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La Matematica delle Note .pdf



Nome del file originale: La Matematica delle Note.pdf
Titolo: Senza titolo
Autore: Gianmarco Bianchi

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I.I.S.S. “A. Poliziano”

A.S. 2013/2014

VC

LA MATEMATICA
DELLE NOTE
Relazioni matematiche in ambito musicale
a cura di

Gianmarco Bianchi

Gianmarco Bianchi

1

I.I.S.S. “A. Poliziano”

A.S. 2013/2014

VC

INDICE:
Prefazione..........................................................................................Pag.3
La suddivisione del tempo......................................................................4
La scala pitagorica..................................................................................5
La musica delle Sfere..............................................................................6
Il moto di rivoluzione dei pianeti...........................................................7
I canoni musicali......................................................................................8
Johan Sebastian Bach.............................................................................9
Le geometrie musicali di Tymoczko.....................................................11
Le trasformazioni geometriche.............................................................11
La sezione aurea.....................................................................................14
La musica dodecafonica........................................................................15
Adorno e la Scuola di Francoforte.......................................................16
Conclusioni.............................................................................................17
Bibliografia.............................................................................................18

Gianmarco Bianchi

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I.I.S.S. “A. Poliziano”

A.S. 2013/2014

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Prefazione:
Musica e Matematica sono due parole che mi hanno sempre affascinato, fin da bambino.
Ciò che mi colpiva e continua ancora ad incantarmi è la perfezione di questi due mondi, dominati da
regole immutabili.
In particolare, della musica apprezzo l'effetto immediato che questa produce. Una poesia o un
quadro non hanno lo stesso impatto di una sinfonia. È una forma d'arte sublime, astratta. C'è ma non
si vede. Dà gioia, dolore, ricordi e sensazioni. Ciò che mi stupisce è che per crearla occorre pura
razionalità. Come scrive Leibniz:
-

“La musica è l'esercizio matematico nascosto di una mente che calcola inconsciamente.”

È bene quindi notare che è irrazionale l'ascolto della musica e non la musica stessa.
Un altro aspetto sta nel ruolo universale che riveste. La musica è trasmessa attraverso il linguaggio
del pentagramma che è composto da note ed è accompagnato da segni come “adagio”,
“rallentando”, “allegretto”, “pianissimo”, “cantabile”.
Questi valgono per tutte le culture, scavalcano il muro d'ideogrammi che divide l'occidente
dall'oriente e arrivano dritti nelle orecchie di ciascuno, senza passare per il filtro delle tradizioni.
La maggior parte dei principi che regolano la musica derivano dalla matematica. Secondo i
Pitagorici infatti, la matematica veniva infatti suddivisa in: aritmetica, astronomia, musica e
geometria.
L'obiettivo di questa tesi è quindi quello di trovare le connessioni tra questi due campi,
apparentemente distanti anni luce tra loro, ma che interagiscono continuamente.
Per capire il loro meccanismo è quindi necessario comprendere a fondo le leggi che le governano,
altrimenti si rischia di fare:
- “Qual è 'l geomètra che tutto s'affige
- “Come lo studioso di geometria che si applica
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
per misurare un cerchio e, riflettendo,
pensando, quel principio ond'elli indige” non scopre ciò di cui ha bisogno”
(Paradiso, XXXIII, 133-135)

Il problema della quadratura del cerchio che fece sudare le menti di tutti i matematici del mondo
classico fu risolto da Lindemann nel 1882, quando dimostrò che per trovare un quadrato la cui area
coincida esattamente con quella del cerchio non bastava l'utilizzo della riga e del compasso.
Non solo in ambito matematico si sono riscontrate difficoltà. Anche la musica si è trovata davanti
ostacoli difficili da oltrepassare, prima di diventare quella forma d'arte che, partendo da precisi nessi
logici, assurge l'anima dell'uomo verso la perfezione.

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La suddivisione del tempo:
Un brano musicale viene scomposto in tante misure (= battute), suddivise a loro volta in stanghette.

Per determinare la durata di ogni misura, si pone all'inizio del pezzo un'indicazione particolare
composta da una frazione: il numeratore indica il numero dei tempi contenuti nella misura, il
denominatore indica il valore di questi tempi.
Ad esempio se in uno spartito compare la frazione
movimenti del valore di .

