File PDF .it

Condividi facilmente i tuoi documenti PDF con i tuoi contatti, il Web e i Social network.

Inviare un file File manager Cassetta degli attrezzi Ricerca PDF Assistenza Contattaci



i triangoli negli elementi di euclide .pdf



Nome del file originale: i_triangoli_negli_elementi_di_euclide.pdf
Titolo: Microsoft Word - RUSSO2.docx
Autore: Andrea Trusiano

Questo documento in formato PDF 1.3 è stato generato da Word / Mac OS X 10.7.5 Quartz PDFContext, ed è stato inviato su file-pdf.it il 10/07/2013 alle 20:32, dall'indirizzo IP 93.40.x.x. La pagina di download del file è stata vista 1657 volte.
Dimensione del file: 456 KB (23 pagine).
Privacy: file pubblico




Scarica il file PDF









Anteprima del documento


 
Università degli studi di Roma
“Tor Vergata”
Facoltà di Scienze MM. FF. NN.

TFA
STORIA E DIDATTICA DELLE SCIENZE ESATTE
Prof. LUCIO RUSSO

TRIANGOLI: PROPRIETA’ E CRITERI
DI
CONGRUENZA NEGLI ELEMENTI DI
EUCLIDE
 
 
Tirocinante:  ANDREA  TRUSIANO    
 
 

 

 

         Roma,  24  Giugno  2013  
Anno  Accademico  2012-­‐2013  

1)  IL  PRIMO  LIBRO  DEGLI  ELEMENTI,    
TERMINI,  POSTULATI  E  NOZIONI  COMUNI  
 
 
 
Il   primo   libro   degli   elementi   di   Euclide   inizia   bruscamente   con  
un   elenco   di   ventitré   definizioni   (termini)   tra   cui   quelle   di  
punto,   linea,   superficie,   angolo   piano   retto,   ottuso   e   acuto,  
figura,  figura  trilatera  (triangolo  equilatero,  isoscele  e  scaleno),  
cerchio,   figure   quadrilatere   (quadrato,   rettangolo,   rombo,  
romboide,   trapezio)   e   si   conclude   con   la   definizione   di   rette  
parallele.  
La   debolezza   di   questa   parte   sta   nel   fatto   che   alcune  
definizioni   in   realtà   non   definiscono   nulla.   Infatti   non   c’è  
nessun   elenco   preliminare   di   elementi   indefiniti,   in   termine  
dei   quali   si   debbano   definire   gli   altri   elementi.   Ad   esempio   la  
definizione  euclidea  di  angolo  piano  come  “l’inclinazione  l’una  
rispetto   all’altra   di   due   rette   giacenti   in   un   piano   le   quali   si  
incontrano  ma  non  sono  in  linea  retta”,  è  viziata  dal  fatto  che  il  
termine  “inclinazione”  non  è  stato  definito  precedentemente  e  
non  è  più  noto  del  termine  “angolo”.  
 
Dopo  le  definizioni,  Euclide  elenca  cinque  postulati.  Essi  sono  
proposizioni   dal   carattere   molto   semplice   riguardanti   gli   enti  
introdotti   nelle   definizioni,   si   tratta   di   proposizioni   che   non  
vengono   dimostrate   ma   che   sono   arbitrariamente   ipotizzate  
come   vere   (citando   Aristotele,   i   postulati   sono   proposizioni  
che   devono   essere   convincenti   di   per   se   stesse,   sono   verità  
comuni  a  tutte  le  scienze).  
 

2  

Postulati:  
1) Che  si  possa  tracciare  una  retta  da  un  punto  qualsiasi  a  
un  punto  qualsiasi  
2) Che  si  possa  prolungare  indefinitamente  una  linea  retta  
3) Che   si   possa   descrivere   un   cerchio   con   un   centro  
qualsiasi  e  un  raggio  qualsiasi  
4) Che  tutti  gli  angoli  retti  siano  uguali  
5) Che   se   una   retta   venendo   a   cadere   su   due   rette   forma  
dalla   stessa   parte   angoli   interni   inferiori   a   due   angoli  
retti,   le   due   rette,   prolungate   illimitatamente   si  
incontrano  da  quella  parte  dove  gli  angoli  sono  inferiori  
a  due  angoli  retti  
 
L’interpretazione   dei   postulati   è   fondamentale   per   la  
comprensione  di  tutta  l’opera  euclidea.    
Sembrerebbe   che   i   postulati   I,   II   e   III   si   riferiscano  
direttamente   alla   possibilità   di   eseguire   determinate  
costruzioni:   precisamente   i   postulati   I   e   II   riguardano   la  
costruzione   di   rette,   mentre   il   postulato   III   riguarda   la  
costruzione   di   cerchi.   Sembrerebbe   quindi   che   i   suddetti  
postulati   corrispondano   all’uso   della   riga   e   del   compasso.  
Osserviamo  però  che  Euclide  non  nomina  mai  gli  strumenti  
in   questione,   egli   parla   ad   un   livello   più   astratto,  
sostituendo   alla   riga   e   al   compasso,  dei  modelli  teorici  degli  
strumenti   reali,   capaci   di   compiere   le   operazioni   descritte  
nei  primi  tre  postulati.    
La   costruzione   del   segmento   di   retta   che   congiunge   due  
punti   (postulato   I)   e   il   prolungamento   a   piacere   di   un  
segmento   (postulato   II)   corrispondono   effettivamente  
 

