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Geometria Analitica .pdf



Nome del file originale: Geometria Analitica.pdf
Autore: Annunziata Tufano

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Sommario
Formule ........................................................................................................................................................1
Esempi: distanza tra due punti e punto medio ..........................................................................................4
Retta con 2 punti noti ...............................................................................................................................5
Distanza di un punto da una retta.............................................................................................................7
Parallela e perpendicolare.........................................................................................................................9
Intersezione tra rette .............................................................................................................................. 12
Parabola.................................................................................................................................................. 14

Geometria Analitica
Formule

Calcolare la distanza tra due punti:
๐‘ƒ1 ๐‘ฅ1 ; ๐‘ฆ1 ๐‘ƒ2 ๐‘ฅ2 ; ๐‘ฆ2
(๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ1 )2 โˆ’ (๐‘ฆ2 โˆ’ ๐‘ฆ1 )2

Trovare il punto medio tra due punti:
๐‘ƒ1 ๐‘ฅ1 ; ๐‘ฆ1 ๐‘ƒ2 ๐‘ฅ2 ; ๐‘ฆ2
๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ1 ๐‘ฆ2 + ๐‘ฆ1
;
2
2
RETTA
Forma implicita:
ax + by + c = 0
Forma esplicita:
y = mx + q
1

Rette:
y = 0 Asse ascisse. Ogni suo punto ha ordinata nulla
x = 0 Asse ordinate. Ogni suo punto ha ascissa nulla
x = k Retta parallela all'asse x. Ogni suo punto ha ordinata costante k
x = h Retta parallela all'asse y. Ogni suo punto ha ordinata costante h
y = x bisettrice quadranti 1 e 3
y = - x bisettrice quadranti 2 e 4

Trovare una retta da due punti noti:
๐‘ƒ1 ๐‘ฅ1 ; ๐‘ฆ1 ๐‘ƒ2 ๐‘ฅ2 ; ๐‘ฆ2
๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1
๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1
=
๐‘ฆ2 โˆ’ ๐‘ฆ1 ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ1
Distanza di un punto da una retta:
Retta : ax + by + c = 0
Punto : ๐‘ƒ1 ๐‘ฅ1 ; ๐‘ฆ1
d=

| ๐‘Ž ๐‘ฅ 1 + ๐‘ ๐‘ฆ1 + ๐‘ |
๐‘Ž 2 +๐‘ 2

Parallela e perpendicolare di una retta passante per un punto:
Retta : y = mx + q
Punto : ๐‘ƒ1 ๐‘ฅ1 ; ๐‘ฆ1
Parallela:
๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1 = ๐‘š ( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1 )
Perpendicolare:
2

๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1 = โˆ’

1
( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1 )
๐‘š

Intersezione tra rette:
๐‘Ž1 ๐‘ฅ + ๐‘1 ๐‘ฆ + ๐‘ = 0
๐‘Ž2 ๐‘ฅ + ๐‘2 ๐‘ฆ + ๐‘ = 0
Soluzioni:
2 soluzioni = Le rette hanno un punto di intersezione
1 Soluzione = Le rette sono tangenti
0 Soluzioni = Le rette sono parallele

PARABOLA:
retta:
๐‘ฆ = ๐‘Ž๐‘ฅ 2 + ๐‘๐‘ฅ + ๐‘
Delta:
โˆ†= ๐‘ 2 โˆ’ 4(๐‘Ž)(๐‘)
Vertice
โˆ’๐‘ โˆ’โˆ†
๐‘ฃโ‰ก
;
2๐‘Ž 4๐‘Ž
Fuoco
๐นโ‰ก

โˆ’๐‘ 1 โˆ’ โˆ†
;
2๐‘Ž 4๐‘Ž

Asse simmetria
๐‘ฅ=

โˆ’๐‘
2๐‘Ž

Direttrice
๐‘ฆ=โˆ’

1+โˆ†
4๐‘Ž
3

Intersezione tra retta e parabola:
Equazione parabola: ๐‘ฆ = ๐‘Ž๐‘ฅ 2 + ๐‘๐‘ฅ + ๐‘ Equazione retta: ๐‘ฆ = ๐‘š๐‘ฅ + ๐‘ž
๐‘ฆ = ๐‘Ž๐‘ฅ 2 + ๐‘๐‘ฅ + ๐‘
๐‘ฆ = ๐‘š๐‘ฅ + ๐‘ž
2 Soluzioni = secante
1 Soluzione = tangente
0 Soluzioni = esterna
Circonferenza:
Equazione: ๐‘ฅ 2 + ๐‘ฆ2 + ๐‘Ž๐‘ฅ + ๐‘๐‘ฆ + ๐‘ = 0
Centro:
๐‘Ž
๐‘
๐‘ โ‰ก โˆ’ ;โˆ’
2
2
Raggio:
๐‘Ÿ=

๐‘Ž
โˆ’
2

2

2

๐‘
+ โˆ’
2

โˆ’๐‘

a = 0 Centro sull'asse y
b = 0 Centro sull'asse x
c = 0 Circonferenza passa per l'origine

ESEMPI:
Distanza tra due punti:
๐‘ƒ1 3 ; 2 ๐‘ƒ2 2 ; 1
2โˆ’3

2

+ 1โˆ’2

โˆ’1

1

+ โˆ’1

2

2

4

1+1
2
Punto medio tra due punti:
๐‘€๐‘ƒ1๐‘ƒ2 =

2+3 1+2
;
2
2
5 3
;
2 2

2.5

2

P1

1.5
asse y

Punto
Medio

1

P2

0.5

0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

asse x

Retta con due punti noti:
๐ด โ‰ก 2; 2 ๐ต โ‰ก 1; 4
๐‘ฆโˆ’2 ๐‘ฅ โˆ’2
=
4โˆ’2 1โˆ’2
๐‘ฆโˆ’2 ๐‘ฅ โˆ’2
=
2
โˆ’1
5

