jusque sur les marchés et dans des gratte-ciel de Hong Kong. Je remercie Delphine à des titres trop nombreux pour être énumérés ici, Anthony, “parce que
c’était lui” et Myriam de son éternelle présence.
Merci à Alexandra de m’avoir apporté son soutien depuis un an et d’avoir cru en moi alors
qu’elle ne me connaissait que peu.
Enfin, mes derniers remerciements iront à mon grand oncle Jacques Cammas, homme à
la curiosité infinie qui, alors que j’étais enfant, m’expliquait comment tracer une ellipse
à l’aide de deux clous et d’une ficelle ou me parlait pendant des heures de l’apparente
course vaine d’Achille contre la tortue et des suites de Fibonacci cachées au creux des
coquilles d’escargot.

3

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À Jacques Cammas

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Table des matières
1 Introduction
1.1 Inégalités de déviation et de concentration . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Inégalités de déviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Inégalités de comparaison convexe pour des intégrales stochastiques non markoviennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mouvement brownien conditionné à rester dans un segment . . . . . . . .
1.2.1 Théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Ponts markoviens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Interpolation stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
31
31
37
43
46

I Inégalités de déviation et de concentration convexe

49

2 Deviation inequalities for exponential jump-diffusion processes
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Deviation bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51
51
54

3

59
59
63
73
75

II

Convex comparison inequalities for non-Markovian stochastic integrals
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Forward/backward integrals and the Malliavin calculus . . . . . . . .
3.3 Convex increasing forward/backward martingales . . . . . . . . . . .
3.4 Convex ordering for stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . .

.
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.

.
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.

9
9
14

Mouvement Brownien conditionné

79

4 Brownian motion conditioned to stay in a strip
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Main Results . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Stochastic Interpolation . . . . . . . . . . .
4.3.1 Appendix . . . . . . . . . . . . . .

81
81
83
99
101

7

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TABLE DES MATIÈRES

8

Chapitre 1

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Introduction
Cette thèse a été élaborée sous la direction des Professeurs Jean-Christophe Breton et
Nicolas Privault successivement aux seins du laboratoire Mathématiques, Image et Applications de l’Université de La Rochelle, du Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications de l’Université Paris 13 et du CEREMADE de l’Université Paris-Dauphine ainsi
qu’au département de mathématiques de la City University de Hong Kong.
Elle se compose de deux grandes parties. La première est consacrée à l’étude d’inégalités
de concentration convexe et d’inégalités de déviation, la deuxième est dédiée au conditionnement du mouvement brownien par des évènements de mesure nulle. Ces deux
parties sont présentées respectivement dans les sections 1.1 et 1.2 de cette introduction.

1.1 Inégalités de déviation et de concentration
Nous commençons par rappeler une méthode classique pour obtenir des inégalités de
déviation. Soit X une variable aléatoire, on a pour toute fonction φ positive croissante,
l’inégalité de Tchebytchev,
IP(X > x) 6

1
IE[φ(X)].
φ(x)

En appliquant cette inégalité à une classe Φ de fonctions φ pour lesquelles le calcul explicite du membre de droite est possible (ou, à défaut, pour lesquelles on peut obtenir une
majoration fine de ce membre), on obtient une famille, indexée par Φ, de borne de déviation pour X. Si la structure de Φ permet de le faire, en minimisant sur Φ, on a alors une
inégalité
1
IE[φ(X)],
IP(X > x) 6 min
φ∈Φ φ(x)
où le membre de droite est explicite.

9

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION

Les inégalités de concentration convexe ont été introduites par W. Hoeffding en 1963
(cf. [26]). Dans cet article, Hoeffding établit plusieurs inégalités de déviation pour des
sommes de variables aléatoires bornées indépendantes 1 , en utilisant le procédé que l’on
vient de décrire avec Φ = {x 7→ ehx , h > 0}. Puis dans la dernière partie de son article, Hoeffding remarque que les bornes ainsi obtenues sur une variable aléatoire X sont
transposables à une variable aléatoire Y si l’inégalité

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

IE[φ(Y )] 6 IE[φ(X)]

(1.1.1)

est vérifiée pour toute fonction φ ∈ Φ. Comme application de ce principe, il montre alors
que si (Xi )16i6n sont des variables aléatoires obtenues par un tirage avec remise au sein
d’une population finie tandis que (Yi )16i6n proviennent d’un tirage sans remise au sein de
cette même population, l’inégalité
!#
"
!#
"
n
n
X
X
6 IE φ
IE φ
Yi
Xi
i=1

i=1

a lieu dès lors que φ est convexe. Ainsi les inégalités de déviation préalablement obtenues
sur les sommes de variables aléatoires indépendantes sont transposables à une somme de
variables aléatoires provenant d’un tirage sans remise dans une population finie.
On dit qu’une variable aléatoire Y est plus concentrée que X si l’inégalité (1.1.1) a lieu
pour toute fonction φ convexe suffisamment intégrable.
En 1970, dans [20], M. L. Eaton obtient des inégalités de la forme (1.1.1) (la classe Φ
n’est pas celle des fonctions convexes) pour des sommes pondérées de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées (i.i.d.) de Rademacher 2 . Eaton étend ces
inégalités de concentration aux sommes pondérées de variables aléatoires symétriques
indépendantes uniformément bornées dans [21] puis, grâce à une remarque de W. Hoeffding, il les étend encore aux sommes pondérées de variables aléatoires indépendantes
uniformément bornées centrées dans [22] . Dans ces trois articles, des inégalités de déviations sont également obtenues.
Plus récemment dans [45], Q. M. Shao obtient une inégalité de concentration pour des
sommes de variables aléatoires négativement corrélées ainsi que pour le maximum des
sommes partielles de telles variables. Il en déduit une inégalité maximale de Rosenthal.
En 2004 dans [6], V. Bentkus utilise des inégalités de concentration pour comparer la
queue de déviation d’une martingale discrète (Mk )k∈N avec celle d’une marche aléatoire
1. en fait pour des moyennes de variables aléatoires bornées indépendantes
2. i.e. IP(X = −1) = IP(X = 1) = 1/2

10

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
(Sk )k∈N engendrée par des variables aléatoires de Bernoulli 3 et avec celle d’une variable
aléatoire de Poisson N , i.e. il obtient des inégalités du type
IP(Mn > x) 6 α IP(Sn > x),

α ∈ R,

IP(Mn > x) 6 β IP(N > x),

β ∈ R,

et

sous des conditions de bornitude des accroissements de la martingale ou sur la variance
des accroissements conditionnels.

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Dans le domaine des mathématiques financières, la comparaison convexe de variables
aléatoires a été introduite comme un outil de prévision du risque et permet d’obtenir
des informations plus précises que la simple analyse de la moyenne et de la variance
cf. e.g. [44].
Dans ce domaine, les fonctions convexes apparaissent naturellement comme fonctions
de payoff d’options (e.g. (x − K)+ , (K − x)+ ). Nous allons détailler cela au prochain
paragraphe. Par ailleurs la convexité permet également de refléter la réduction du risque
liée à la diversification des actifs.
Pricing d’option
Nous détaillons ici les applications des inégalités de concentration dans le domaine du
pricing d’option.
Les options sont une large gamme de produits financiers de la famille des produits dits
dérivés. La diversité des options est telle qu’il est malaisé d’en donner une définition
générale. Contentons-nous de donner la définition de celles auxquelles on s’intéressera
par la suite, les options dites européennes.
Un call (resp. put ) européen est un contrat par lequel l’une des parties – le vendeur –
s’engage à vendre (resp. acheter ) à l’autre partie – l’acheteur – un actif (typiquement un
actif financier) à une date T déterminée appelée échéance et à un prix K appelé strike,
fixé à l’avance et donc indépendamment du prix de l’actif sur le marché à l’instant T .
L’acheteur est, quant à lui, libre d’effectuer la transaction ou non. À la date T le coût pour
le vendeur d’une telle option est donc
φ(ST ) = (ST − K)+ ,

où ST est le prix de l’actif au temps T . La fonction φ est appelée fonction de payoff. En
contrepartie du risque pris par le vendeur, l’acheteur lui verse une certaine somme d’argent appelée prime.
3. au sens large : espace d’état à deux valeurs

11

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
Sur le même principe, il existe toute une gamme d’options. On peut citer par exemple
les options américaines pour lesquelles l’acheteur peut exercer l’option à tout moment
jusqu’à l’échéance, les options asiatiques pour lesquelles la fonction de payoff dépend
du cours de l’actif sous-jacent entre la date de vente de l’option et la date d’exercice
et non seulement de sa valeur à la date d’exercice, etc. Il existe également toute une
gamme d’options multivariées, fondées non plus sur un mais sur plusieurs actifs. À titre
d’exemple, on peut citer le “call on max”. Il s’agit d’une option où le vendeur s’engage à
vendre à l’acheteur l’actif sous-jacent le plus favorable à celui-ci, i.e. la fonction de payoff
pour une telle option est
φ = max(0, ST1 − K1 , . . . , STn − Kn ),

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où ST1 , . . . , STn sont les prix des actifs, et K1 , . . . , Kn les strikes associés.
Le problème qui se pose au vendeur est de déterminer au mieux le montant de la prime
afin d’une part de se couvrir contre le risque en investissant cette prime sur le marché
financier et d’autre part de rester compétitif face aux autres vendeurs.
Le Modèle de Black & Scholes
On se place dans le cadre d’un marché à deux actifs. Le premier est un actif risqué sur
lequel porte un call européen. On suppose que son prix, (St )t∈R+ , est modélisé par l’équation différentielle stochastique (E.D.S.)
dSt
= µdt + σdWt ,
St

(1.1.2)

où (Wt )t∈[0,T ] est un mouvement brownien standard et où µ et σ sont déterministes et
constants, tandis le deuxième actif est un actif sans risque dont le prix, (Mt )t∈R+ , est
modélisé par
dMt
= dt.
(1.1.3)
Mt
Nous passons volontairement sous silence le détail des hypothèses économiques du modèle, celles-ci n’étant pas nécessaires à la compréhension du propos. Par ailleurs, on confondra dans la suite l’actif risqué (resp. non risqué) et son prix S (resp. M ).
Un agent propose un call européen sur l’actif S. Afin de couvrir son risque, cet agent
investit la prime sur les actifs S et M , puis change éventuellement au cours du temps
la répartition de sa richesse. On note φt (resp. ψt ) le montant investit dans l’actif sans
risque (resp. risqué) à l’instant t. On suppose que (φt )t∈[0,T ] et (ψt )t∈[0,T ] sont progressivement mesurables. En particulier ces processus sont (Ft )-adaptés (on interdit ainsi les
délits d’initiés).

12

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
Dans le modèle de Black et Scholes, le marché est complet dès lors que σ 6= 0. Cela
signifie que pour toute variable (FT )-mesurable ξ d’espérance finie, il existe une stratégie,
d’investissement initial IE[ξ], telle que
Z T
Z T
ξ = IE[ξ] +
φt dMt +
ψdSt .
0

0

En particulier, il est possible de trouver une telle stratégie pour ξ = (St − K)+ . Ainsi,
s’il suit cette stratégie, le vendeur se couvre de son risque en partant d’une mise initiale
IE[(St − K)+ ]. On dit que
(1.1.4)
IE[(St − K)+ ]

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est le “fair price” de l’option.