, allora la misura dovrà contenere

Di conseguenza, si ricorre alle frazioni anche per stabilire il valore delle note musicali.
I segni grafici a cui si ricorre sono:
 un cerchio bianco o nero
 una gambetta
 un taglio addizionale
Il cerchio nero corrisponde alla metà di quello bianco, la gambetta dimezza a sua volta la durata
della nota e un tagli dimezza ancora una volta il suo valore.

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La scala pitagorica:
Fin dal mondo classico si è sentita la necessità di determinare, con una certa precisione, l'altezza dei
vari suoni costituenti una scala.
Primo tra tutti fu Pitagora che, passando davanti alla bottega di un fabbro ferraio, sentì che il battere
dei martelli sulle incudini produceva un suono alle volte consonante (gradevole), mentre altre
dissonante.
Visto che il suono prodotto dipendeva dal materiale, la lunghezza e il peso del martello, Pitagora si
servì del monocordo, strumento dotato di un'unica corda, così da annullare queste variabili.

Notò che se faceva vibrare la corda a metà della sua altezza, questa produceva un suono più acuto di
un'ottava di quello dato dalla sua lunghezza totale.
Così stabilì che il rapporto tra due suoni distanti un'ottava è di 2 a 1.
Successivamente divise la corda ai suoi 2/3, ottenendo un'altra nota (Sol). Stabilito questo rapporto
numerico, Pitagora calcolò, procedendo di quinta in quinta, l'altezza di tutti gli altri suoni.
dal Do si ottiene il Sol superiore:
dal Sol si ottiene il Re superiore:
dal Re si ottiene il La superiore:
dal La si ottiene il Mi superiore:
dal Mi si ottiene il Si superiore:

1 : 2/3 = 3/2
3/2 : 2/3 = 9/4
9/4 : 2/3 = 27/8
27/8 : 2/3 = 81/16
81/16 : 2/3 = 243/32

Riuscì invece a trovare il valore numerico della nota Fa, facendo vibrare la corda ai suoi 3/4.

Ottava = Do1 : Do2 = 1 : 2

Quinta = Do1 : Sol = 2 : 3

Quarta = Do1 : Fa = 3 : 4

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I numeri riportati possono essere letti anche attraverso la tetraktýs, la piramide dei pitagorici, infatti:
1
Ottava
2
Quinta
3
Quarta
4

La conseguenza immediata fu quella di credere ad una corrispondenza inscindibile tra musica e
matematica: tutto è armonia e numero.

La Musica delle Sfere:
- “Illi autem octo cursus, quibus eadem vis
est duorum, septem efficiunt distinctos
intervallis sonos, qui numerus rerum
omnium fere nodus est.”

- “Quelle otto sfere, tra le quali due hanno la
medesima sonorità, producono sette suoni
distinti da intervalli e questo numero per così
dire è il nodo dell'universo.”

Il Somnium Scipionis di Cicerone riprende la dottrina orfico-pitagorica che riguarda le proporzioni
che caratterizzano i movimenti dei corpi celesti dell'universo. Qui la musica non è da intendersi nel
senso letterale, ma piuttosto come un concetto di armonia matematica.

La teoria della musica delle sfere continuò a essere seguita almeno fino al XVII secolo da filosofi a
musicisti.
Tra questi, l'astronomo Keplero se ne servì per spiegare le sue tre leggi. Scoprì infatti che la
differenza fra la massima e la minima velocità angolare dei pianeti nella loro orbita è simile ad una
proporzione armonica: la massima e minima velocità angolare della Terra, misurate dal Sole, varia
di un semitono (cioè sono in rapporto 16:15), come fra le note mi e fa.
Non a caso chiamò il suo trattato “Harmonices Mundi” (Armonia del Mondo), dal momento che
vengono espresse analogie tra l'armonia musicale e il moto dei pianeti intorno al Sole.

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I canoni musicali:
Il canone è una composizione musicale tipica del XVII secolo. Può essere classificato in base:





Al numero delle voci;
Al fatto che le voci siano retrograde;
Siano rovesciate;
retrograde e rovesciate.