3  

all’uso   classico   della   riga,   ma   non   si   può   dire   lo   stesso   per  
l’uso   del   compasso   nella   costruzione   del   cerchio   alla   quale  
si  riferisce  il  postulato  III.    
Il  nostro  modo  comune  di  usare  il  compasso  ci  permette  di  
fare   quanto   segue:   dato   un   segmento   AB   in   una   posizione  
qualsiasi   sul   piano,   e   dato   un   punto   C   del   piano,   possiamo  
costruire   il   cerchio   di   centro   C   e   raggio   uguale   ad   AB  
eseguendo  il  trasporto  del  segmento.  Cioè  possiamo  aprire  il  
compasso   su   AB,   e   poi   trasportarlo,   così   aperto,   fino   a  
collocarlo  con  una  punta  in  C.  Euclide  non  richiede  tanto  al  
suo  terzo  postulato.  
Dobbiamo   pensare   al   compasso   di   Euclide   come   ad   uno  
strumento   astratto   che   si   richiude   non   appena   le   sue   due  
punte  vengono  sollevate  dal  foglio1.  
 
 
L’ultima   cosa   che   viene   introdotta   da   Euclide   prima   di  
enunciare   e   dimostrare   i   suoi   teoremi,   sono   le   “Nozioni  
comuni”.   Anche   in   questo   caso   si   tratta   di   proposizioni   dal  
carattere   molto   generale   che   vengono   enunciate   e  
considerate   vere   senza   che   siano   dimostrate.   A   differenza  
dei  postulati  però,  l’argomento  di  queste  proposizioni  non  è  
strettamente   geometrico,   infatti   in   esse   si   parla  
genericamente   di   “cose”   e   di   operazioni   non   meglio  
specificate  come  “raddoppiare”,  “addizionare”,  ecc.  
 
 
                                                                                                               
1  Ciò  non  si  rileva  direttamente  dall’enunciato  del  terzo  postulato  ma  
dalla  seconda  e  dalla  terza  proposizione  del  libro  I.  
 
4  

Nozioni  comuni:  
1) Cose  uguali2  a  una  medesima  cosa  sono  uguali  anche  tra  
loro  
2) Se   cose   uguali   vengono   aggiunte   a   cose   uguali,   i   totali  
sono  uguali  
3) Se   da   cose   uguali   vengono   sottratte   cose   uguali,   i   resti  
sono  uguali  
4) Se  cose  disuguali  sono  addizionate  a  cose  uguali,  i  totali  
sono  disuguali  
5) I  doppi  di  una  stessa  cosa  sono  uguali  tra  loro3  
6) Le  metà  di  una  stessa  cosa  sono  uguali  tra  loro4  
7) Cose  che  si  sovrappongono  tra  loro  sono  uguali  tra  loro5  
8) L’intero  è  maggiore  della  parte  
 
Osserviamo  che  la  prima  nozione  comune  non  è  nient’altro  che  
la  proprietà  transitiva  dell’ugualianza.    
La  seconda  e  la  terza  invece  ci  offrono  i  criteri  di  uguaglianza  
per   somma   e   per   differenza.   Esse,   se   applicate   ai   poligoni,   si  
riferiscono  all’ugualianza  di  grandezze  (equivalenza)6.  
La   penultima   (VII)   nozione   se   presa   alla   lettera,   enuncerebbe  
la  proprietà  riflessiva  dell’ugualianza.  Ma  l’uso  tipico  che  ne  fa  
Euclide   non   è   per   le   figure   che   già   sicuramente   coincidono,  
bensì   per   quelle   che   si   fanno   coincidere   mediante   un  
                                                                                                               
2  La  parola  uguale  (ìsos)  viene  usata  da  Euclide  nel  senso  dell’ugualianza  
estensiva,  ciò  corrisponderebbe  per  i  poligoni,  ad  esempio,  al  nostro  
termine  equivalente.  
3  Si  può  ricavare  dalla  seconda  nozione  comune.  
4  Si  può  ricavare  dalla  terza  nozione  comune.  
5  Per  “sovrapporre”  Euclide  intende  che  due  figure  possono  essere  
portate  a  coincidere  esattamente  mediante  un  movimento  rigido,  cioè  
senza  che  vengano  deformate  nel  movimento.  
6  Infatti,  somme  o  differenze  di  poligoni  uguali  in  senso  stretto  
(congruenti)  non  sono  congruenti,  ma  equivalenti.  
 