Dans le modèle de Black et Scholes, le calcul d’Itô permet de déterminer la valeur de
IE[(St − K)+ ]. On a
+
−


d (t, S0 , σ)
d (t, S0 , σ)
−t
√
√
− Ke N
(1.1.5)
IE[(St − K)+ ] = S0 N
σ t
σ t
%
avec d± (t, S0 , σ) = log SK0 + t ± 12 σ 2 t et N (·) la fonction de répartition de la loi gaussienne centrée réduite.
Le modèle de Black et Scholes permet donc le calcul explicite du fair price, cependant
il présente des limites. La première critique que l’on peut faire, sans même sortir du modèle, est que le calcul explicite du fair price nécessite de connaître la valeur exacte des
paramètres, or ceux-ci ne sont, en réalité, qu’estimés. Se pose donc la question de la sensibilité du fair price à une mauvaise spécification de ces paramètres.
Si l’on se pose maintenant la question de la pertinence du modèle, on peut alors formuler
deux critiques supplémentaires. D’une part l’hypothèse selon laquelle les coefficients µ
et σ sont déterministes et constants n’est pas très réaliste d’un point de vue économique,
d’autre part dans ce modèle les actifs ont des cours continus qui ne traduisent pas la possibilité de brusque variation de ces cours.
Afin de prendre en compte les remarques que l’on vient de formuler, on considèrera un
autre modèle du cours d’un actif à risque, permettant les sauts et une volatilité aléatoire, à
savoir la solution de E.D.S.
dRt
= σt dWt + Jt− (dNt − λt ),
(1.1.6)
Rt
où (Nt )t∈[0,T ] est un processus de Poisson d’intensité (λt )t∈[0,T ] et où (σt )t∈[0,T ] et (Jt− )t∈[0,T ]
sont adaptés à la filtration engendrée par (Wt )t∈R+ et (Nt )t∈R+ . Dans ce cas cependant, le
calcul explicite de
IE[(Rt − K)+ ],

13

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
n’est en général pas possible. Néanmoins, sous certaines conditions sur les coefficients, il
est possible de comparer le fair price de deux options. On peut par exemple dans certains
cas obtenir l’inégalité
IE[(Rt − K)+ ] 6 IE[(St − K)+ ],
où St est solution de (1.1.2) (avec µ = 0). On est alors ramené au cadre de Black et Scholes où les calculs sont explicites. À défaut de déterminer le fair price de l’option basée sur
le cours (Rt )t∈[0,T ] , on peut alors majorer celui-ci par celui d’une option qui serait basée
sur le cours (St )t∈[0,T ] .
Ces considérations ont donné lieu à des travaux tels que [23] et [13] par exemple.

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Le problème du pricing a également été étudié dans le cas de modèle multivarié, cf. [12]
et [7].

1.1.1 Inégalités de déviation
Nous présentons ici les résultats qui sont détaillés dans le chapitre 2. Il s’agit d’inégalités
de déviation pour des exponentielles de processus de diffusion à sauts à terme T fixé.
Dans le cas d’un processus de diffusion pur et dans celui d’un processus de sauts pur, les
bornes que l’on obtient sont également meilleures que celles que l’on peut obtenir par un
calcul direct.
Soient (Wt )t∈R+ un mouvement brownien standard engendrant une filtration (Ft )t∈R+ et
(ηt )t∈R+ un processus (Ft )-adapté. En appliquant le changement de temps
t 7→

Z

t
0

|ηs |2 ds,

(1.1.7)

au mouvement brownien, on obtient la borne


Z ∞

x2
ηt dWt > x 6 exp − 2 ,
IP
2Σ
0

x > 0,

(1.1.8)

dès lors que
Z

Σ :=


∞

2

0



|ηt | dt

2

< +∞.
∞

D’un autre côté, si (Zt )t∈R+ est un processus ponctuel d’intensité aléatoire (λt )t∈R+ et
lorsque (Ut )t∈R+ est un processus adapté, on obtient la borne de déviation
IP

Z

∞
0

Ut− (dZt − λt dt) > x





β
x
,
6 exp − log 1 + x
2β
Λ


14

(1.1.9)

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
pour x > 0, dès lors qu’il existe β > 0 tel que Ut 6 β d IP - p.s. et que

Z ∞


2
< +∞,
|U
|
λ
dt
Λ :=
t
t


0

∞

cf. [2], [50].

Bien que (Zt )t∈R+ soit un processus de Poisson standard, lorsque l’on applique le changement de temps
Z t
t 7→
λs ds,
0

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lorsque (Ut )t∈R+ n’est pas constant on ne peut obtenir l’inégalité (1.1.9) de la même façon
que l’on a obtenu (1.1.8) à partir de la borne de déviation gaussienne.
Les bornes de déviation (1.1.8) et (1.1.9) nécessitent une condition de bornitude sur les
processus intégrés (ηt )t∈R+ et (Ut )t∈R+ , et ne peuvent donc être appliquées directement
aux solutions de l’E.D.S. :
dSt
= σt dWt + Jt− (dZt − λt dt),
St −

(1.1.10)

où (Wt )t∈R+ est un mouvement brownien standard et (Zt )t∈R+ un processus ponctuel
d’intensité aléatoire (λt )t∈R+ , car les processus (ηt )t∈[0,T ] = (σt St )t∈[0,T ] et (Ut )t∈[0,T ] =
(Jt St )t∈[0,T ] n’appartiennent pas à L∞ (Ω, L2 ([0, T ])). Cela est cohérent avec le fait que
lorsque (σt )t∈[0,T ] est déterministe, ST a une distribution log-normale et ne peut donc pas
avoir une queue gaussienne.
Nous présentons maintenant succinctement les résultats d’inégalités de déviation pour
les solutions d’E.D.S. de la forme (1.1.10) où les coefficients (σt )t∈R+ et (Jt )t∈R+ sont
(Ft )-adaptés. Ces résultats sont obtenus par la méthode classique présentée plus haut et
s’appuient sur l’inégalité de concentration suivante, obtenue par J.-C. Breton et N. Privault
(cf. [14], Corollaire 5.2).
Théorème 1.1.1. Soit (St )t∈R+ la solution de (1.1.10) avec (σt )t∈R+ , (Jt )t∈R+ et (λt )t∈R+
des processus (Ft )-adaptés et soit (St∗ )t∈R+ la solution de
dSt∗
ˆ t + J ∗ (t)(dN
ˆt − λ∗ (t)dt),
= σ ∗ (t)dW
St∗−
ˆ t )t∈R+
ˆt )t∈R+ est un processus de Poisson d’intensité déterministe (λ∗ (t))t∈R+ et (W
où (N
est un mouvement brownien standard supposés indépendants l’un de l’autre et où σ ∗ (t) et
J ∗ (t) > 0 sont déterministes.

15

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
Supposons que les coefficients de (St )t∈R+ et de (St∗ )t∈R+ vérifient l’une des conditions
suivantes :
(i) −1 < Jt 6 J ∗ (t), d IP dt - p.p. et
|σt | 6 |σ ∗ (t)|,

Jt2 λt 6 |J ∗ (t)|2 λ∗ (t),

d IP dt - p.p.

(ii) −1 < Jt 6 0 6 J ∗ (t), d IP dt - p.p. et
|σt |2 + Jt2 λt 6 |σ ∗ (t)|2 + |J ∗ (t)|2 λ∗ (t),

d IP dt - p.p.

(iii) 0 6 Jt 6 J ∗ (t), d IP dt - p.p., Jt2 λt 6 |J ∗ (t)|2 λ∗ (t), d IP dt - p.p. et
|σt |2 + Jt2 λt 6 |σ ∗ (t)|2 + |J ∗ (t)|2 λ∗ (t),

d IP dt - p.p.

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Alors, on a l’inégalité
IE[φ(ST ) | S0 = x] 6 IE[φ(ST∗ ) | S0∗ = x],

x > 0,

T ∈ R+ ,

(1.1.11)

pour toute fonction φ convexe dont la dérivée est également convexe.
Dans le cas continu, i.e. Jt = Jt∗ = 0, et lorsque (σt )t∈R+ est déterministe, la relation
(1.1.11) peut être obtenue par le théorème de Doob sur les temps d’arrêt et par l’inégalité
de Jensen appliqués au changement de temps (1.1.7) et à l’exponentielle martingale
Xt := eWt −t/2 ,

t ∈ R+ ,

de la façon suivante :
IE[φ(ST )] =
=
6
=
=

h
i
R
IE φ X T |σs |2 ds

h h0
i i

IE φ IE XR T |σ∗ (s)|2 ds FR T |σs |2 ds
0
ii
h h 0

IE IE φ XR T |σ∗ (s)|2 ds FR T |σs |2 ds
0
0
h
i
IE φ XR T |σ∗ (s)|2 ds
0

IE[φ(ST∗ )].

Cependant cet argument de changement de temps ne peut pas s’appliquer dans le cas
mixte d’une diffusion à sauts. Par ailleurs, même dans le cas d’un processus de sauts pur,
il ne s’applique pas dès lors que le coefficient (Jt )t∈R+ n’est pas constant et, dans le cas
d’une diffusion pure, il ne s’applique pas lorsque (σt )t∈R+ est aléatoire.
Nous présentons tout d’abord les résultats que nous avons obtenus dans le cas d’un processus de sauts pur, c’est à dire lorsque σt = 0.

16

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
Théorème 1.1.2. On suppose que (St )t∈R+ est la solution de (1.1.10) avec σt = 0,
d IP dt - p.p., et avec pour condition initiale S0 = 1 et on suppose de plus que
−1 < Jt 6 K,
pour un certain K > 0. On note
Z T
2
Jt λt dt
ΛT =
∞

d IP dt - p.p.,

et β = log(1 + K).

0

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013




β
2
(1 + K) − 1 , on a
K



Kx
ΛT
K
1+
IP(log ST > x) 6 exp − 2 g
K
β
ΛT






K
Kx
1 x ΛT K
+
−1
log
1+
6 exp −
,
2 β K2 β
β
ΛT

ΛT
Pour tout x >
K

(1.1.12)

avec
g(u) = 1 + u log u − u,

u > 0.

Remarquons qu’en appliquant directement la borne de déviation classique (1.1.9) pour les
variables de Poisson, on peut seulement obtenir
IP(log ST > x)
Z T

Z T
= IP
log(1 + Jt− )dZt −
Jt− λt dt > x
0
0
Z T

Z T
Z T
log(1 + Jt− )d(Zt − λt dt) > x +
Jt− λt dt −
log(1 + Jt− )λt dt
= IP
0
0
0

Z T
log(1 + Jt− )d(Zt − λt dt) > x
6 IP
0



x
x
6 exp − log 1 + β
,
x > 0,
ËœT
2β
Λ
˜ T vérifiant
avec K et Λ
Jt 6 K

et

Z

T
0

ËœT ,
| log(1 + Jt )|2 λt dt 6 Λ

d IP - p.s.

˜ T 6 ΛT et
Cette borne est moins bonne que (1.1.12) même dans le cas déterministe car Λ
1 < K/β → +∞ lorsque K → +∞.
Nous présentons maintenant le cas mixte d’une diffusion à sauts où les sauts sont tous de
même signe, on peut alors généraliser le théorème précédent.

17

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
Théorème 1.1.3. Supposons qu’on a
soit

d IP dt - p.p.,

− 1 < Jt 6 0,

soit 0 6 Jt 6 K,

d IP dt - p.p.,

pour un certain K > 0. Notons
ΛT =

T
0



2

|σt | + Jt2 λt dt.
∞


β
2
(1 + K) − 1 , on a
K



Kx
ΛT
K
1+
IP(log ST > x) 6 exp − 2 g
K
β
ΛT






K
Kx
1 x ΛT K
+
−1
log
1+
,
6 exp −
2 β K2 β
β
ΛT

ΛT
Alors pour tout x >
K

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

Z

(1.1.13)
(1.1.14)

avec β = log(1 + K).
Lorsque les sauts sont négatifs, le théorème précédent permet de déduire le résultat qui
suit :
Théorème 1.1.4. Supposons que −1 < Jt 6 0, d IP dt - p.p., et notons
Z T
2

2
|σt | + Jt2 λt dt < +∞,
T > 0.
ΣT =
∞
0

Alors on a

(x + Σ2T /2)2
IP(log ST > x) 6 exp −
2Σ2T




,

x > 3Σ2T /2.