Musicisti fiamminghi o del calibro di Johann Sebastian Bach hanno fatto largamente uso dei canoni,
ingegnandosi nel comporre sinfonie sempre più complesse, fino ad arrivare a 36 voci.
Il canone comprende anche la Fuga, una forma musicale polifonica basata sull'elaborazione
contrappuntistica di un'idea tematica (a volte due o tre) che viene esposta e più volte riaffermata nel
corso della ricerca di tutte le possibilità espressive e/o contrappuntistiche da essa offerte.
Per comporre questo genere di musica, si faceva riferimento a tavole numeriche in cui ad ogni
numero corrispondeva una nota che, suonata insieme alle altre, produceva un suono gradevole.
Così facendo, venivano prodotte migliaia di sinfonie attraverso un ragionamento prettamente
logico/matematico.

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Qui sotto è riportato un esempio di canone, il rondeau Fra Martino, nel moto retto, retrogrado,
rovesciato e retrogrado rovesciato.
Retto:

Retrogrado:

Rovesciato:

Retrogrado e rovesciato:

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Il passo successivo di Bach fu quello di mettere in relazione tra loro i canoni e le fughe, quindi
scrivere spartiti in cui comparissero melodie sia invertite e capovolte, sia correlate da più voci che a
turno le mettessero in risalto.

Bach viene definito da molti come colui che ha saputo meglio interpretare il rapporto tra armonia
musicale e matematica, sensi e razionalità.
Nel 1747, Bach entra a far parte de la Correspondierende Societät der musicalischen
Wissenschaften ("Società per corrispondenza di scienze musicali") il cui intento era quello di
riportare la musica alla sua origine pitagorica e di mostrarne e legami con la matematica.
Pochi anni prima, il teorico musicale francese aveva scritto nel suo trattato dell'armonia ridotto ai
suoi principi fondamentali ciò che avrebbe dato vita alla società:
- “La musica è una scienza che deve avere regole certe: queste devono essere astratte da
un principio evidente che non può essere riconosciuto senza l'aiuto della matematica.”
Particolare è il suo rapporto con il numero 14:
 Entrò nella società come 14° membro nel 1747 (14;7+7=14)
 Sostituendo le lettere dell'alfabeto del cognome BACH con i numeri, assegnando ad A il
numero uno; B il 2; ecc... La loro somma è 14 (2 + 1 + 3 + 8 =14). Inoltre, le lettere del suo
cognome sono tutte presenti nella nomenclatura inglese delle note musicali. La nota La
viene chiamata “A”, Si “B” e così via.
Per questo, in alcune sue composizioni, compare il seguente motivo:

 La fuga lasciata incompiuta è la quattordicesima de L'arte della fuga.
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Le geometrie musicali di Tymoczko:
Dmitri Tymoczko, compositore e teorico musicale, ha tentato di illustrare visivamente armonia e
melodia della musica classica.
SecondoTymoczko, esiste un modo diverso di pensare la musica, in cui accordi e melodie sono
punti e linee di uno spazio matematico chiamato “Orbifold”.
Questo sistema rappresenta con un punto i singoli accordi contenuti in una composizione, mentre la
distanza tra gli uni e gli altri indica la differenza percepita dall’orecchio umano tra i suoni: minore
distanza significa quindi una transizione più gradevole tra accordi consecutivi.
I segmenti tracciati tra le note di accordi diversi disegnano quindi una mappatura. Queste linee
esistono solo quando gli accordi sono simmetrici per traslazione o riflessione e gli accordi
assonanti e dissonanti hanno simmetrie differenti. Le regole che stabiliscono se più accordi possono
essere legati in modo piacevole si possono rappresentare matematicamente pianificando le possibili
connessioni nello spazio geometrico.
Per descrivere l’armonia, però, la geometria piana non basta. Ogni nota che compone un accordo
necessita infatti di una dimensione, così che per descrivere un accordo composto da tre note,
Tymoczko ha dovuto fare ricorso alle figure tridimensionali.

Le trasformazioni geometriche:
Per scrivere musica, sia i musicisti del XVII secolo che Dmitri Tymoczko hanno fatto uso di quelle
che oggi definiamo come trasformazioni geometriche.
Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto del
piano uno e un solo punto del piano stesso.
In particolar modo si sono serviti delle traslazioni, simmetrie centrali e assiali.