5  

movimento.   Egli   infatti,   per   dimostrare   l’ugualianza   tra   due  
figure  A  e  B,  muove  la  figura  A  fino  a  farla  coincidere  con  B,  e  
poi   ricorre   alla   nozione   comune   VII   per   affermare   che   A   e   B  
sono   uguali,   dato   che   A   (nella   sua   nuova   posizione)   coincide  
con   B.   Il   fatto   che   la   figura   ,   nella   posizione   finale,   sia   uguale  
alla   figura   nella   posizione   iniziale   non   viene   messo   in  
discussione  da  Euclide.  Egli  considera  il  movimento  nel  senso  
intuitivo,   maccanico.   È   bene   notare   che,   nella   sua   opera,  
Euclide   fa   un   uso   molto   ridotto   del   movimento   rigido7,  
probabilmente   perché   ne   riconosce   la   natura   extra-­‐
geometrica.  
L’ultima   nozione   comune,   se   applicata   (ad   esempio)   ai  
segmenti,   può   essere   considerata   un   abbozzo   delle   proprietà  
di   ordine   dei   punti   della   retta,   per   il   fatto   che   permette   di  
ottenere  un  ordine  crescente  (perchè  il  maggiore  del  maggiore  
risulta   pure   maggiore).   Notiamo   che   quest’ultima   nozione  
comune  non  è  valida  per  insiemi  infiniti.  
 
 
 

2) IL   PRIMO   CRITERIO   DI   CONGRUENZA   DEI  
TRIANGOLI  
 
Subito   dopo   i   postulati   e   le   nozioni   comuni,   negli   Elementi   di  
Euclide,  comincia  il  ciclo  delle  48  proposizioni  del  libro  I.  Ogni  
proposizione   è   seguita   da   una   dimostrazione   giustificata   da  
definizioni,   postulati,   nozioni   comuni   o   da   una   proposizione  
                                                                                                               
7  Solamente  in  I,  4  in  I,  8  e  in  III,  24.    
 
6  

dimostrata   precedentemente.   Spesso   le   dimostrazioni   sono  
corredate   da   disegni   illustrativi.   È   da   notare   che   alcune  
proposizioni  

sono,  

in  

realtà,  

delle  

costruzioni.  

La  

dimostrazione   delle   costruzioni   è   strutturata   nel   seguente  
modo:   come   prima   cosa   Euclide   descrive   come   eseguire   la  
costruzione,   poi   si   preoccupa   di   mostrare   che   la   costruzione  
proposta  soddisfa  le  richieste  della  proposizione.  
Le  prime  quattro  proposizioni  sono  le  seguenti:  
 
1) Costruire,   su   di   una   retta   limitata   data,   un   triangolo  
equilatero.  
2) Porre  su  un  punto  dato  una  retta  uguale  alla  retta  data.    
3) Date   due   rette   disuguali,   sottrarre   dalla   maggiore   una  
retta  uguale  alla  minore.  
4) Primo   criterio   di   congruenza   dei   triangoli:   Se   due  
triangoli   hanno   due   lati   rispettivamente   uguali   a   due   lati  
e   l’angolo   tra   essi   compreso   uguale   all’angolo,   allora  
avranno  anche  la  base  uguale  alla  base  e  il  triangolo  sarà  
uguale   al   triangolo,   e   i   restanti   angoli   (sotto   cui   si  
tendono   i   lati   uguali)   saranno   rispettivamente   uguali   ai  
restanti  angoli.  
 
La   prima   delle   proposizioni   proposte   da   Euclide   offre   un  
procedimento   meccanico   per   costruire   un   triangolo   equilatero  
di   lato   dato.   Dato   un   segmento   AB,   si   disegna   il   triangolo  
equilatero   ABC   costruendo   i   due   cerchi   di   centri   A   e   B   e   di  
raggio   AB   e   congiungendo   con   A   e   con   B   uno   dei   punti   (C)   di  
intersezione  delle  due  circonferenze  descritte  prima.  In  questo  
modo   i   segmenti   AC   e   BC   risultano   essere   raggi   delle   due  
 

7  

circonferenze   e   quindi   il   triangolo   ABC   è   equilatero.   Questa  
dimostrazione  (che  a  prima  vista  sembrerebbe  impeccabile)  fa  
in   realtà   uso   di   un   postulato   non   espresso   precedentemente.  
Euclide   infatti   assume,   senza   dimostrarlo,   che   i   due   cerchi   si  
intersechino   in   un   punto.   Per   restaurare   questa   mancanza  
bisognerebbe   aggiungere   ai   postulati   un   altro   postulato  
equivalente  al  principio  di  continuità.    
La   seconda   e   la   terza   proposizione   costituiscono   una  
precisazione   del   III   postulato   e   rivelano   una   grande   finezza  
logica.  In  pratica  esse  tolgono  dalla  portata  del  III  postulato  ciò  
che  può  essere  ottenuto  con  altri  metodi.    
 
In   particolare   la   proposizione   2   mostra   come   costruire   un  
segmento  uguale  ad  un  segmento  dato  e  avente  un  estremo  in  
un  punto  assegnato.  
La  costruzione  proposta  da  Euclide  è  la  seguente:  
Facendo   riferimento   alla   Figura   1,   inizialmente   sono   dati   il  
punto  A  e  il  segmento  BC.  