Dans le cas d’une diffusion pure, i.e. lorsque Jt = 0, et lorsque (σt )t∈R+ est déterministe,
cette borne peut être obtenue directement par le calcul suivant
Z T

Z
1 T
2
IP (log ST > x) = IP
σt dWt −
|σt | dt > x
2 0
0


1 2
6 IP WΣ2T − ΣT > x
2


(x + Σ2T /2)2
,
x > 0,
6 exp −
2Σ2T
cependant lorsque (σt )t∈R+ est aléatoire, l’application de la borne (1.1.8) permet seulement d’obtenir
Z T

Z
1 T
2
σt dWt −
|σt | dt > x
IP(log ST > x) = IP
2 0
0

18

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
6 IP
6 e

Z

T

σt dWt
0
−x2 /(2Σ2T )
,

>x



x > 0.

La borne que nous obtenons est donc meilleure d’un facteur exp(−x/2 − Σ2T /8).

1.1.2 Inégalités de comparaison convexe pour des intégrales stochastiques non markoviennes
Nous présentons maintenant les résultats qui seront détaillés dans le chapitre 3. Il s’agit
d’inégalités de concentrationZ convexe pourZ des variables aléatoires ayant les représenT

tations intégrales suivantes

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

0

ˆ t et
σt∗ dW

T

0

σt dWt , où 0 6 σt∗ 6 σt sont des pro-

cessus adaptés à la filtration (Ft )t∈[0,T ] engendrée par le mouvement brownien standard
ˆ t )t∈[0,T ] est un mouvement brownien indépendant de (Wt )t∈[0,T ] . Les
(Wt )t∈[0,T ] , et où (W
résultats sont obtenus par calcul stochastique forward/backward et par calcul de Malliavin
et sont également valables lorsque on ajoute une composante à sauts.
Calcul stochastique forward/backward et calcul de Malliavin

Nous commençons par présenter les notions de calcul stochastique forward/backward et
de calcul de Malliavin nécessaires à l’obtention des résultats. On renvoie à [39] pour plus
de détails sur le calcul de Malliavin.
Notons (Wt )t∈[0,T ] et µ(dt, dx) un mouvement brownien et une mesure de saut forward
et (Wt∗ )t∈[0,T ] et µ∗ (dt, dx) un mouvement brownien et une mesure de saut backward.
On suppose de plus que (Wt , µ(dt, dx)) est indépendant de (Wt∗ , µ∗ (dt, dx)), en revanche
on ne suppose pas que (Wt )t∈[0,T ] (resp. (Wt∗ )t∈[0,T ] ) est indépendant de µ(dt, dx) (resp.
µ∗ (dt, dx)).
Les mesures de saut forward et backward µ(dt, dx) et µ∗ (dt, dx) ont des projections
duales prévisibles de la forme dtνt (dx) et dtνt∗ (dx). Dans ce cadre, on note (Ft )t∈[0,T ]
la filtration forward engendrée par (Wt )t∈[0,T ] et µ(dt, dx) et (Ft∗ )t∈[0,T ] la filtration backward engendrée par (Wt∗ )t∈[0,T ] et µ∗ (dt, dx).
Nous présentons ici une formule d’Itô pour une (Ft )-martingale forward (Mt )t∈[0,T ]
Z t
Z t Z +∞
Mt =
σs dWs +
Js− ,x (µ(ds, dx) − dsνs (dx)), t ∈ [0, T ], (1.1.15)
0

0

−∞

∨ FT )-martingale backward (Mt∗ )t∈[0,T ] ,
Z T
Z TZ +∞
∗
∗ ∗
∗
Mt =
σs d Ws +
Js∗+ ,x (µ∗ (d∗ s, dx) − dsνs∗ (dx)),

et une

(Ft∗

t

t

−∞

19

t ∈ [0, T ], (1.1.16)

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
∗
où (σs )s∈[0,T ] , (Js,x )(s,x)∈[0,T ]×R , (σs∗ )s∈[0,T ] et (Js,x
)(s,x)∈[0,T ]×R sont des processus (Ft )adaptés de carrés intégrables. Cette formule d’Itô est similaire à celle obtenue dans [35]
théorème 8.1.

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

Formule d’Itô forward/backward
Pour toute fonction φ ∈ C 2 (R × R), on a
Z
Z t
∂φ
1 t ∂ 2φ
∗
∗
∗
(Mu− , Mu )dMu +
φ(Mt , Mt ) = φ(Ms , Ms ) +
(Mu , Mu∗ )|σu |2 du
2 s ∂x2
s+ ∂x

Z t Z +∞
∂φ
∗
∗
∗
φ(Mu− + Ju− ,x , Mu ) − φ(Mu− , Mu ) − Ju− ,x (Mu− , Mu ) µ(du, dx)
+
∂x
s+ ∞
Z t 2
Z t−
1
∂φ
∂ φ
(Mu , Mu∗+ )d∗ Mu∗ −
(Mu , Mu∗ )|σu∗ |2 du
−
2
∂y
2 s ∂y
s

Z t− Z +∞
∂φ
∗
∗
∗
−
φ(Mu , Mu+ + Ju+ ,y ) − φ(Mu , Mu+ ) − Ju+ ,y (Mu , Mu+ ) µ∗ (d∗ u, dy),
∂y
s
∞
(1.1.17)
0 6 s 6 t.
Dans cette formule les intégrales forward
Z t
∂φ
(Mu− , Mu∗ )dMu
s+ ∂x

(1.1.18)

et

t

+∞




∂φ
∗
φ(Mu− +
−
− Ju− ,x (Mu− , Mu ) µ(du, dx)
∂x
s+ ∞
(1.1.19)
∗
∗
sont anticipantes (Mu n’étant généralement que (Fu ∨ FT )-mesurable) et sont à comprendre comme limites en probabilité de sommes de Riemann. Les conditions précises
d’existence de ces intégrales sont données par les Lemmes 1.1.5 et 1.1.6. En revanche
les intégrales backward contre d∗ Mt∗ et µ∗ (d∗ t, dx) sont des intégrales backward au sens
classique car les coefficients sont indépendants des processus intégrateurs (Wt∗ )t∈[0,T ] et
µ∗ (dt, dx).
Z

Z

Ju− ,x , Mu∗ )

φ(Mu− , Mu∗ )

Dans la suite on s’intéressera particulièrement au cas où les sauts de (Mt )t∈[0,T ] et de
(Mt∗ )t∈[0,T ] sont générés respectivement par un processus de Poisson forward (Nt )t∈[0,T ]
d’intensité (λt )t∈[0,T ] et un processus de Poisson backward (Nt∗ )t∈[0,T ] d’intensité (λ∗t )t∈[0,T ] ,
indépendant de (Nt )t∈[0,T ] , i.e. la (Ft )-forward martingale (1.1.15) est donnée par
Z t
Z t
σu dWu +
Ju− (dNu − λu du) ,
(1.1.20)
Mt =
0

0

20

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
tandis que la (Ft∗ ∨ FT )-backward martingale (1.1.16) est donnée par
Z T
Z T
∗
∗ ∗
∗
σ u d Wu +
Ju∗+ (d∗ Nu∗ − λ∗u du) ,
Mt =
t

(1.1.21)

t

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

où (σt )t∈[0,T ] , (σt∗ )t∈[0,T ] et (Jt )t∈[0,T ] , (Jt∗ )t∈[0,T ] sont des processus (Ft )-adaptés de carrés
intégrables.
Dans ce cas la formule d’Itô (1.1.17) se réécrit
Z t
Z t−
∗
∗
′
∗
φ(Mt + Mt ) = φ(Ms + Ms ) +
φ (Mu− + Mu )dMu −
φ′ (Mu + Mu∗+ )d∗ Mu∗
s
s+
Z t
1
φ′′ (Mu + Mu∗ )(|σu |2 − |σu∗ |2 )du
+
2 s
Z t
Z t−
∗
+
Ju− ψ(Mu− + Mu , Ju− )dNu −
Ju∗+ ψ(Mu + Mu∗+ , Ju∗+ )d∗ Nu∗ ,
s+

s

0 6 s 6 t, où

ψ(x, y) =

φ(x + y) − φ(x) − yφ′ (x)
,
y

x, y ∈ R.

Nous rappelons maintenant quelques résultats du calcul de Malliavin sur l’espérance
d’une intégrale (forward) d’un processus continu d’une part et d’un processus de sauts
pur d’autre part. Notons DW le gradient de Malliavin relativement au mouvement brownien (Wt )t∈[0,T ] , défini par
DtW f (Wt1 , . . . , Wtn )

=

n
X

1[0,ti ] (t)

i=1

∂f
(Wt1 , . . . , Wtn ),
∂xi
W−

f ∈ Cb1 (Rn ), et notons (DW − u)t la trace de (Dt
à gauche
Z

t ∈ [0, T ],

us )s,t∈[0,T ] lui-même défini par la limite

T

lim

n→∞

sup

0

1
(s− n
)∨06t<s

IE[|DsW ut − (DW − u)s |2 ]ds = 0,

(1.1.22)

cf. Relation (3.7) de la Definition 3.1.1 dans [39], pour u un processus de l’espace L2,1
défini par la norme
Z T Z T

2
2
W
2
|Ds ut | dsdt .
kukL2,1 = kukL2 (Ω×[0,T ]) + IE
0

0

Par la Proposition 3.2.3 page 193 de [39], l’espérance d’une intégrale anticipante (forward) par rapport au mouvement brownien peut être calculée de la même manière que
dans le lemme suivant :

21

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
Lemme 1.1.5. On suppose que (ut )t∈[0,T ] est continu dans L2,1 et que le processus DW − u
RT
défini par (1.1.22) existe. Alors l’intégrale anticipante (forward) 0 ut dWt existe dans
L2 (Ω) et on a

Z T

Z T
W−
ut dWt = IE
(D u)t dt .
IE
0

0

De la même façon, on note DN l’opérateur de différence par rapport au processus de
Poisson (Nt )t∈[0,T ] , défini par
DtN F (N· ) = F (N· + 1[t,∞[ (·)) − F (N· ),

t ∈ [0, T ],

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

pour toute variable aléatoire F : Ω → R. Par le Corollaire 2.9. de [1] ou par le Corollaire
4.5 de [40], voir aussi la Proposition 3.1 de [38], on obtient le lemme suivant, dans lequel
(DN− u)t , t ∈ [0, T ] est défini par
lim

n→+∞

Z

T

sup
0

1
(s− n
)∨06t<s

IE[|DsN ut − (DN− u)s |2 ]ds = 0.

Lemme 1.1.6. Soit T > 0. Supposons que u ∈ L1 (Ω × [0, T ]) et que ((DN− u)t )t∈[0,T ] ∈
L1 (Ω × [0, T ]), on a
IE

Z

T



ut dNt = IE
0
∗

Z

∗

T



ut λt dt + IE
0

Z

T

λt (D

N−



u)t dt .

