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MATEMATICA 01 .pdf



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LA MATEMATICA È UNA ATTIVITÀ
Hans Freudenthal
matematico e studioso di Didattica della Matematica
Il valore che si attribuisce ai discenti come esseri umani determina il modo in cui ci si aspetta che
essi imparino la loro matematica: con libertà oppure da schiavi, guidati oppure imbrigliati.
(Da «Ripensando l’educazione matematica» di Hans Freudenthal)
La matematica cerca e chiede le ragioni: la certezza deve essere cercata e garantita, ed in matematica
ciò si ottiene con una attività mentale del tutto particolare. Ed è questa attività mentale, piuttosto che
i contenuti, che caratterizza la matematica come il campo in cui essa può essere esercitata nel modo
più adeguato ed efficiente.
(Da «Ripensando l’educazione matematica» di Hans Freudenthal)
LE AZIONI DEL FARE MATEMATICA
(La matematica e la realtà: Raffaella Manara)
• GIOCARE
• OSSERVARE
• DESCRIVERE
• DEFINIRE
• RAGIONARE
• IMMAGINARE
• SIMBOLIZZARE
• PROGETTARE
• SBAGLIARE
• RICORDARE
GIOCARE
• Nell’infanzia l’apprendimento del bambino è concreto e il gioco ne è uno strumento privilegiato
• Giocare è il modo con cui il bambino entra in rapporto con la realtà, la comprende e la rielabora
IL PENSIERO SIMBOLICO
• Il gioco presuppone l’ingresso in un mondo di fantasia, richiede una «trasfigurazione» della realtà
con la peculiare possibilità di cogliere nelle cose nuovi nessi e significati
• Tale trasfigurazione della realtà è la radice della funzione simbolica senza la quale non ci sarebbero
né l’arte, né la scienza.
GIOCO E LINGUAGGIO
• Il gioco stimola l’acquisizione del linguaggio
• Il bambino usa la parola perché essa corrisponde a qualcosa di concreto, fino ad inventare parole
nuove
• Il linguaggio del bambino è impregnato di metafora
• Nel gioco il bambino usa le parole degli adulti, appropriandosi così in modo nuovo della lingua e
dei suoi significati
SPAZIO E TEMPO
«Facciamo che io ero la mamma....»
L’uso dell’imperfetto esprime linguisticamente la distinzione che il bambino fa tra lo spazio e il
tempo del gioco e lo spazio e il tempo reale
↓
L’acquisizione della consapevolezza dello spazio e del tempo è una funzione importante nello
sviluppo della razionalità

LA RIPETIZIONE DELL’ATTO
• Riprodurre la stessa azione, ascoltare le stesse parole o le stesse fiabe, rivedere gli stessi film,
continuare a lanciare gli oggetti dal seggiolone: quello che a noi appare noioso o anche fastidioso è
una necessità per il bambino.
• La ripetizione dell’atto serve al bambino per elaborare l’esperienza che sta facendo secondo i
propri tempi e le proprie modalità
LA RAPPRESENTAZIONE
I bambini non raccontano, ma mostrano, mettono in scena; essi sanno riprodurre i gesti, gli
atteggiamenti, le funzioni.
Rappresentando un ruolo nell’occasione del gioco, essi capiscono la funzione del personaggio che
interpretano e cercano di assimilarne le ragioni.
Attraverso questo, come anche attraverso il disegno, si avvia il passaggio alla rappresentazione
simbolica
IL PENSIERO STRATEGICO
• Il gioco necessita di regole che devono essere formulate e poi rispettate.
• Quando il gioco è connesso alla competizione conduce alla necessità di elaborare strategie di
comportamento.
• Ciò contribuisce alla formazione del pensiero strategico, caratterizzato da un grande uso della
ragione.
PER CONCLUDERE
• Molte caratteristiche del pensare e dell’agire razionale sono presenti nel gioco, anche nelle sue
forme più semplici e spontanee.
• Nel gioco il bambino conquista ed esprime la forma della sua razionalità nel modo più adeguato al
suo essere
• È giusto allora considerare il gioco una attività tra le più utili.
IL GIOCO COME RISORSA
• L’adulto può usare consapevolmente il gioco per aiutare a sviluppare e consolidare quegli elementi
di razionalità intrinsecamente connessi all’attività ludica
• Il gioco può essere scelto consapevolmente come strumento didattico educativo
• Con il gioco è possibile apprendere in una situazione meno rischiosa e meno soggetta a frustrazioni
rispetto a quelle che si presentano nella realtà.
MATEMATICA E GIOCO
Due possibilità:
a)Giochi senza esplicito contenuto matematico, ma che influiscono sulla formazione dei concetti
matematici.
Es.: indovinelli, doppi sensi, costruzioni, giochi con le carte, giochi in cui il bambino stabilisce le
regole.
b)Giochi di matematica veri e propri, che hanno come oggetto numeri, figure...
(immagine sassi con numeri)
I NUMERI NATURALI
Parte prima:
• Sistemi di numerazione.
• La notazione posizionale.
• Sistemi di numerazione a base diversa da 10.