๐‘ฆ โˆ’ 2 โˆ’1 = ๐‘ฅ โˆ’ 2 2
โˆ’๐‘ฆ + 2 = 2๐‘ฅ โˆ’ 4
โˆ’๐‘ฆ = 2๐‘ฅ โˆ’ 4 โˆ’ 2
๐‘ฆ = โˆ’2๐‘ฅ + 4 + 2
๐‘ฆ = โˆ’2๐‘ฅ + 6
๐‘ฅ

๐‘ฆ

0

6A

1

4B

9

8

7

6

A

asse y

5

4

B

3

2

1

0
-2

-1

0

1

2

3

asse x

6

Distanza di un punto da una retta:
Retta: 4๐‘ฅ โˆ’ 3๐‘ฆ โˆ’ 8 = 0
๐‘ƒ โ‰ก (โˆ’5; 9)
d=

|4(โˆ’5)โˆ’3(9)โˆ’8)|
16+9

d=

|โˆ’20โˆ’27โˆ’8|
25

d=

|โˆ’55|

d=

5
55
5

d= 11
-3y = -4x +8
4

8

3

3

y= ๐‘ฅ โˆ’
๐‘ฅ
๐ด

1

๐ต

0

๐‘ฆ
4
โˆ’
3
8
โˆ’
3

7

10
P

5

0

asse y

-10

-5

0

A

5

10

B
-5

-10

-15
asse x

8

Parallela e perpendicolare di una retta:
Retta: 2๐‘ฅ + 2๐‘ฆ โˆ’ 1 = 0
๐ด โ‰ก (โˆ’4; โˆ’3)
2๐‘ฆ = โˆ’2๐‘ฅ + 1
1
2
๐‘ฅ ๐‘ฆ
1
0
2
3
โˆ’1
2

๐‘ฆ = โˆ’๐‘ฅ +

๐ด
๐ต

Parallela:
๐‘ฆ + 3 = โˆ’1(๐‘ฅ + 4)
๐‘ฆ = โˆ’๐‘ฅ โˆ’ 4 โˆ’ 3
๐‘ฆ = โˆ’๐‘ฅ โˆ’ 7
๐ถ
๐ท

๐‘ฅ
๐‘ฆ
0 โˆ’7
โˆ’1 โˆ’6

Perpendicolare:
๐‘ฆ + 3 = 1(๐‘ฅ + 4)
๐‘ฆ = ๐‘ฅ+4โˆ’3
๐‘ฆ=๐‘ฅ+1
๐ธ
๐น

๐‘ฅ ๐‘ฆ
0 1
โˆ’1 0

9

Parallela:
4

2
B

A

0
-4

-2

0

2

asse y

-2

-4

-6
D
C
-8

-10
asse x

10

Perpendicolare:
3

2.5

2

1.5

1

E

0.5

A

asse y

B

0

F
-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.5

-1

asse x

-1.5

11

Intersezione tra rette:
Retta 1: ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ = 0
Retta 2: ๐‘ฅ + ๐‘ฆ โˆ’ 2 = 0
๐‘ฅ โˆ’๐‘ฆ = 0
๐‘ฅ+๐‘ฆโˆ’2 = 0
๐‘ฅ=๐‘ฆ
๐‘ฆ = โˆ’๐‘ฅ + 2
๐‘ฅ = โˆ’๐‘ฅ + 2
๐‘ฆ = โˆ’๐‘ฅ + 2
2๐‘ฅ = 2
๐‘ฆ = โˆ’๐‘ฅ + 2
๐‘ฅ=1
๐‘ฆ = โˆ’1 + 2
๐‘ฅ=1
๐‘ฆ=1
๐‘ƒ โ‰ก (1; 1)
rette: y = x ; y = - x + 2
retta 1:
๐ด
๐ต

๐‘ฅ
0
2

๐‘ฆ
0
2

retta 2:
๐ถ
๐ท

๐‘ฅ
0
2

๐‘ฆ
2
0

12

5

4

3

asse y

2

C

1

P

0
-3

B

-2

-1

A
0

D
1

2

3

-1

-2

-3
asse x

13

Parabola:
๐‘ฆ = ๐‘ฅ 2 โˆ’ 4๐‘ฅ + 3
โˆ†= 16 โˆ’ 4(1)(3)
โˆ†= 16 โˆ’ 12
โˆ†= 4
๐‘‰โ‰ก

4 โˆ’4
;
2 4

๐‘‰ โ‰ก 2; โˆ’1
๐‘ฅ ๐‘ฆ
๐ด 0 3
๐ต 1 0
1โˆ’4
๐น โ‰ก 2;
4
โˆ’3
๐น โ‰ก 2;
4
3
๐น โ‰ก 2; โˆ’
4
asse di simmetria:
๐‘ฅ=2
direttrice:
1+4
4
5
๐‘ฆ=โˆ’
4

๐‘ฆ=โˆ’

14

3.5
3
2.5

2

Asse simmetria

asse y

1.5
1
0.5

0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-0.5
F
-1
-1.5

-2

V

Direttrice

asse x

15


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