0

∗

Les opérateurs DW , DW + , DN et DN + sont définis de manière similaire pour le mouvement brownien backward (Wt∗ )t∈[0,T ] et pour le processus de Poisson backward (Nt∗ )t∈[0,T ] ,
de la façon suivante
∗
DtW f (Wt∗1 , . . . , Wt∗n )

=

n
X

1[ti ,T ] (t)

i=1

∂f
(W ∗ , . . . , Wt∗n ),
∂xi t1

t ∈ [0, T ],

f ∈ Cb1 (Rn ), et
∗

DtN F (N· ) = F (N· + 1[0,t] (·)) − F (N· ),

t ∈ [0, T ],

et satisfont les analogues backward des Lemmes 1.1.5 et 1.1.6, i.e.
Z T

Z T

∗
∗
W ∗+
IE
ut d Wt = IE
(D
u)t dt ,
0

et
IE

Z

T
∗



ut d Nt = IE
0

(1.1.23)

0

Z

T
0

ut λ∗t dt



+ IE

Z

T
0

22

∗
λ∗t (DN + u)t dt



,,

(1.1.24)

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
Présentation des résultats
Lorsque X ∗ et X sont des variables aléatoires gaussiennes représentables sous la forme
∗

X = x0 +

Z

T
∗

σ (t)dWt ,

X = x0 +

0

Z

T

σ(t)dWt ,
0

avec σ(t) et σ ∗ (t) des fonctions déterministes et (Wt )t∈[0,T ] un mouvement brownien,
l’inégalité
(1.1.25)
IE[φ(X ∗ )] 6 IE[φ(X)],
pour φ convexe, a lieu si et seulement si

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

Z

T
∗

0

2

|σ (t)| dt 6

Z

T
0

|σ(t)|2 dt,

(1.1.26)

comme on peut le voir en utilisant les probabilités conditionnelles et l’inégalité de Jensen,
cf. e.g. [3].
Dans le cas où σt et σt∗ sont aléatoires, la condition (1.1.26) n’est pas suffisante à elle seule
pour garantir (1.1.25) pour φ convexe. Néanmoins, il existe d’ors et déjà quelques résultats
dans ce sens. Lorsque X ∗ = XT∗ est la valeur terminale d’un processus de diffusion
(Xt∗ )t∈[0,T ] solution de l’E.D.S.
XT∗

= x0 +

Z

T

σt∗ (Xt∗ )dWt ,

0

t ∈ [0, T ],

(1.1.27)

et que X = XT est donnée par
X T = x0 +

Z

T

t ∈ [0, T ],

σt dWt ,
0

(1.1.28)

avec (σt )t∈[0,T ] un processus de carré intégrable, (Ft )-adapté, on a
IE[φ(XT∗ )] 6 IE[φ(XT )],

(1.1.29)

pour toute fonction convexe φ, dès lors que
|σt∗ (Xt )| 6 |σt | d IP - p.s.,

t ∈ [0, T ],

(cf. [23]). Ce résultat est dû à la préservation de la convexité du semi-groupe de Markov
de (1.1.27). Cette méthode a été étendue dans le cas multi-dimensionnel dans [7].
Les résultats que nous présentons ici constituent une extension de ce type de résultats
au cas où σt∗ n’est pas nécessairement un coefficient de diffusion mais est un processus

23

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
ˆ t )t∈[0,T ] , i.e. lorsque
(Ft )-adapté, intégré contre un mouvement brownien indépendant (W
(1.1.27) devient
Z
T

XT∗ = x0 +

0

ˆ t,
σt∗ dW

t ∈ [0, T ],

tandis que le processus (Xt )t∈[0,T ] est toujours défini par (1.1.28), i.e.
Z T
XT = x0 +
σt dWt ,
t ∈ [0, T ],
0

où (σt )t∈[0,T ] ainsi que (σt∗ )t∈[0,T ] sont des processus (Ft )-adaptés.

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

Cette question a été étudiée en utilisant le calcul stochastique forward/backward dans le
cas multi-dimensionnel dans [3], cependant les arguments de [3] ne sont valides que dans
le cas où σt∗ est déterministe.
L’inégalité suivante
Var[XT∗ ]

= IE

Z

T
0

|σt∗ |2 dt



6 IE

Z

T
2

0



|σt | dt = Var[XT ]

est valide lorsque
|σt∗ | 6 |σt |,

d IP - p.s.,

t ∈ [0, T ],

(1.1.30)

cependant cette borne à elle seule ne permet pas d’obtenir l’inégalité de concentration
convexe générale (1.1.29).
Les résultats que nous présentons s’appuient sur la proposition 1.1.7. On présente ici de
manière informelle cette proposition dans le cas continu.
Soit (Wt∗ )t∈[0,T ] un mouvement brownien backward. On considère la (Ft )-martingale
Z t
σu dWu ,
Mt =
0

et la (Ft∗ ∨ FT )-martingale
Mt∗

T
t

σu∗ d∗ Wu∗ ,

sont des processus (Ft )-adaptés. On a
Z t

%

%
1
∗
∗
′′
∗
2
∗ 2
φ (Mu + Mu )(|σu | − |σu | )du
IE φ Mt + Mt
= IE φ Ms + Ms + IE
2
s
Z t

Z T
1
(3)
∗
W
∗ 2
σu φ (Mu + Mu )
Du |σv | dvdu ,
(1.1.31)
+ IE
2
s
u

où

(σt )t∈[0,T ] , (σt∗ )t∈[0,T ] ,

=

Z

24

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
0 6 s 6 t, où DW désigne le gradient de Malliavin sur l’espace de Wiener, pour toute
fonction φ ∈ C 3 (R) dont la dérivée troisième est bornée.
On déduit de (1.1.31) que l’inégalité

%

%
IE φ Ms + Ms∗ 6 IE φ Mt + Mt∗ ,

0 6 s 6 t 6 T,

est vérifiée sous la condition (1.1.30) et sous la condition additionnelle suivante
σs DsW |σt∗ |2 > 0,

d IP - p.s.,

0 6 s 6 t 6 T.

(1.1.32)

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

En utilisant l’égalité en loi
Z

T
0

L
ˆu =
σu∗ dW

Z

T
0

σu∗ d∗ Wu∗ ,

on en déduit l’inégalité de concentration convexe (1.1.29) pour les fonctions convexes φ
dont la dérivée est convexe, i.e.
Z T

Z T

∗ ˆ
IE φ
σ u d Wu
6 IE φ
σu dWu .
(1.1.33)
0

0

On vérifie aisément que la condition (1.1.32) est nécessaire à l’obtention du résultat, en
prenant par exemple 0 6 σt = σt∗ , t ∈ [0, T ]. On remarque également que (1.1.32) est
invariante par changement de signe de σt∗ mais ne l’est pas par changement de signe de
Z T
σt . Cela est cohérent avec le fait que la loi de
σt dWt n’est pas symétrique en général.
0

On traite le cas à sauts pur et le cas mixte sauts-diffusion dans le Corollaire 1.1.15 et dans
le Théorème 1.1.13.
Considérons maintenant quelques exemples d’application de l’inégalité (1.1.33) dans le
cas continu.
Exemples

Considérons le cas où σt∗ et σt ne sont aléatoires qu’au travers de la valeur courante du
mouvement brownien (Wt )t∈[0,T ] , i.e.
σt∗ = f ∗ (t, Wt )

et

σt = f (t, Wt ),

t ∈ [0, T ],

f, f ∗ ∈ C 1 ([0, T ] × R), on a alors
σs σt∗ Ds σt∗ = f (s, Ws )f ∗ (t, Wt )

∂f ∗
(t, Wt )1[0,t] (s),
∂x

25

s, t ∈ [0, T ],

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
et on trouve donc que
Z

∗

X = x0 +
est plus concentrée que
X = x0 +
dès lors que

Z

T

ˆt
f ∗ (t, Wt )dW

0
T

f (t, Wt )dWt ,
0

0 6 f ∗ (t, x) 6 f (t, x),

t ∈ [0, T ],

x ∈ R,

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

et que x 7→ f ∗ (t, x) est croissante pour tout t ∈ [0, T ].

Comme deuxième exemple, considérons le cas où
Z T
Z
∗
∗
ˆ
X T = x0 +
σt (Xt )dWt , et XT = x0 +
0

T

σt dWt ,
0

i.e. σt∗ prend la forme σt∗ = σt∗ (Xt ), avec x 7→ σt∗ (x) uniformément lipschitzienne en t, la
condition (1.1.30) est alors satisfaite lorsque
|σt∗ (Xt )| 6 |σt |,

d IP - p.s.,

t ∈ [0, T ],

et (1.1.32) s’écrit alors
′
σs σt∗ (Xt )σt∗ (Xt )DsW Xt

=

′
σs σt∗ (Xt )σt∗ (Xt )

> 0,

Z

t

DsW σr dWr

s

0 6 s 6 t 6 T.

+ σs



Dans le cas où (σt )t∈[0,T ] et (σt∗ )t∈[0,T ] ne sont aléatoires qu’au travers de la valeur du
processus (Xt )t∈0,T ] , i.e.
Z T
Z T
∗
∗
ˆ t et X = x0 +
X = x0 +
σt (Xt )dW
σt (Xt )dWt ,
0

0

la condition (1.1.30) s’écrit
|σt∗ (x)| 6 |σt (x)|,

x ∈ R,

t ∈ [0, T ],

et comme
′

DsW σt∗ (Xt ) = σt∗ (Xt )DsW (Xt )
=

′
σt∗ (Xt )σs (Xs ) exp

Z

t
0

σu′ (Xu )dWu

1
−
2

Z

t
0

|σu′ (Xu )|2 du,



s, t ∈ [0, T ], (cf. e.g. Exercice 2.2.1 page 124 de [39]), la condition (1.1.32) devient
′

(σs (Xs ))2 σt∗ (Xt )σt∗ (Xt ) > 0,

26

s, t ∈ [0, T ],

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
ainsi, l’inégalité (1.1.29) est satisfaite si x 7→ |σt∗ (x)| est croissante sur l’espace d’état de
Xt . C’est en particulier le cas lorsque XT∗ et XT admettent les représentations suivantes
Z T
Z T
∗
∗
ˆ
Xt σ (t)dWt et XT = x0 +
Xt σ(t)dWt ,
XT = x0 +
0

0

avec x0 > 0 et σ (t), σ(t) des fonctions déterministes telles que
∗

|σ ∗ (t)| 6 |σ(t)|,

t ∈ [0, T ].

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

On présente maintenant dans le détail les résultats du chapitre 3.
Proposition 1.1.7. Supposons que les coefficients (σt∗ )t∈[0,T ] et (Jt∗ )t∈[0,T ] appartiennent
à l’espace L2,1 . Pour tout φ ∈ C 3 (R) de dérivée troisième bornée, on a

%

%
IE φ Mt + Mt∗ = IE φ Ms + Ms∗

Z t
1
′′
∗
2
∗ 2
φ (Mu + Mu )(|σu | − |σu | )du
+ IE
2
s
Z t

∗
∗ ∗
∗
∗
+ IE
(Ju λu ψ(Mu + Mu , Ju ) − Ju λu ψ(Mu + Mu , Ju ))du
s
Z t

Z T
1
(3)
∗
W
∗ 2
+ IE
σu φ (Mu + Mu )
Du |σv | dvdu
2
s
u

Z t Z T
Z 1
∗ ∗
W ∗
(3)
∗
∗
σu
Jv λv (Du Jv )
φ (Mu + Mu + τ Jv )dτ dvdu
+ IE
s
u
0
Z t

Z T
Z 1
N ∗
∗
N ∗
(3)
∗
N
∗
λ u Ju
(Du σv )
(σv + τ Du σv )φ (Mu + Mu + τ Du Mu )dτ dvdu
+ IE
s
u
0
Z t
Z T
Z 1
∗
N ∗
+ IE
λu J u
λv (Du Jv )
(Jv∗ + τ DuN Jv∗ )
s
u
0

Z 1
(3)
∗
N
∗
∗
N ∗
φ (Mu + Mu + τ Du Mu + ρ(Jv + τ Du Jv ))dρdτ dvdu
0
Z t
Z T
Z 1
∗
N ∗
+ IE
λ u Ju
λv (Du Jv )
(Jv∗ + τ DuN Jv∗ )
s
u
0

Z 1 2
∂ ψ
∗
N
∗
∗
N ∗
(Mu + Mu + τ Du Mu + ρ(Jv + τ Du Jv ), Ju )dρdτ dvdu
2
0 ∂x
Z t

Z T
Z 1
2
N ∗
∗
N ∗ ∂ ψ
∗
N
∗
+ IE
λ u Ju
(Du σv )
(σv + τ Du σv ) 2 (Mu + Mu + τ Du Mu , Ju )dτ dvdu ,
∂x
s
u
0
0 6 s 6 t, où

ψ(x, y) =

φ(x + y) − φ(x) − yφ′ (x)
,
y

27

x, y ∈ R.

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
On considère maintenant l’application de la Proposition 1.1.7 au cas d’un processus continu puis au cas d’un processus de sauts pur. Considérons tout d’abord le cas d’un processus continu, i.e. nous supposons que
Ju = Ju∗ = 0

ou

λu = λ∗u = 0,

u ∈ [0, T ].