                                                           
                                                                                                                 Figura  1  
 

8  

 

Come   prima   cosa   si   costruisce   il   triangolo   equilatero   ABD   di  
lato   AB   (secondo   quanto   illustrato   nella   prima   proposizione).  
Poi   si   traccia   la   circonferenza   di   centro   B   e   raggio   BC   che  
incontra   la   semiretta   DB   nel   punto   E.   Successivamente   si  
traccia   la   circonferenza   di   centro   D   e   raggio   DE   che   incontra   la  
semiretta  DA  nel  punto  F.  AF  è  il  segmento  cercato.    
Infatti:  AF=DF-­DA,  DF=DE  e  DA=DB,  quindi  AF=BE=BC.  
 
Anche  la  terza  proposizione  è  una  costruzione  geometrica  che  
stabilisce  come  portare  un  segmento  dato  su  di  una  semiretta  
assegnata.   Euclide   fa   uso   della   proposizione   2   per   mostrare  
che,   dati   due   segmenti   rettilinei   disuguali,   è   possibile   tagliare  
via  dal  maggiore  un  segmento  uguale  al  minore.  
La  costruzione  proposta  da  Euclide  è  la  seguente:  
Facendo  riferimento  alla  Figura  2,  sia  AB  il  segmento  che  deve  
essere  sottratto  da  CD.    
 

                                                   
                                                                                                                                 Figura  2  

 

Per   prima   cosa   si   applica   la   costruzione   descritta   nella  
proposizione  2  per  copiare  il  segmento  AB  a  partire  da  C  in  CE.  
Successivamente   si     traccia   la   circonferenza   avente   centro   in  C  
 

9  

e   raggio   pari   a   CE.   Tale   circonferenza   interseca   il   segmento   CD  
nel  punto  F.  FD  è  il  segmento  cercato.    
 
Analizziamo   ora   la   quarta   proposizione,   meglio   nota   come  
primo  criterio  di  congruenza  dei  triangoli.  Ricordiamo  che  
nell’accezione   moderna   del   termine,   per   “triangoli   uguali”,   si  
intende  “triangoli  identici”,  cioè  perfettamente  sovrapponibili,  
ovvero   aventi   tutti   i   lati   e   tutti   gli   angoli   uguali.   Per   Euclide,  
invece,   “triangoli   uguali”   significa   solo   “triangoli   equivalenti”,  
cioè  aventi  la  stessa  estensione  superficiale.  Per  questo  motivo  
nell’enunciato   della   quarta   proposizione   viene   specificato  
esplicitamente   che   i   due   triangoli   hanno   tutti   gli   elementi  
corrispondenti  (lati  e  angoli)  uguali.  
La   dimostrazione   proposta   da   Euclide   può   essere   riassunta  
come  segue:  
Facendo   riferimento   alla   Figura   3,   siano   ABC   e   DEF   due  
triangoli  tali  che  AB=DE,  BC=EF  e  l’  angolo  ABC=DEF.  
A   questo   punto   Euclide   afferma   di   poter   trasportare   il  
segmento   DE   su   AB   con   il   vertice   E   coincidente   con   B  
(analizzeremo  in  seguito  la  liceità  di  tale  trasporto).  
                                       

 
                                                                                                                             Figura  3  
 

10  

Dato   che   i   due   segmenti   (DE   e   AB)   sono   uguali   per   ipotesi,  
anche   A   coincide   con   D.   A   questo   punto   si   osserva   che   le  
semirette   BC   ed   EF   coincidono   essendo   gli   angoli   ABC   e   DEF  
uguali  per  ipotesi  e  quindi  il  vertice  C  verrà  a  coincidere  con  il  
vertice   F.   Essendo   allora   AC   coincidente   con   DF,   sarà   anche  
AC=DF,   BAC=EDF   e   ACB=DFE   che   era   quanto   si   voleva  
dimostrare.  
Osserviamo   che   in   questa   dimostrazione   viene   applicato   il  
movimento   rigido   di   figure   senza   che   tale   movimento   sia   stato  
precedentemente   definito:   si   tratta   del   movimento   nel   senso  
meccanico   della   parola.   Euclide   aveva   sicuramente   compreso  
la   portata   della   questione.   Infatti   è   stato   riconosciuto   che   la  
proposizione   4   viene   utilizzata   da   Euclide   come   se   fosse   un  
vero   e   proprio   postulato8   che   giustifica   il   movimento   rigido  
delle  figure.  
Euclide   aveva   quindi   capito   che   la   proposizione   4   costituisce  
un  vero  e  proprio  postulato.  Il  perché  egli  non  abbia  aggiunto  
un   postulato   che   giustifichi   il   trasporto   rigido   rimane   un  
mistero.   Se   si   analizzano   gli   altri   due   criteri   di   uguaglianza  
(questo   verrà   fatto   nel   seguito   di   questa   trattazione),   essi   si  
fondano   a   loro   volta   sul   primo   criterio   ed   Euclide   cerca   di  
limitarne   il   contenuto   al   minimo   possibile,   risalendo,   quando  
non   può   farne   a   meno,   direttamente   alla   proposizione   4.  
Questo   è   un   procedimento   caratteristico   che   Euclide   utilizza  
per   i   postulati.   Sarebbe   stato   sufficiente   aggiungere   un   tale  
postulato   per   rendere   la   dimostrazione   della   proposizione   4  

                                                                                                               
8  Si  veda  l’uso  che  viene  fatto  della  proposizione  4  nella  dimostrazione  
della  proposizione  34  del  libro  I.  
 