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Per capire l'assonanza tra trasformazioni geometriche e uno spartito musicale, prendiamo come
punto di riferimento la seguente melodia, a cui verranno applicate di volta in volta le
trasformazioni:

Traslazione: La traslazione di vettore è v una trasformazione geometrica che fa corrispondere a
ogni punto P del piano un punto P' tale che:
 ' = v
PP

Le coordinate di P si ottengono attraverso le seguenti equazioni che rappresentano le equazioni
della traslazione di vettore v :
t:

{ xy '' =xa
= yb

Nell'ambito musicale si distinguono traslazioni rispetto all'asse del tempo t e all'asse delle altezze p.
Le traslazioni rispetto all'asse del tempo vengono chiamate ritardi o anticipazioni in base al verso
in cui è diretto il vettore.
Consideriamo la seguente traslazione:
1
t ' =t
4
A(t;p); A'
p '= p

{

Applicandola alla melodia di riferimento risulta:

Le traslazioni rispetto all'asse delle altezze vengono invece chiamate trasposizioni.
Consideriamo una traslazione discendente di 3 semitoni:
A(t;p); A'

{ p 't=' =tp−3

Ed applichiamola alla nostra melodia:

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Simmetria centrale: Fissato nel piano un punto M, la simmetria centrale di centro M è la
trasformazione geometrica che a ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' tale che M è il
punto medio del segmento PP'.
Se consideriamo M(a; b), al punto P(x; y) corrisponde nella simmetria di centro M il punto
P'(x'; y'), allora:
s:

{ yx '' =2a−x
=2b− y

Quando in musica viene applicata la simmetria centrale, allora la melodia può assumere un moto
retrogrado e rovesciato se a M vengono applicate coordinate (0;0), infatti:
M(0;0); A(t;p);

{

t ' =−t
A' p ' =− p

Che nel pentagramma risulta come:

Simmetria assiale: Fissata nel piano una retta r, la simmetria assiale rispetto alla retta r è quella
trasformazione geometrica che a ogni punto P fa corrispondere il punto P' nel semipiano opposto
rispetto a r e tale che r sia asse del segmento PP'.
Consideriamo come asse di simmetria la retta di equazione x=a.
Dato il punto P(x;y), il punto P'(x';y') è il corrispondente di P, tale che le equazioni della simmetria
rispetto all'asse x=a sono:
s:

{x ' =2a−x
y '= y

Nel pentagramma la melodia subisce un movimento retrogrado.
Se a = 0;

A(t;p);

A'

{tp' =−t
'= p

L'asse di simmetria corrisponde alla stanghetta che divide la prima dalla seconda battuta e per
comodità gli è stato dato valore 0:

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Ora consideriamo come asse di simmetria la retta y=b.
Dato il punto P(x;y), il punto P'(x';y') è il corrispondente di P, tale che le equazioni della simmetria
rispetto all'asse x=b sono:
s:

' =x
{ y ' x=2b−
y

Nel pentagramma la melodia subisce un rovesciamento.
Se b = 0;

A(t;p);

A'

' =t
{ pt' =−
p

Anche qui il valore dato alla retta è pari a 0 e il risultato di questa trasformazione è:

Inizialmente, il musicista doveva utilizzare tutti i 12 suoni della scala cromatica e l'intervallo tra una
e l'altra doveva essere sempre diverso. Ad esempio se compare l'intervallo Do-Mi (3° Maggiore),
poi non può essere più scritto lo stesso intervallo (es. Mi-Sol: 3°Maggiore), prima che non siano
state utilizzate tutte le altre note. Dopo aver scritto questa sequenza, si riproduce la stessa attraverso
il moto retrogrado, inverso e inverso rovesciato. Mentre il moto retrogrado si è ritrovato anche
nella musica canonica del XVII, quello inverso consisteva nel partire dalla stessa nota di quello
originale, ma invertire l'intervallo successivo: se tra la prima e la seconda nota c'è un intervallo di 5°
giusta ascendente, nel moto inverso troveremo sempre lo stesso intervallo di 5° giusta, ma
discendente.
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È possibile capire il procedimento anche utilizzando una mini-serie composta da sole quattro note.
 Forma melodica originale:

 Forma melodica retrograda:

 Forma melodica inversa:

 Forma melodica inversa e retrograda:

Adorno e la Scuola di Francoforte:
Theodor Wiesengrund Adorno, filosofo e valente musicologo, riprende la dodecafonia di Shoenberg
per porre la musica come strumento di «denuncia della negatività disarmonica del mondo» e
«immagine anticipatrice di riconciliazione». Secondo Adorno, l'arte contemporanea, rotti i canoni
classici della bellezza in quanto armonia, perfezione e compiutezza, si pone come documento e
denuncia della disarmonia e frammentarietà del nostro mondo, e come “segnale” della non avvenuta
conciliazione fra soggetto e oggetto, fra io e società. La dodecafonia esprime proprio questo e mette
in primo piano quella dissonanza che riflette i contrasti dell'individuo dentro la collettività.
Il tema centrale del pensiero di Adorno è la dialettica negativa. Nell'omonima opera, Adorno
difende la funzione primaria della dialettica come strumento di comprensione del reale. Tuttavia la
dialettica cui intende rifarsi Adorno non è quella dello Hegel “sistematico”, ossia la dialettica della
sintesi e della conciliazione, bensì una dialettica negativa che, mettendo in discussione l'identità di
ragione e di realtà, svela le disarmonie e le contraddizioni non conciliate che caratterizzano il
mondo in cui viviamo. Inoltre Hegel sacrifica l'individuale per l'universale. Adorno recupera
l'individuo e lo inserisce nella dimensione critica dell'universalità.
Gianmarco Bianchi

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Un'ulteriore critica la ritroviamo nei confronti dell'industria culturale. Secondo Adorno, uno degli
aspetti più caratteristici e vistosi dell'odierna società tecnologica è la creazione del gigantesco
apparato dei media (giornali, cinema, pubblicità, televisione, ecc.). Il filosofo denuncia l'impero dei
media come il più subdolo strumento di manipolazione delle coscienze impiegato dal sistema per
conservare se stesso e tenere sottomessi gli individui. L'industria culturale suscita i bisogni e
determina i consumi degli individui, rendendoli passivi ed etero-diretti, annullandoli come persone
e riducendoli a una massa informe.
Tant'è vero che persino il tempo del divertimento, che dovrebbe essere il momento della libera
creatività individuale, è divenuto qualcosa di “programmato”, poiché è l'industria culturale che
stabilisce modalità e orari del divertimento stesso, rendendolo una sorta di «prolungamento del
lavoro nell'epoca del tardo capitalismo».
E forse Uto Ughi prese spunto proprio da Adorno per dire:
“La musica ha una fondamentale componente spirituale. Rende meno arida, meno egoista, meno
violenta la società.”
Conclusioni:
Nell'ultimo secolo, se da una parte il ruolo della musica è stato esaltato perché fonte di ispirazione
per tempeste rivoluzionare come il '68, dall'altra ha perso quell'alone mistico che aveva intorno a sé.
Se una volta la musica era qualcosa di impegnativo, per pochi, un'arte che si raggiungeva solo
dentro i teatri, che richiedeva tempo per apprezzarla, che seguiva una serie di riti come una
celebrazione, così da coglierne appieno il gusto, adesso è facile sia fare che ascoltare musica.
Qualsiasi ragazzo ha la possibilità di comporre senza avere la minima conoscenza musicale, aiutato
continuamente dalla tecnologia. E ognuno ha la possibilità di ascoltare musica in ogni contesto, in
qualsiasi situazione. Si ascolta musica nei supermercati, alla fermata dell'autobus, in sala di attesa,
in casa, all'aperto, al mare, in montagna, quando si corre e quando ci si riposa.
Quel rituale di un tempo si è perso: la musica è diventata strumento, anziché fine, di altro.
L'intento di questa tesi è anche quello di dimostrare che la musica non è qualcosa che intrattiene,
ma un mare in cui immergerci, perché se fatta bene, diventa un calderone di sapere.
La musica è un'arte che andrebbe toccata con i guanti bianchi.
Ciò che desidero, è che venga recuperato il gusto di ascoltare e che si dedichi più tempo alla sola
musica che, come scrive Baricco, «è armonia dell'anima».

Gianmarco Bianchi

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Bibliografia:
 Salvatore Pintacuda, Acustica musicale - per i Conservatori di musica, i Licei e gli Istituti
musicali, Milano, Edizioni Curci
 Nicola Abbagnano e Giovanni Fornero, Itinerari di Filosofia – da Shopenauer alle teorie
novecentesche sulla politica, Paravia
 Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi, Manuale blu 2.0 di matematica,
Zanichelli
 http://it.wikipedia.org/wiki/Rapporto_tra_musica_e_matematica
 http://www.marcocostanzi.it/curiosita-matematiche/matematica-e-musica.html

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