(1.1.34)

Proposition 1.1.8. Supposons que (σt∗ )t∈[0,T ] appartient à l’espace L2,1 . Alors, sous la
condition (1.1.34), on a pour tout φ ∈ C 3 (R) de dérivée troisième bornée
Z t


%
1
%
∗
∗
′′
∗
2
∗ 2
= IE φ Ms + Ms + IE
φ (Mu + Mu )(|σu | − |σu | )du
IE φ Mt + Mt
2
s

Z t
Z T
1
(3)
∗
W
∗ 2
σu φ (Mu + Mu )
Du |σv | dvdu ,
+ IE
2
s
u

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

0 6 s 6 t.
Nous considérons maintenant le cas de processus de sauts pur, i.e.
σu = σu∗ = 0,

u ∈ [0, T ].

(1.1.35)

Proposition 1.1.9. Supposons que (Jt∗ )t∈[0,T ] appartient à l’espace L2,1 . Sous la condition
(1.1.35), on a, pour tout φ ∈ C 3 (R) de dérivée troisième bornée

%

%
IE φ Mt + Mt∗ = IE φ Ms + Ms∗
Z t

∗
∗ ∗
∗
∗
+ IE
(λu Ju ψ(Mu + Mu , Ju ) − λu Ju ψ(Mu + Mu , Ju ))du
s
Z t
Z 1
Z T
∗
N ∗
Ju λ u
λv (Du Jv )
(Jv∗ + τ DuN Jv∗ )
+ IE
s
u
0

Z 1
(3)
∗
N
∗
∗
N ∗
φ (Mu + Mu + τ Du Mu + ρ(Jv + τ Du Jv ))dρdτ dvdu
0
Z t
Z 1
Z T
∗
N ∗
Ju λu
λv (Du Jv )
(Jv∗ + τ DuN Jv∗ )
+ IE
s
u
0

Z 1 2
∂ ψ
∗
N
∗
∗
N ∗
(Mu + Mu + τ Du Mu + ρ(Jv + τ Du Jv ), Ju )dρdτ dvdu ,
2
0 ∂x
0 6 s 6 t.
Nous dérivons maintenant des conditions sur les coefficients (σt )t∈[0,T ] , (σt∗ )t∈[0,T ] , (Jt )t∈[0,T ] ,
(Jt∗ )t∈[0,T ] ainsi que sur (λt )t∈[0,T ] , (λ∗t )t∈[0,T ] qui assurent la croissance de la martingale
forward/backward (Mt + Mt∗ )t∈[0,T ] pour l’ordre convexe. Considérons tout d’abord le cas
général d’un processus de diffusion à sauts.
Théorème 1.1.10. Supposons que les processus (σt∗ )t∈[0,T ] et (Jt∗ )t∈[0,T ] appartiennent à
l’espace L2,1 , et que

28

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
i) |σu∗ | 6 |σu |, d IP du - p.p.,

ii) 0 6 Ju∗ 6 Ju , d IP du - p.p.,
iii) 0 6 λ∗u Ju∗ 6 λu Ju , d IP du - p.p.,
iv) (σv∗ + τ DuN σv∗ )DuN σv∗ > 0, d IP dudv - p.p., 0 6 u 6 v, τ ∈ [0, 1],

v) σu σv∗ DuW σv∗ > 0, σu DuW Jv∗ > 0, DuN Jv∗ > 0, d IP dudv - p.p. 0 6 u 6 v,

alors on a
IE[φ(Ms + Ms∗ )] 6 IE[φ(Mt + Mt∗ )],

0 6 s 6 t,

(1.1.36)

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

pour toute fonction convexe φ ∈ C 2 (R) dont les dérivées première et seconde sont convexes.
Nous détaillons maintenant le cas de martingales continues d’une part et de martingales
à sauts pur d’autre part pour lesquelles les conditions se simplifient. Considérons tout
d’abord le cas continu, i.e. on suppose que la condition (1.1.34) est vérifiée.
Théorème 1.1.11. Supposons que (σt∗ )t∈[0,T ] appartient à l’espace L2,1 . Supposons que
(σt )t∈[0,T ] et (σt∗ )t∈[0,T ] vérifient |σu∗ | 6 |σu |, d IP du - p.p., ainsi que :
σu Du |σv∗ |2 > 0,

d IP dudv - p.p.

(1.1.37)

Alors pour 0 6 s 6 t 6 T , on a
IE [φ(Ms + Ms∗ )] 6 IE [φ(Mt + Mt∗ )] ,

0 6 s 6 t 6 T,

(1.1.38)

pour toute fonction convexe φ ∈ C 1 (R) de dérivée convexe.
En remplaçant (1.1.37) par
σu Du |σv∗ |2 6 0,

d IP dudv - p.p.,

on obtient que (1.1.38) est vérifiée pour toute fonction convexe φ ∈ C 1 (R) de dérivée
concave.
Dans le théorème suivant, on s’intéresse au cas de processus de sauts pur, i.e. on suppose
que la condition (1.1.35) est vérifiée.
Théorème 1.1.12. Supposons que (Jt∗ )t∈[0,T ] appartient à L2,1 . Supposons que les coefficients (Jt )t∈[0,T ] et (Jt∗ )t∈[0,T ] vérifient :
i) 0 6 Ju∗ 6 Ju , d IP du - p.p.,
ii) 0 6 λ∗u Ju∗ 6 λu Ju , d IP du - p.p.,
iii) DuN Jv∗ > 0, d IP dudv - p.p.,

29

1.1. INÉGALITÉS DE DÉVIATION ET DE CONCENTRATION
alors on a
IE [φ(Ms + Ms∗ )] 6 IE [φ(Mt + Mt∗ )] ,

(1.1.39)

0 6 s 6 t 6 T,

pour toute fonction convexe φ ∈ C 2 (R) de dérivées première et seconde convexes.
On présente maintenant les résultats principaux énoncés et démontrés dans le chapitre 3.
Il s’agit d’inégalités de concentration convexe entre deux variables aléatoires admettant
les représentations intégrales suivantes
Z T
Z T
σu dWu +
Ju− (dNu − λu du),
0

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

et
Z

0

T
0

ˆu
σu∗ dW

+

Z

T
0

ˆu − λ∗u du),
Ju∗− (dN

où
(Jt )t∈[0,T ] ,
sont des processus (Ft ) -adaptés de carrés
ˆ
ˆ
intégrables, et où (Wt )t∈[0,T ] et (Nt )t∈[0,T ] sont respectivement un mouvement brownien
standard forward et un processus de Poisson forward d’intensité (λ∗t )t∈[0,T ] . On suppose
ˆ t )t∈[0,T ] et (N
ˆt )t∈[0,T ] indépendants l’un de l’autre et indépendants de (Wt )t∈[0,T ] et de
(W
(Nt )t∈[0,T ] . On présente ici le théorème dans le cas mixte.
(σt )t∈[0,T ] , (σt∗ )t∈[0,T ] ,

(Jt∗ )t∈[0,T ]

Théorème 1.1.13. Supposons que les processus (σt∗ )t∈[0,T ] et (Jt∗ )t∈[0,T ] appartiennent à
L2,1 , et supposons de plus que
i) |σu∗ | 6 |σu | d IP du - p.p.,

ii) 0 6 Ju∗ 6 Ju , d IP du - p.p.,
iii) λ∗u Ju∗ 6 λu Ju , d IP du - p.p.,
iv) (σv∗ + τ DuN σv∗ )DuN σv∗ > 0, d IP du - p.p., 0 6 u 6 v, τ ∈ [0, 1],
v) σu σv∗ DuW σv∗ > 0, σu DuW Jv∗ > 0, DuN Jv∗ > 0, d IP dudv - p.p.

alors, on a
Z T
Z
∗ ˆ
σ u d Wu +
IE φ
0

T
0

ˆu
Ju∗ (dN

−

λ∗u du)



Z
6 IE φ

T

σu dWu +
0

Z

T
0

Ju (dNu − λu du)

(1.1.40)
pour toute fonction convexe φ ∈ C (R) de dérivées première et seconde convexes.
2

Lorsque σv∗ > 0 la condition (iv) ci-dessus peut être remplacée par la condition
iv ′ ) DuN σv∗ > 0, d IP dudv - p.p.
En effet dans ce cas
σv∗ + τ DuN σv∗ = σv∗ + τ (σv∗ (W· , N· + 1[u,+∞[ (·)) − σv∗ )
= (1 − τ )σv∗ + τ σv∗ (W· , N· + 1[u,+∞[ (·))

30



,

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT
(1.1.41)

> 0.

Nous détaillons ici les implications du théorème précédent dans les cas de processus continus d’une part et de sauts pur d’autre part. Commençons par le cas continu, i.e. on suppose
que la condition (1.1.34) est vérifiée.
Corollaire 1.1.14. Supposons que (σt∗ )t∈[0,T ] appartient à l’espace L2,1 . Supposons de
plus que |σu∗ | 6 |σu |, d IP dudv - p.p. et que
σu Du |σv∗ |2 > 0,

d IP du - p.p.,

0 6 u 6 v,

(1.1.42)

,

(1.1.43)

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

alors on a
Z
IE φ

T
0

ˆu
σu∗ dW



Z
6 IE φ

T

σu dWu
0



T > 0,

pour toute fonction convexe φ ∈ C 1 (R) de dérivée convexe.
On s’intéresse maintenant au cas de processus à sauts pur, i.e. on suppose que la condition (1.1.35) est vérifiée.
Corollaire 1.1.15. Supposons que (Jt∗ )t∈[0,T ] appartient à l’espace L2,1 et que
i) 0 6 Ju∗ 6 Ju , d IP du - p.p.,
ii) 0 6 λ∗u Ju∗ 6 λu Ju , d IP du - p.p.,
iii) DuN Jv∗ > 0, d IP dudv - p.p.
Alors pour 0 6 s 6 t 6 T , on a

Z
Z T
∗
∗
ˆu − λ du)
Ju− (dN
6 IE φ
IE φ
u
0

T
0

Ju− (dNu − λu du)



,

(1.1.44)

pour toute fonction convexe φ ∈ C 2 (R) de dérivées première et seconde convexes.

1.2 Mouvement brownien conditionné à rester dans un
segment
1.2.1 Théorèmes limites
On décrit ici les résultats relatifs au conditionnement de processus présentés dans le
chapitre 4. Ce sont des résultats de convergence en loi, ils s’inscrivent dans la continuité de résultats obtenus dans [19], [24], etc. Nous comparons les processus obtenus avec
le méandre brownien et avec l’excursion brownienne. Nous rappelons ici les définitions
de ces processus.

31

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT

Soit (Wt )t∈R+ un mouvement brownien standard. On note σ (resp. τ ) le dernier temps de
passage en 0 avant (resp. premier temps de passage après) le temps 1, i.e.
σ := sup{s < 1; Ws = 0}

et Ï„ := inf{s > 1; Ws = 0}.

On appelle méandre brownien le processus (Wt+ )t∈[0,1] défini par
1
Wt+ = √ |Wσ+∆t |,
∆
où ∆ = 1 − σ. Le processus ainsi défini est positif sur [0, 1] et les propriétés de symétrie,
d’invariance en loi par translation et par changement d’échelle permettent de considérer
ce processus comme un mouvement brownien conditionné à rester positif.