11  

più   vicina   ad   una   dimostrazione   nel   senso   moderno   del  
termine.  
 
Nelle   sue   prime   quattro   proposizioni   Euclide   alterna   un  
impeccabile   rigore   ad   una   sorta   di   grossolanità9.   Tale  
questione   può   essere   risolta   ammettendo   che   le   prime   quattro  
proposizioni   costituiscano   una   sorta   di   prolungamento   dei  
postulati.  
 
 

3)  TRIANGOLI  ISOSCELI  
La  proposizione  5  del  primo  libro  degli  Elementi  è  nota  come  il  
teorema   del   triangolo   isoscele.   Questa   proposizione   viene  
anche   detta   pons   asinorum   (ponte   degli   asini),   da   un   lato  
perché   il   disegno   utilizzato   da   Euclide   nella   dimostrazione  
assomiglia  ad  un  ponte  (si  veda  la  Figura  4),  dall’altro  perché  è  
considerata   la   prima   proposizione   non   banale   presente   negli  
Elementi.  È  come  se  fosse  un  ponte  verso  le  proposizioni  di  più  
difficile   comprensione   presenti   nel   seguito   dell’opera.   Se   uno  
studente   riesce   ad   “attraversare”   tale   ponte,   allora   sarà   pronto  
ad  affrontare  le  proposizioni  successive.  
 
Proposizione  5:  
Gli  angoli  sulla  base  dei  triangoli  isosceli  sono  uguali  tra  loro,  
e,   prolungate   avanti   le   rette   uguali,   gli   angoli   sotto   la   base  
saranno  uguali  tra  loro.  
                                                                                                               
9  Infatti  nella  proposizione  1  tralascia  la  dimostrazione  che  le  due  
circonferenze  usate  per  la  costruzione  del  triangolo  equilatero  si  
intersechino  effettivamente  in  un  punto  ed  utilizza  questa  costruzione  
nella  dimostrazione  delle  proposizioni  2  e  3.  
 
12  

 
Per  la  dimostrazione  facciamo  riferimento  alla  Figura  4.  

                                                                                       
                                                                                                                             Figura  4  

 

Sui  prolungamenti  dei  lati  AB  e  AC,  consideriamo  due  segmenti  
BD  e  CE  tra  loro  uguali.  Anche  i  segmenti  AD  e  AE  saranno  tra  
loro   uguali   in   quanto   somma   di   segmenti   uguali10.  
Consideriamo   ora   i   triangoli   ADC   e   AEB,   essi   hanno:   AD=AE,  
AC=AB   (per   ipotesi)   e   l’angolo   BAC   in   comune.   Quindi   sono  
uguali   per   il   primo   criterio   di   uguaglianza   dei   triangoli.   In  
particolare   DC=EB,   l’angolo   ADC   congruente   all’angolo   AEB   e  
l’angolo  ABE  congruente  all’angolo  ACD.    
Consideriamo   ora   i   triangoli   DCB   e   EBC,   essi   hanno:   DC=EB,  
BD=CE   e   gli   angoli   BDC   e   CEB   congruenti   come   dimostrato  
precedentemente.   Quindi   anche   essi   sono   uguali   per   il   primo  
criterio   di   congruenza.   In   particolare   l’angolo   CBD   è  
congruente   all’angolo   BCE   e   l’angolo   BCD   è   congruente  
all’angolo   CBE.   Dato   che   avevamo   già   mostrato   che  ACD=ABE,  
gli   angoli   alla   base   del   triangolo   isoscele   risultano   congruenti  
per  differenza  di  angoli  congruenti11.  
 
                                                                                                               
10  Seconda  nozione  comune:  somme  di  cose  uguali  sono  uguali.  
11  Terza  nozione  comune:  differenze  di  cose  uguali  sono  uguali.  
 
13  

La   proposizione   6   è   l’inverso   della   proposizione   5,   essa   è  
infatti   nota   come   teorema   inverso   del   triangolo   isoscele.  
L’enunciato  del  teorema  è  il  seguente:  
 
Proposizione  6:  
Qualora  due  angoli  di  un  triangolo  siano  uguali  tra  loro,  anche  i  
lati   che   si   tendono   sotto   gli   angoli   uguali   saranno   uguali   tra  
loro.  
 
Euclide   dimostra   questa   proposizione   per   assurdo.   Con  
riferimento   alla   figura   5,   supponiamo   che   i   lati   AB   e   AC   non  
siano  uguali.  Sia  quindi  AB>AC.    
 