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

On appelle excursion brownienne signée le processus (Wt◦ )t∈[0,1] défini par
1
Wt◦ = √ Wσ+∆t ,
∆
où ∆ = τ − σ, cf. e.g. [28]. Ce processus est de signe constant sur [0, 1] et on a W1◦ = 0.
Les mêmes raisons que précédemment permettent de considérer ce processus comme un
mouvement brownien conditionné à revenir pour la première fois en 0 au temps 1. On
appelle excursion brownienne non-signée le processus (|Wt◦ |)t∈[0,1] .
Depuis le début des années 70 des théorèmes de convergence en loi ont été utilisés afin de
construire des processus conditionnés par des évènements de probabilité nulle Λ. Parmi
ces théorèmes, on peut distinguer essentiellement deux grandes familles. La première approche s’appuit sur les marches aléatoires tandis que la deuxième est une approche fonctionnelle.
Les idées sous-jacentes à chacune de ces approches se résument de la façon suivante : la
première méthode consiste à approximer le mouvement brownien par une suite de processus approchants et à conditionner ces processus par un évènement Λ alors que la deuxième
méthode consiste à approximer l’évènement conditionnant. Nous détaillons maintenant
chacune de ces approches.
Nous rappelons ici le théorème de Donsker sur lequel repose la première méthode.
Théorème 1.2.1. Soit (Xi )i∈N∗ une suite de variables aléatoires i.i.d. centrées de variance
finie. Lorsque n tend vers +∞, la suite des processus (Xn (t))t∈[0,1] , n > 1, définis par
[nt]

1 X
Xi
Xn (t) = √
n i=1

32

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT
converge en loi dans l’espace D([0, 1]) des fonctions continues à droite et limitées à
gauche (càdlàg) muni de la topologie J1 de Skorohod (cf. [10]), vers le mouvement brownien sur [0, 1].

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

L’idée est alors que si l’on conditionne les marches aléatoires par un évenement Λ, la suite
convergera alors vers un processus qui respectera la condition imposée par Λ et qui pourra
être interprété comme le mouvement brownien conditionné par un évènement Λ.
En 1974, D. L. Iglehart utilise cette approche dans [27] pour construire un mouvement
brownien conditionné à rester positif sur [0, 1] et deux ans plus tard E. Bolthausen affaiblit les hypothèses techniques sur les variables aléatoires sous-jacentes à la marche. En
1976, W. D. Kaigh établit dans [30] qu’une suite de marches aléatoires conditionnées à
revenir pour la première fois en 0 au temps n et renormalisées comme dans le théorème
1.2.1 converge en loi vers un processus qu’il interprète comme le mouvement brownien
conditionné à avoir un signe constant sur [0, 1] et à revenir en 0 au temps 1.
D’un point de vue technique les démonstrations comportent deux étapes. Dans un premier
temps, on calcule les lois fini-dimensionnelles pour les marches aléatoires conditionnées
et l’on montre que ces distributions convergent. Puis, dans un deuxième temps, on montre
la tension de la suite de mesures induites sur l’espace des fonctions càdlàg, ce qui permet
de conclure à la convergence en loi de la suite de mesures (cf. [10]).
L’approche fonctionnelle consiste à considérer une suite (Λn )n∈N décroissante d’évènements de probabilité non nulle qui “tend” vers Λ. Plus précisément, la suite (Λn )n∈N est
décroissante au sens de l’inclusion et ∩n∈N Λn = Λ. On cherche ensuite à établir la convergence en loi de la suite (Wun )n∈N des mouvements browniens conditionnés par Λn . Notons
que cette approche est plus générale et ne se limite pas au mouvement brownien.
Cette approche a notamment été utilisée par Durrett, Iglehart et Miller dans [19] pour
établir des liens entre mouvement brownien, méandre brownien, pont brownien et excursion brownienne. Plus précisément, ces auteurs établissent que lorsque ε > 0 tend vers
0:
– le mouvement brownien sur [0, 1] conditionné à rester supérieur à −ε tend vers le méandre brownien,
– le méandre brownien sur [0, 1] conditionné à avoir une valeur terminale inférieure à ε
tend vers l’excursion brownienne,
– le pont brownien conditionné à rester supérieur à −ε tend vers l’excursion brownienne.
Plus récemment, un point de vue similaire a été utilisé pour conditionner le mouvement
brownien (multidimensionnel) issu d’un point à rester dans un cône issu de ce même point
(see [24]).
Les grandes lignes des preuves suivent la même ligne que précédemment. On calcule les
lois fini-dimensionnelles pour les processus conditionnés, on montre la convergence de
ces distributions puis on prouve la tension de la suite de mesures induites sur l’espace

33

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

des fonctions continues ce qui permet de conclure à la convergence en loi de la suite de
mesure (cf. [10]).
Dans le chapitre 4, on construit un mouvement brownien conditionné à rester dans l’intervalle [0, ℓ] jusqu’au temps 1 et on considère plusieurs cas selon le comportement voulu
au temps 1. Le mouvement brownien prenant (presque sûrement) des valeurs négatives
sur l’intervalle [0, 1], l’évènement “le mouvement brownien reste dans l’intervalle [0, ℓ]
jusqu’au temps 1” est de mesure nulle et il est impossible de procéder à un conditionnement direct. Nous adoptons pour répondre à ce problème le point de vue de [19], et
établissons trois théorèmes de convergence fonctionnelle. Le Théorème 1.2.3 concerne le
cas où le mouvement brownien est conditionné à rester dans [0, ℓ] jusqu’au temps 1 sans
condition finale, dans le Théorème 1.2.4 on traite le cas où on ajoute la condition finale
W1 = 0, enfin le Théorème 1.2.5 concerne le cas où le mouvement brownien traverse le
segment pour finir en â„“, i.e. W1 = â„“.
Notons mt et Mt les minimum et maximum courants du mouvement brownien, i.e.
mt = min Ws ,
06s6t

Mt = max Ws .
06s6t

On commence par rappeler le principe de réflexion, cf. e.g. [31].
Principe de Réflexion
Soient a < 0 et a < x1 < x2 , on a

%

%
IP Wt ∈ [x1 , x2 ], mt < a = IP Wt ∈ [2a − x2 , 2a − x1 ] .

(1.2.1)

Donnons encore ici quelques notations. Soit (Ω, F, IP) un espace probabilisé. Étant donné
un évènement Λ ∈ F de probabilité non-nulle, l’espace (Λ, FΛ , IPΛ ) où FΛ := {A ∩ Λ :
A ∈ F} est la trace de F sur Λ et où IPΛ correspond à la mesure IP conditionnellement à
l’évènement Λ, i.e.
IP (A)
= IP (A|Λ) , ∀A ∈ FΛ .
IPΛ (A) =
IP (Λ)
À une variable aléatoire X définie sur (Ω, F, IP) correspond naturellement une variable
aléatoire X Λ sur (Λ, FΛ , IPΛ ) définie comme la restriction de X à Λ. Compte tenu de
la définition de la mesure IPΛ , la variable aléatoire XΛ peut être considérée comme X
conditionnée par l’évènement Λ. Le résultat suivant assure que sous certaines conditions
un processus markovien soumis à un conditionnement reste markovien, cf. [19].
Lemme 1.2.2. Soit X une fonction markovienne sur l’espace des fonctions continues
C[0, 1]. Soit L un ensemble borélien de C[0, 1] tel que IP (X ∈ L) 6= 0. On note Λ =

34

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT
{X ∈ L} et π[0,t] (resp. π[t,1] ) la projection de C[0, 1] sur C[0, t] (resp. C[t, 1]). Si pour
tout t ∈ [0, 1], il existe des boréliens At ⊂ C[0, t] et Bt ⊂ C[t, 1] tels que
−1
−1
L = π[0,t]
(At ) ∩ π[t,1]
(Bt ) ,

alors X Λ est markovien.
Dans les théorèmes suivants, les noyaux de transition sont exprimés au moyen de la fonction theta de Jacobi ϑ, définie pour z ∈ C et τ dans le demi-plan des complexes à partie
imaginaire positive, par :
Ï‘ (z, Ï„ ) =

+∞
X

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

k=−∞

%

exp iπk 2 τ + 2kπiz .

(1.2.2)

Il existe des liens profonds entre la fonction theta de Jacobi et d’autres fonctions associées
d’une part et le conditionnement du mouvement brownien d’autre part. Ces liens proviennent de l’équation de la chaleur à laquelle la dynamique du mouvement brownien et la
fonction theta de Jacobi sont toutes les deux rattachées. On renvoie à [41] pour une étude
détaillée.
Nous énonçons ici les théorèmes obtenus dans le chapitre 4.
Le premier de ces résultats concerne le cas où l’extrémité du processus est laissée libre.
On considère l’évènement
Λa,b
t := {Ws ∈ [a, b], s ∈ [0, t]}.
Dans le cas où t = 1, on notera simplement Λa,b := Λa,b
1 , par ailleurs si b = â„“, on notera
Λε := Λ−ε,ℓ . Pour ε > 0, on note W ℓ,ε le mouvement brownien conditionné à rester dans
ε
l’intervalle [−ε, ε] jusqu’au temps 1, i.e. W ℓ,ε := W Λ .
Dans la suite, φt désigne la densité gausienne centrée de variance t,
φt (x) = √

1 − x2
e 2t .
2Ï€t

Théorème 1.2.3. Lorsque ε tend vers 0, le processus conditionné W ℓ,ε converge en loi,
dans l’espace C[0, 1] des fonctions continues muni de la topologie uniforme, vers un processus de Markov W ℓ dont le noyau de transition est
 √
H1−t (y)Gℓt (y)



si 0 = s, x = 0,

â„“2
 2π ϑ 0,1+ 2π
i
H1−t (y)
pâ„“ (s, x; t, y) =
(1.2.3)
(rs,t (y − x) − rs,t (y + x)) si 0 < s,

H1−s (x)


0
sinon,
35

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT
pour 0 6 s < t 6 1 et x, y ∈ (0, ℓ), où
Hs (x) =

( R
ℓ−x
−x

φs (ξ)ϑ

1

Gâ„“t (x) =



ℓξ
i, 1
2Ï€s

+∞
X

k=−∞

et

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

rs,t (x) := φt−s (x)ϑ



+

â„“2
i
2Ï€s



dξ, si s > 0,
si s = 0,

φ′t (2kℓ − x),


2â„“2
â„“x
i,
i .
π (t − s) π (t − s)

Nous présentons maintenant le cas où le mouvement brownien est également conditionné
à quitter l’intervalle [0, ℓ] au temps 1. Deux cas sont possibles : ou bien W1 = 0 ou bien
W1 = â„“.
Commençons par le cas où W1 = 0. Soit I ↓,ε = [−ε, ε] et soit W ℓ,↓,ε le mouvement
brownien conditionné à rester dans [−ε, ℓ] jusqu’au temps 1 et à appartenir à I ↓,ε au temps
1, i.e. W ℓ,↓,ε est le mouvement brownien conditionné par l’évènement
Λ↓,ε := {W1 ∈ I ↓,ε , Λε }.
Théorème 1.2.4. Il existe ℓ0 > 0, tel que pour ℓ > ℓ0 , le processus W ℓ,↓,ε converge en
loi dans l’espace C[0, 1] des fonctions continues muni de la topologie uniforme, lorsque
ε tend vers 0, vers un processus de Markov W ℓ,↓ dont le noyau de transition est :

2Gℓ1−t (y)Gℓt (y)

dy
− P+∞


φ′′
1 (2kâ„“)

 Gℓ k=−∞
%

1−t (y)
r
(y
−
x)
−
r
(y
+
x)
dy
s,t
s,t
â„“
pℓ,↓ (s, x; t, y) dy =
G1−s (x)



δ (dy)

 0
0 dy

si 0 = s < t < 1, x = 0,
si 0 < s < t < 1,
si t=1,
sinon,
(1.2.4)

â„“

0 6 s < t 6 1 et x, y ∈ (0, ℓ), avec G définie comme dans le Théorème 1.2.3.
Considérons maintenant le deuxième cas. Soient I ↑,ε = [ℓ − ε, ℓ] et W ℓ,↑,ε le mouvement
brownien conditionné à rester dans [−ε, ℓ] jusqu’au temps 1 et à finir en I ↑,ε , i.e. W ℓ,↑,ε
est le mouvement brownien par l’évènement
Λ↑,ε := {W1 ∈ I ↑,ε , Λε }.