                                                                                       
                                                                                                                                 Figura  5  

 

In   questo   caso   esisterà   un   punto   D   sul   lato   AB   tale   che  
DB=AC12.     Consideriamo   i   triangoli   ABC   e   DBC,   essi   hanno:  
DB=AC,  la  base  BC  in  comune  e  gli  angoli  ACB  e  DCB  congruenti  
per   ipotesi.   I   due   triangoli   considerati   risultano   uguali   per   il  
primo   criterio.   Questo   è   però   in   contraddizione   con   l’ottava  
nozione   comune,   che   afferma   che   il   tutto   è   maggiore   della  
                                                                                                               
12  Costruzione  dimostrata  nella  proposizione  3.  
 
14  

parte,   poiché   il   triangolo   DBC   è   una   parte   del   triangolo  ABC.   In  
questo  modo  la  proposizione  è  dimostrata.  
 
 
 
 

 
 

4)   IL   TERZO   CRITERIO   DI   CONGRUENZA   DEI  
TRIANGOLI  
 
Quello  che  oggi  è  noto  come  il  terzo  criterio  di  congruenza  dei  
triangoli   viene   presentato   negli   Elementi   di   Euclide   per  
secondo.   Esso   si   trova   nella   proposizione   8   del   primo   libro,  
mentre   quello   che   attualmente   viene   indicato   come   secondo  
criterio  di  congruenza  è  introdotto  successivamente13.  
Per   analizzare   il   criterio   e   la   dimostrazione   proposta   da  
Euclide,   abbiamo   bisogno   di   introdurre   la   settima  
proposizione  del  libro  I:  
 
Proposizione  7:  
Sulla   stessa   retta   altre   due   rette   rispettivamente   uguali   alle  
stesse   due   rette   <e>   che   hanno   gli   stessi   limiti   delle   rette   in  
origine   non   saranno   costruite   verso   punti   differenti   dalla  
stessa  parte14.  
                                                                                                               
13  Proposizione  26  del  primo  libro.  
14  In  termini  moderni  esprimeremo  questa  proposizione  in  questo  modo:  
“Dato  un  segmento,  se  da  ciascuno  dei  suoi  estremi  si  conducono  due  
segmenti  che  si  incontrano  in  un  punto.  Non  è  possibile  costruire  con  gli  
 
15  

 
Nella   dimostrazione   di   questa   proposizione,   Euclide   procede  
per  assurdo.  
Facendo   riferimento   alla   Figura   6,   supponiamo   che   ci   siano   AD  
e   BD,   uguali   rispettivamente   ad   AC   e   BC,   che   si   incontrano   in  
un  punto  D  diverso  da  C.  
 

                                                                                       
                                                                                                                             Figura  6  

 

L’angolo  CDA  è  maggiore  dell’angolo  BDC  in  quanto  il  secondo  
è  una  parte  del  primo.  D’altra  parte  il  triangolo  BDC  è  isoscele  
per  ipotesi,  quindi  BDC=BCD15.  Inoltre  l’angolo  BCD  è  maggiore  
dell’angolo  DCA  in  quanto  quest’ultimo  è  in  esso  contenuto.  
Abbiamo  quindi  la  seguente  serie  di  disuguaglianze:  
CDA  >  BDC  =  BCD  >  DCA,  da  cui  ricaviamo  che  CDA  >  DCA.  
Ora,   dato   che   anche   il   triangolo   ACD   è   isoscele,   deve   essere  
CDA  =  DCA.  Abbiamo  raggiunto  l’assurdo  ed  il  teorema  risulta  
quindi  dimostrato.  
                                                                                                               
stessi  estremi  e  dalla  stessa  parte  altri  due  segmenti  rispettivamente  
uguali  a  quelli  costruiti  prima  ed  aventi  un  diverso  punto  di  
intersezione”.  
15  Proposizione  5  del  libro  I.  
 
16  

 
Una   volta   dimostrata   questa   proposizione,   il   terzo   criterio   di  
congruenza   dei   triangoli   risulta   essere   una   sua   diretta  
conseguenza.  
 
Terzo   criterio   di   congruenza   dei   triangoli:   Qualora   due  
triangoli   abbiano   i   due   lati   rispettivamente   uguali   ai   due   lati,   e  
abbiano  anche  la  base  uguale  alla  base,  avranno  anche  l’angolo  
compreso  dalle  rette  uguali  uguale  all’angolo.  
 
Per  la  dimostrazione  facciamo  sempre  riferimento  alla  Figura  
6.    
Dato   che   i   due   triangoli   hanno   per   ipotesi   la   stessa   base,   due  
dei   vertici   (A   e   B)   possono   essere   portati   a   coincidere  
mediante  un  movimento  rigido  che  sovrappone  la  base  di  uno  
dei   due   triangoli   con   la   base   dell’altro   (notiamo   che   Euclide  
utilizza  anche  in  questa  dimostrazione  la  costruzione  fatta  per  
dimostrare   la   proposizione   4).   Ragionando   per   assurdo,   se   il  
terzo  vertice  C  del  primo  triangolo  non  coincidesse  con  il  terzo  
vertice   D   del   secondo,   avremmo   due   segmenti   uguali   con   gli  
stessi  estremi  che  si  incontrano  in  due  punti  diversi.  Questo  è  
in   contraddizione   con   la   proposizione   7   dimostrata  
precedentemente.   Quindi   anche   i   terzi   vertici   coincidono.   In  
conseguenza   di   ciò   ciascuno   degli   angoli   del   primo   triangolo  
ha   i   lati   coincidenti   con   quelli   del   corrispondente   angolo   nel  
secondo  triangolo,  quindi  anche  gli  angoli  risultano  uguali.  
 