36

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

Théorème 1.2.5. Il existe ℓ0 tel que pour ℓ > ℓ0 , lorsque ε tend vers 0, le processus
W ℓ,↑,ε converge en loi, dans l’espace C[0, 1] des fonctions continues muni de la topologie
uniforme, vers un processus de Markov W ℓ,↑ dont le noyau de transition est

2Gℓ1−t (ℓ−y)Gℓt (y)

P+∞
dy
si 0 = s < t < 1, x = 0,


 ℓk=0 φ′′1 ((2k+1)ℓ)


G1−t (ℓ−y) %
r (y − x) − rs,t (y + x) dy si 0 < s < t < 1,
p(s, x; t, dy) =
Gℓ1−s (ℓ−x) s,t


si t = 1,
δ (dy)


 ℓ
0 dy
sinon,
(1.2.5)
â„“
0 6 s < t 6 1, x, y ∈ (0, ℓ), avec G définie comme dans le Théorème 1.2.3.
Remarque 1.2.6. Dans les deux précédents théorèmes, la convergence a lieu dès lors que
le noyau de transition est bien défini, i.e. si les dénominateurs ne sont pas nuls. Par un
argument de continuité, il est clair que c’est bien le cas pour ℓ assez grand. S’il n’existe
pas de raisons profondes qui poussent à penser qu’il existe un seuil en-deça duquel la
convergence n’a pas lieu, nous ne sommes cependant pas parvenus à le montrer et cette
question reste ouverte. Néanmoins, par des arguments d’analyse élémentaire, nous avons
établi que la convergence a lieu pour ℓ > 1, 66.
D’un point de vue heuristique on s’attend à ce que le mouvement brownien conditionné à
rester dans [0, ℓ] jusqu’au temps 1 converge vers le méandre brownien lorsque ℓ tend vers
+∞. Dans le même temps, on s’attend à ce que le mouvement brownien conditionné à
rester dans [0, ℓ] et à finir en 0 au temps 1 converge vers l’excursion brownienne.
Proposition 1.2.7. Les lois fini-dimensionnelles du processus W â„“ convergent, lorsque â„“
tend vers +∞, vers celles du méandre brownien.
Les lois fini-dimensionnelles du processus W ℓ,↑ convergent, lorsque ℓ tend vers +∞, vers
celles de l’excursion brownienne non signée.

1.2.2 Ponts markoviens
On présente ici une construction alternative de processus conditionnés. Nous nous appuyons sur un article de J.-C. Zambrini et N. Privault (cf. [43] ) dans lequel les auteurs cherchent à conditionner les lois initiale et finale d’un processus de Markov donné
(ξt )t∈[0,T ] . Les processus ainsi construits sont markoviens backward et forward. La méthode utilisée est à rapprocher des h-transformées de Doob.
On note
et

h(s, x, t, dy) = IP(ξt ∈ dy|ξs = x)
h† (s, dx, t, y) = IP(ξs ∈ dx|ξt = y),

0 6 s < t.

37

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT

La combinaison des deux théorèmes suivants ([43]) permet de construire à partir du noyau
de transition d’un processus markovien (ξ)t∈[0,T ] , un processus markovien avec des lois
initiale et finale prescrites.
Théorème 1.2.8. Supposons que h et h† , sont adjoints par rapport à la mesure de Lebesgue,
i.e.
h(s, x, t, dy)dx = h† (s, dx, t, y)dy.
Soit η0∗ et η1 deux fonctions strictement positives, telles que pour un certain t ∈ [0, 1].
Z
ηt∗ (x)ηt (x)dx = 1,
(1.2.6)
R

avec

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

ηt∗ (y)

=

et
ηt (x) =

Z

η0∗ (x)h† (0, dx, t, y),

(1.2.7)

η1 (y)h(0, x, 1, dy),

(1.2.8)

R

Z

R

alors il existe un processus (Zt )t∈[0,1] markovien forward et backward, dont les probabilités de transition sont données par
p(s, x, t, y) =

ηt (y)
h(s, x, t, y)
ηs (x)

p† (s, x, t, y) =

ηt∗ (y) †
h (s, x, t, y)
ηs∗ (x)

(1.2.9)

et dont la densité au temps t est ηt (x)ηt∗ (x).
En particulier les densités des lois aux temps 0 et 1 sont respectivement η0 (x)η0∗ (x) et
η1 (x)η1∗ (x).
Le théorème suivant permet d’affirmer que l’on peut prescrire les lois initiale et finale
du processus (Zt )t∈[0,1] . Ce résultat est la version unidimensionnelle d’un théorème dû à
Beurling ([9]).
Théorème 1.2.9. Soient π0 et π1 deux mesures de probabilité sur (R, B(R)) et soit un
noyau de Markov h(s, x, t, y) strictement positif et continu en (x, y). Il existe deux mesures
η0∗ (dx) et η1 (dy) sur (R, B(R)) telles que
Z

Ï€0 (dx) =
h(0, x, 1, y)η1 (dy) η0∗ (dx),
R

et

Ï€1 (dy) =

Z

h(0, x, 1, y)η0∗ (dx)
R

38



η1 (dy).

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT
En particulier, lorsque les mesures π0 (dx) et π1 (dy) sont absolument continues par rapport
à la mesure de Lebesgue, η0∗ (dx) et η1 (dy) le sont aussi. En notant η0∗ (x) et η1 (y) leur
densité on a :
Z
Z Z
∗
η0 (x)η0 (x) dx =
η1 (y)h(0, x, 1, y) dy η0∗ (x) dx
R
ZR ZR
=
h(0, x, 1, y)η1 (dy)η0∗ (x) dx
ZR R
=
Ï€0 (dx) = 1.

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

R

La condition (1.2.6) est satisfaite, nous pouvons donc appliquer le Théorème 1.2.8. Dans
ce cas, le processus markovien (Zt )t∈[0,1] ainsi construit a donc bien les lois initiale et
finale prescrites. Ainsi, si π0 (dx) et π1 (dy) sont absolument continues par rapport à la
mesure de Lebesgue, η0∗ (dx) et η1 (dy) le sont aussi. En combinant les deux théorèmes
précédents, on peut construire un pont markovien forward/backward dirigé par ξ, avec les
lois initiale et finale choisies.
Le théorème suivant précise la dynamique du processus construit dans le cas particulier
où (ξt )t∈[0,1] est un processus de diffusion donné par
dξt = cdt + σdWt .
Théorème 1.2.10. Soient π0 (dx) et π1 (dy) deux mesures de probabilité sur (R, B(R)),
absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue, de densités strictement positives. Il existe un processus (Zt )t∈[0,1] ayant pour loi initiale π0 (dx) et pour loi finale
π1 (dy), dirigé par (ξt )t∈[0,1] , en ce sens que (Zt )t∈[0,1] est solution faible de l’E.D.S.
dZt = cdt + σdWt + σ 2 ∇ log ηt (Zt )dt.

(1.2.10)

Dans la fin de cette section nous expliquons comment le théorème 1.2.8 permet de construire certains processus usuels liés au mouvement brownien ainsi que les processus
décrits dans les théorèmes 1.2.4 et 1.2.5.
Tout d’abord, rappelons que l’équation de la chaleur sur la droite R,
1 ∂ 2h
∂h
=
,
∂t
2 ∂x2

(1.2.11)

admet pour solution fondamentale la fonction
K(t, x, y) = φt (y − x) = √

1 − (y−x)2
e 2t ,
2Ï€t

39

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT
et que cette dernière est liée au noyau de transition h du mouvement brownien sur R par
l’identité
h(s, x, t, y) = K(t − s, x, y).
On considère maintenant l’équation de propagation de la chaleur sur la demi-droite R+ ,
i.e. on considère l’équation (1.2.11) avec la condition de Dirichlet
t ∈ R+ .

h(0, t) = 0,
Le noyau de Green de cette équation est

Khp (t, x, y) = (φt (y − x) − φt (y + x)).

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

On définit alors hhp (s, x, t, y) par
hhp (s, x, t, y) = Khp (t − s, x, y),

0 6 s < t < 1,

x, y ∈ R+ .

Afin de construire l’excursion brownienne, on pose comme mesure finale η1 (dy) = δε (dy),
la mesure de Dirac en ε > 0. L’expression (1.2.8) devient alors
Z
hhp (t, y, x, ξ)δε (ξ) = hhp (t, y, 1, ε).
ηt (y) =
R+

Pour 0 < s < t < 1 et x, y > 0, la transformée (1.2.9) du noyau de transition est donc
pε (s, x, t, y) =

ηt (y)
hhp (t, y, 1, ε)
hhp (s, x, t, y) =
hhp (s, x, t, y).
ηs (x)
hhp (s, x, 1, ε)

en faisant tendre ε vers 0 dans cette expression, on a
p(s, x, t, y) =

(1 − s) y φ1−t (y)
(φt−s (x − y) − φt−s (x + y)) .
(1 − t) x φ1−s (x)

(1.2.12)

Pour s = 0 < t < 1 et x, y > 0, on a
pε (0, x, t, y) =

hhp (t, y, 1, ε)
ηt (y)
=
hhp (s, x, t, y).
ηs (x)
hhp (t, x, 1, ε)

En faisant tendre successivement x et ε vers 0, on obtient
p(0, 0, t, y) = √

2

y2

3

2π(t(1 − t)) 2

y 2 e− 2t(1−t) .

(1.2.13)

Les expressions (1.2.12) et (1.2.13) constituent le noyau de transition de l’excursion
brownienne non-signée (cf. e.g. [30]).

40

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT

Le calcul de ∇ log ηt donne (en faisant tendre ε vers 0)
∇ log ηt (x) =

x
1
−
.
x 1−t

La proposition 1.2.10 permet alors de penser que ce processus satisfait l’E.D.S.


1
Zt
dZt = dWt +
−
dt.
(1.2.14)
Zt 1 − t
Remarque 1.2.11. On obtient le même résultat, en partant du noyau de Bessel
hB (s, x, t, y) =

y
hhp (t − s, x, y).
x

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

On a alors

y
,
1−t
et le théorème permet de conjecturer que le processus Z est également solution de l’E.D.S.
∇ log ηt (y) = −

dZt = dBt −

Zt
dt,
1−t

(1.2.15)

où Bt est le processus de Bessel.
Afin de construire le méandre brownien, on pose maintenant comme condition initiale
η0∗ (dx) = δε (dx). L’expression (1.2.7) devient
Z
y
∗
∗
hhp (0, x, 1, y)η0 (dx) = hhp (0, ε, 1, y) = y exp − 2ε + o(ε).
η1 (y) =
2
R+
Par ailleurs le principe de réflexion permet de déterminer la loi finale du méandre brownien et on a
2
y
+
IP(W1 ∈ dy) = y exp
1R+ (y)dy.
2

1
On est donc amené à poser η1 (dy) = 2ε
1R+ (y)dy de sorte que η1 (y)η1∗ (y) soit la densité
souhaitée, i.e.
η1 (y)η1∗ (y)dy = IP(W1+ ∈ dy).

L’expression (1.2.8) devient

ηt (y) =

Z

hhp (t, y, 1, ξ)η1 (dξ)
Z
1
=
φ1−t (ξ − y) − φ(ξ + y)dξ
2ε R+
R+

41

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT
1
=
ε

Z

x

φξ dξ
0

La transformée selon (1.2.9) du noyau hhp est donc formellement
Ry
φ1−t (u)du
p(s, x, t, y) = R 0x
(φt−s (y − x) − φt−s (y + x)) .
φ
(u)du
1−s
0

(1.2.16)

Pour s 6= 0, l’expression (1.2.16) est bien définie. Pour s = 0, x = ε, on obtient en faisant
tendre ε vers 0
2 Z y
y
− 32
φ1−t (u)du.
(1.2.17)
p(0, 0, t, 1) = 2t y exp −
2t
0

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

Les expressions (1.2.17) et (1.2.16) constituent le noyau de transition du méandre brownien.
Le calcul de ∇ log ηt donne (en faisant tendre ε vers 0)
∇ log ηt (x) = R x
0

φ1−t (x)
.
φ1−t (u)du

La proposition 1.2.10 permet alors de penser que ce processus satisfait l’E.D.S.
φ1−t (Zt )
.
dZt = dWt + R Zt
φ
(u)du
1−t
0
Considérons maintenant, l’équation de la chaleur (1.2.11) sur [0, 1] avec une condition de
Dirichlet au bord, i.e.
h(x, t) = 0,

t ∈ R+ ,

x ∈ {0, 1}.