 
 
 

17  

5) IL  TEOREMA  DELL’ANGOLO  ESTERNO  E  LA  
CLASSIFICAZIONE  DEI  TRIANGOLI  
 
Quello   che   oggi   chiamiamo   teorema   dell’angolo   esterno,  
corrisponde   alla   proposizione   16   degli   Elementi.   Tale  
proposizione   esprime   una   disuguaglianza,   afferma   che   in   un  
triangolo   ogni   angolo   esterno   è   maggiore   di   ciascun   angolo  
interno  ad  esso  non  adiacente.  Nella  sua  dimostrazione  Euclide  
utilizza   il   primo   criterio   di   uguaglianza.   Vediamolo   nel  
dettaglio.  
 
Teorema   dell’angolo   esterno:   Prolungando   avanti   uno   solo  
dei   lati   di   ogni   triangolo,   l’angolo   all’esterno   è   maggiore   di   uno  
e  dell’altro  degli  angoli  all’interno  e  opposti.  
 
Per  la  dimostrazione  facciamo  riferimento  alla  figura  7.  
 

                                                                 
                                                                                                                                     Figura  7  
 

 

18  

 

Prolunghiamo  il  lato  BC  del  triangolo  dalla  parte  di  C.  Si  vuole  
mostrare   che   l’angolo   ACD   è   maggiore   dell’angolo   BAC   e  
dell’angolo  ABC.  
Indichiamo   con   E   il   punto   medio   del   lato   AC,   tracciamo   la  
semiretta   BE   sulla   quale   consideriamo   il   segmento   EF=BE16.  
Consideriamo   ora   i   triangoli   ABE   e   CEF,   essi   risultano   uguali  
per   il   primo   criterio   di   uguaglianza   (BE=EF   per   costruzione,  
AE=EC   sempre   per   costruzione   e   gli   angoli   AEB   e   CEF   sono  
congruenti   perché   opposti   al   vertice).   In   particolare   l’angolo  
BAE   è   congruente   all’angolo   ECF   .   Essendo   l’angolo   ECF  
compreso   nell’angolo   ACD,   in   base   all’ottava   nozione   comune  
(il  tutto  è  maggiore  della  parte),  possiamo  affermare  che:      ACD  
>  ECF  =  BAC.  Questo  dimostra  la  prima  parte  della  tesi.  Rimane  
da   dimostrare   che   ACD   >   ABC.   Per   fare   ciò   basta   ripetere   i  
passaggi   utilizzati   precedentemente   considerando   come  
angolo  esterno  BCG  ottenuto  prolungando  il  lato  AC  dalla  parte  
di   C.   Considerando   poi   il   punto   medio   di   BC   e   ripercorrendo   la  
costruzione   precedente   arriveremo   a   dimostrare   che   l’angolo  
BCG  è  maggiore  dell’angolo  ABC,  e  dato  che  BCG  è  congruente  
ad   ACD   (perché   opposti   al   vertice),   possiamo   concludere   che  
ACD  >  ABC  e  questo  conclude  la  dimostrazione.  
 
Nelle   successive   proposizioni   proposte   da   Euclide   nel   primo  
libro   degli   Elementi,   alcune   possono   essere   considerate   dei  
corollari   del   teorema   dell’angolo   esterno   e   saranno   utili   per  
classificare  i  triangoli  in  base  agli  angoli.  In  particolare:  
                                                                                                               
16    In  questa  costruzione  si  è  fatto  ricorso  al  secondo  postulato,  il  quale  
afferma  che  si  può  prolungare  indefinitamente  un  segmento  (quindi  
indipendentemente  da  quanto  sia  lungo  BE  si  può  sempre  riportare  un  
segmento  EF  tale  che  BE=EF  sul  prolungamento  di  BE).  
 
19  

 
• Due   angoli   sostituiti   in   ogni   modo   di   ogni   triangolo   sono  
minori  di  due  retti17  [in  ogni  triangolo  la  somma  di  due  
angoli  è  sempre  minore  di  un  angolo  piatto].  
• In   un   triangolo   può   esserci   solo   un   angolo   maggiore   o  
uguale  all’angolo  retto.  
• Gli  angoli  alla  base  di  un  triangolo  isoscele  sono  acuti.  
 
Classificazione  dei  triangoli:  
Triangoli  acutangoli:  aventi  tutti  e  tre  gli  angoli  acuti  
Triangoli  ottusangoli:  aventi  un  angolo  ottuso  e  due  acuti  
Triangoli  rettangoli:  aventi  un  angolo  retto  e  due  acuti  
 

6)  IL   SECONDO   CRITERIO   DI   CONGRUENZA  
DEI  TRIANGOLI  
 
La   proposizione   26   del   primo   libro   degli   Elementi   è   oggi  
nota   come   secondo   criterio   di   congruenza   dei   triangoli  
generalizzato.   Nei   moderni   libri   di   scuola   per   secondo  
criterio  di  congruenza,  si  intende  il  criterio  in  base  al  quale  
due   triangoli   aventi   uguali   due   angoli   e   il   lato   tra   essi  
compreso  sono  congruenti.  Euclide  nella  sua  ventiseiesima  
proposizione   fornisce   un   enunciato   meno   restrittivo   nel  
quale   afferma   che   due   triangoli   sono   congruenti   se   hanno  
due   angoli   ed   un   lato   congruenti   (il   lato   congruente   non  
deve   necessariamente   essere   quello   compreso   tra   gli   angoli  
congruenti).  
                                                                                                               
17  Proposizione  17.  
 

20  

Secondo  criterio  di  congruenza  dei  triangoli:      
Qualora   due   triangoli   abbiano   due   angoli   rispettivamente  
uguali   a   due   angoli   e   un   solo   lato,   o   quello   agli   angoli   uguali  
oppure   quello   che   si   tende   sotto   uno   solo   degli   angoli  
uguali,   uguale   a   un   solo   lato,   avranno   anche   i   restanti   lati  
[rispettivamente]  uguali  ai  restanti  lati,  e  il  restante  angolo  
al  restante  angolo.  
 
Euclide   suddivide   la   dimostrazione   in   due   parti,  
considerando   prima   il   caso   in   cui   il   lato   congruente   sia  
compreso   tra   gli   angoli   congruenti   e   successivamente   il  
caso  generale  di  due  angoli  ed  un  lato  qualsiasi  congruenti.  
Dimostriamo  il  primo  caso  facendo  riferimento  alla  figura  8.  

 

                             

 

                                                                                                                                 Figura  8  

 
Euclide  dimostra  la  proposizione  per  assurdo.  
Siano   ABC   e   DEF   due   triangoli   aventi   BC=EF,   l’angolo   ABC  
uguale  all’angolo  DEF  e  l’angolo  ACB  uguale  all’angolo  DFE.  
Se   AB   fosse   diverso   da   DE   (ad   esempio   AB   <   DE),   esisterebbe  
un   punto   G   appartenente   al   prolungamento   del   lato   BA,   tale  
che   BG=DE.   I   due   triangoli   BCG   e   EFD,   sarebbero   quindi  
 

21  

congruenti   per   il   primo   criterio   di   congruenza,   in   particolare  
l’angolo   BCG   sarebbe   uguale   all’angolo   EFD.   Per   ipotesi  
l’angolo  ACB  è  uguale  all’angolo  DFE  e  quindi  dovrebbe  essere  
GCB   =   ACB,   ma   questo   è   assurdo   poiché   l’angolo   ACB   è  
contenuto  nell’angolo  GCB.  Analogamente  si  dimostra  che  non  
può   essere   neanche   AB   >   DE,   quindi   dovrà   necessariamente  
essere  AB=DE.  Dimostrando  che  AB=DE,  si  ricade  nelle  ipotesi  
del  primo  criterio.  Quindi  i  due  triangoli  sono  uguali.  
 
Vediamo  ora  la  dimostrazione  nel  caso  in  cui  il  lato  congruente  
non  sia  quello  compreso  tra  i  due  angoli  congruenti.  
Facendo   riferimento   alla   figura   9,   siano   gli   angoli   ABC   e     ACB  
del   primo   triangolo   rispettivamente   uguali   agli   angoli   DEF   e  
DFE  del  secondo  triangolo  e  sia  AB=DE.  
 
                                                     

 
                                                                                                                                                           Figura  9  

Se,  per  assurdo,  BC  ed  EF  non  fossero  uguali  (supponiamo  BC  >  
EF),  esisterebbe  un  punto  H  sul  lato  BC  tale  che  BH=EF.  I  due  
triangoli   ABH   e   DEF   sarebbero   quindi   uguali   per   il   primo  
criterio   di   congruenza   e   in   particolare   l’angolo   AHB  
risulterebbe   uguale   all’angolo   DFE.   Ma,   per   ipotesi,   gli   angoli  
ACB   e   DFE   sono   congruenti   e   quindi   ACB=AHB.   Questo   è   in  
contraddizione   con   il   teorema   dell’angolo   esterno,   infatti  
 

22  

considerando   il   triangolo   ACH,   gli   angoli   AHB   e   ACH   sono  
rispettivamente   l’angolo   esterno   e   uno   degli   angoli   interni   ad  
esso   non   adiacenti.   Analogamente   si   dimostra   che   non   può  
essere  neanche  BC  <  EF  e  quindi  necessariamente  dovrà  essere  
BC=EF.  Una  volta  provato  ciò  si  ricade  nelle  ipotesi  del  primo  
criterio  di  congruenza  e  possiamo  quindi  concludere  che  i  due  
triangoli  sono  uguali.  
 

 

23  


Documenti correlati


Documento PDF i triangoli negli elementi di euclide
Documento PDF proteine lipidi ecc
Documento PDF paratia a
Documento PDF calendario formazione tecnica toro macchine prof
Documento PDF lucky planet tabloid speciale mondiale 3
Documento PDF untitled pdf document


Parole chiave correlate