Le noyau de Green de cette équation est
KI (t, x, y) =

+∞
X

k=−∞

(φt (y − x + 2k) − φt (y + x + 2k)).

(1.2.18)

De la même façon, on définit hI par
hI (s, x, ty) = KI (t, x, y).
En posant comme condition finale la mesure de Dirac en ε, i.e. η1 (y) = δε (dy), et en suivant la méthode décrite plus haut, on trouve le noyau de transition défini dans le théorème
1.2.4. L’expression de ∇ log ηt n’est cependant pas suffisamment explicite pour apporter
de l’information quant à la dynamique de ce processus.

42

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT

1.2.3 Interpolation stochastique
Soit X un processus à valeurs dans R défini via l’E.D.S.suivante :
dXt = a (t, Xt ) dt + b (t, Xt ) dWt

(1.2.19)

avec a, b : [0, T ] × R → R, pour T > 0 et soit I une partie de R. Supposons que la valeur
du processus X ne puisse pas être connue lorsque X est dans I, en d’autres termes qu’on
ait seulement connaissance du processus (Yt )t∈R+ défini par

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

Ys = Xs 1Xs ∈I
/ .
Ce modèle peut par exemple décrire la situation où X est un signal et où l’impossibilité d’observer le signal traduit un défaut des instruments de mesure (e.g. typiquement un
phénomène de saturation). La question naturelle qui apparaît concerne l’estimation de Xt0
en une date t0 auquel la valeur du processus est inconnue. Ce problème a été étudié d’un
point de vue statistique dans [16], [33] et [34].
Dans [33] par exemple, l’auteur étudie le cas où I = R+ . Il considère alors un instant t0
où le processus est caché et cherche à estimer Xt0 en fonction de l’information contenue
par le passé de sa trajectoire, S(Ys , s 6 t0 ). Le caractère markovien de X permet de
conclure que Xt0 ne dépend de son passé qu’au travers du dernier temps d’entrée dans I,
σt0 = sup{s 6 t0 ; Xs ∈
/ I}. Plus précisément, sous certaines conditions de régularité sur
f et g, la diffusion en temps inversé existe. Pour cette diffusion σt0 est un temps d’arrêt et
la propriété de Markov forte appliquée permet de conclure que le meilleur estimateur de
Xt0 est
IE[Xt0 |Ys , s 6 t0 ] = IE[Xt0 |σt0 ].
Au moyen du calcul d’Itô et de ses liens avec les E.D.P.s, l’auteur donne une expression
analytique de cet estimateur.
Dans [34], les auteurs étudient le problème dans un cadre plus général. Le processus
(Xt )t∈R+ est à valeurs dans l’espace E = Rn et l’E.D.S.(1.2.19) est modifiée en conséquence : (Wt )t∈R+ est un mouvement brownien à valeurs dans Rd , a : R × Rn → Rn ,
b : R×Rn → Rn×d . Par ailleurs les auteurs autorisent l’obstacle à se mouvoir, i.e. I = I(t)
et σt0 = sup{s 6 t0 ; Xs ∈
/ I(s)}.
Outre la complexification technique, la différence avec l’article précédent tient au fait
qu’il faut maintenant tenir compte du point d’entrée Xσt0 du processus dans l’obstacle en
raison d’une part de la liberté de mouvement offerte par Rn et d’autre part de la mobilité
de l’obstacle. Par des arguments similaires à [33], les auteurs concluent que le meilleur
estimateur de Xt0 est dans ce cas
IE[Xt0 |Ys , s 6 t0 ] = IE[Xt0 |σt0 , Xσt0 ].

43

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT
Par les même arguments que précédemment les auteurs établissent une formule analytique
pour cet estimateur.
Enfin dans [16], les auteurs s’intéressent au cas où l’on dispose d’information sur le futur
de la trajectoire. On observe une trajectoire jusqu’à une date T , et on cherche à estimer
sa valeur en une date t0 ∈ [0, T ] où la trajectoire est cachée. Par la propriété de Markov,
l’information pertinente sur le futur de la trajectoire se résume aux temps et lieu de sortie
de l’obstacle, i.e. à
τt0 = inf{s ∈ ]t0 ; T ]; Xs ∈
/ I(s)}

et

X Ï„t0 .

Le meilleur estimateur est donc

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

IE[Xt0 |Ys , s > t0 ] = IE[Xt0 |σt0 , Xσt0 , τt0 , Xτt0 ].
Ici encore les auteurs donnent une formule analytique de l’estimateur.
Notons également que lorsque la trajectoire ne sort pas de l’obstacle après la date t0 ,
l’information correspondante (τ0 = +∞), est porteuse de sens. En d’autres termes
IE[Xt0 |σt0 , Xσt0 , τt0 = +∞] 6= IE[Xt0 |σt0 , Xσt0 ].

Dans la dernière partie de [16], les auteurs proposent une reconstruction de la trajectoire
du signal pendant tout l’intervalle de temps où celui-ci est caché. Leur méthode consiste
en une estimation temps par temps de la valeur du signal. Cela conduit naturellement à une
trajectoire déterministe lisse, e.g. pour le cas où le processus considéré est un mouvement
brownien standard, où l’obstacle I est l’intervalle [0, 1] et où le processus est caché sur
l’intervalle de temps [1, 2], les auteurs obtiennent, selon que Wτ = 0 ou que Wτ = 1, les
reconstructions suivantes :

44

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT
D’un point de vue statistique on ne peut espérer mieux, cependant si l’on n’est pas intéressé par une estimation de Xt0 , pour tout temps t0 auquel la trajectoire est cachée,
mais plutôt par une reconstruction plus réaliste d’une trajectoire rendant compte du caractère aléatoire du phénomène sous-jacent, une telle reconstruction n’est pas satisfaisante.

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

En fait, pour répondre à ce problème la solution consiste à conditionner le processus X
à rester dans I durant l’intervalle [s, t] avec s et t les valeurs observées de σt0 et de τt0 .
Dans le cas où le signal est modélisé par un mouvement brownien, i.e. a = 0, b = 1
dans (1.2.19), et où l’obstacle est un intervalle, nous proposons des solutions à ce problème fondées sur les processus obtenus aux Théorème 1.2.3, Théorème 1.2.4 et Théorème
1.2.5.
Cas 1 : On suppose que l’obstacle est l’intervalle semi-borné I = [a, +∞[ et que la
trajectoire observée est cachée par I à partir du temps s (et ne réapparaît pas par la suite).
À partir du temps s, X est un mouvement brownien sur [s, T ] conditionné à être supérieur
à a. Les propriétés classiques du mouvement brownien suggèrent que
1
√ (X∆u+s − a) ,
∆

u ∈ [0, 1],

où ∆ = T − s, doit être un mouvement brownien [0, 1] conditionné à rester positif, i.e. un
méandre brownien. Par suite le processus adéquat pour interpoler X entre les temps s et
˜ u )u∈[s,T ] , défini par
T est le processus (X
Ëœu =
X

√

+
+ a,
∆W u−s
∆

u ∈ [s, T ],

où W + est le méandre brownien.
Cas 2 : L’obstacle est encore I = [a, +∞[ mais la trajectoire est cachée pendant l’intervalle [s, t], 0 < s < t < T , i.e. le processus réapparaît en a au temps t. Des arguments similaires à ceux du cas précédent conduisent à une interpolation par le processus
˜ u )u∈[s,t] , défini par
(X
√
0,+
˜ u = ∆W u−s
+ a,
u ∈ [s, t],
X
∆

où ∆ = t − s et W 0,+ est l’excursion brownienne (non-signée).
Cas 3 : On suppose maintenant que l’obstacle est un intervalle borné [a, b] et que la trajectoire observée est cachée à partir du temps s (et qu’elle ne réapparaît pas). En notant
∆ = T − s, le processus
1
√ (X∆u+s − a) ,
∆

u ∈ [0, 1]

45

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT
√ ], ainsi
devrait être un mouvement brownien sur [0, 1] conditionné à rester dans [0, b−a
∆
˜ u )u∈[s,T ] , défini par
l’interpolation stochastique de X est donnée par le processus (X

Ëœu =
X

√

â„“
+ a,
∆W u−s
∆

u ∈ [s, T ],

avec W ℓ le processus obtenu au Théorème 1.2.3 avec ℓ =

b−a
√ .
∆

Cas 4 : L’obstacle est toujours [a, b] mais la trajectoire réapparaît en a au temps t.

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

1
√ (X∆u+s − a) ,
∆

u ∈ [0, 1]

√ ] et
où ∆ = t − s, est un mouvement brownien sur [0, 1] conditionné à rester dans [0, b−a
∆
à réapparaître en 0 au temps 1, ainsi l’interpolation stochastique de X est donnée par le
˜ u )u∈[s,t] , défini par
processus (X
√
ℓ,↓
˜ u = ∆W u−s
X
+ a,
u ∈ [s, t],
∆

où W ℓ,↓ est le processus obtenu au Théorème 1.2.4 avec ℓ =

b−a
√ .
∆

Cas 5 : L’obstacle est toujours [a, b] mais la trajectoire réapparaît en b au temps t. Le
processus
1
√ (X∆u+s − a) ,
∆
√ ] et réapparaît
où ∆ = t − s, est un mouvement brownien sur [0, 1] qui reste dans [0, b−a
∆
√
au
temps
1,
ainsi
l’interpolation
stochastique
de
X
est
donnée
par
le processus
en b−a
∆
˜ u )u∈[s,t] , défini par
(X
√
ℓ,↑
˜ u = ∆W u−s
X
+ a, u ∈ [s, t],
∆

où W ℓ,↑ est le processus obtenu au Théorème 1.2.5 avec ℓ =

b−a
√ .
∆

1.2.4 Perspectives
On peut envisager d’étendre la problématique des processus cachés à des processus à deux
paramètres en vue d’applications à l’imagerie. Il faudrait alors utiliser un calcul stochastique à deux paramètres.

Une image numérique en niveau de gris (NdG) de taille n × m peut être vue comme une
application
I : [[1, n]] × [[1, m]] → [[0, 255]],

46

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT
la valeur I(a, b) représentant l’intensité de niveau de gris du “point” de coordonnées (a, b)
(0 pour le noir et 255 pour le blanc). On peut considérer que les intervalles ] − ∞, 0[ et
]255, +∞[ constituent des obstacles naturels à la variation du niveau de gris d’une image.

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

Considérons une image surexposée (dans les deux graphiques qui suivent, on considère
une coupe de l’image) :

un phénomène de saturation fait apparaitre uniformément blanches des zones de l’image
qui devraient apparaitre dans un dégradé de gris clair. L’image que l’on obtient alors est
la suivante.

Dans ce cadre, on peut considérer qu’on observe un processus caché par l’obstacle ]255, +∞[.
Ainsi en interpolant la trajectoire “derrière l’obstacle” et en renormalisant afin que la trajectoire reconstruite reste dans l’intervalle [0, 255], on peut espérer obtenir une image
restaurée.
Dans le cas d’une image, les instants d’entrée et de sortie de l’obstacle devront être remplacés par des courbes de transition partie observable/partie cachée. Les informations
d’entrée et de sortie de l’obstacle seront alors remplacées par une information sur un
ensemble de courbes. Pour illustrer notre propos, considérons une image qui présente un
défaut d’illumination. Toute une zone de l’image apparaît blanche en raison de ce défaut.

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1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT

tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

Si l’on représente les niveaux de gris comme une surface au dessus de l’image, on obtient
un graphe du type suivant :

Graphe des niveau de gris d’une partie de l’image

Comme on peut le voir des zones de plateaux apparaissent artificiellement. On a perdu de
l’information de nature texturelle. C’est cette information que des travaux sur l’interpolation de processus à deux paramètres pourrait permettre de reconstituer.

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tel-00823901, version 1 - 19 May 2013

Première partie
Inégalités de déviation et de
concentration convexe

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