FOCUS SUL BAMBINO
Qual è il patrimonio iniziale?
La ricerca attuale , nel campo delle scienze cognitive, mostra che l’abilità numerica è innata.
- Fin dalla nascita siamo in grado di classificare ciò che vediamo in termini di numerosità: si tratta di
un processo di percezione visiva chiamato subitizing o immediatizzazione che consente di
determinare la numerosità di un insieme visivo di oggetti in modo immediato, senza contare (numero
massimo: quattro)
- Si ritiene anche che faccia parte del patrimonio iniziale la capacità di confrontare la numerosità,
di scegliere ad esempio il maggiore tra due insiemi.
• Si ritiene quindi che l’acquisizione dei concetti numerici si verifichi presto nella vita del bambino
ma che, prima dei 6 anni, la rappresentazione di numerosità sia facilmente sviata da indizi percettivi
• Secondo Butterworth la natura fornisce un nucleo innato di capacità numeriche (Modulo
Numerico) comune a tutti; le differenze individuali, che riguardano capacità più avanzate, insorgono
successivamente e sono riconducibili agli strumenti
concettuali forniti.
CONTARE
L’inizio della matematica con i bambini è il contare. L’esperienza numerica del bambino è all’inizio
un’esperienza linguistica. Le parole (uno, due, tre....) e le dita sono i grandi strumenti del bambino
per rispondere alle prime domande sui numeri. Solo successivamente i numeri verranno
espressi anche in simboli: 1, 2, …
COMPONENTI DEL CONTARE
1)Avere a disposizione una buona raccolta di etichette ( numerali)
2)Eseguire il confronto secondo un processo iterativo
3)Identificare la parola che esprime il risultato dell’operazione eseguita
ERRORI NEL CONTARE
1)Incertezza sulle parole numerali
2)Non è chiaro che l’ultima parola è il risultato del conteggio
3)Errori nel processo di ripartizione
4)Errori nell’etichettamento
5)Errori nel coordinamento ritmico tra ripartizione ed etichettamento
I cinque principi di Gelman e Gallistel
L’acquisizione dell’abilità di conteggio verbale è guidata dalla conoscenza innata di alcuni principi
basati sulla competenza numerica non verbale
• Il principio di iniettività
• Il principio dell’ordine stabile
• Il principio di cardinalità
• Il principio di astrazione
• Il principio di irrilevanza dell’ordine
La padronanza dei principi della conta comincia, in genere dai 2-3 anni e si completa intorno ai 5. Il
principio cardinale viene acquisito per ultimo.
La teoria di Fuson
L’autrice analizza l’acquisizione dei significati che il bambino associa alle parole-numero e il modo
in cui questi vengono integrati. Infatti, sebbene le parole-numero siano sempre le stesse, i contesti in
cui esse sono utilizzate sono molto diversi:
• Il contesto sequenza (recita di una filastrocca)
• Il contesto conta (corrispondenza biunivoca con gli oggetti)
• Il contesto cardinale ( la parola-numero identifica la totalità degli elementi di un insieme)

Inizialmente il bambino utilizza le parole-numero solo all’interno degli specifici contesti, senza
collegarli; progressivamente acquisisce e integra i diversi significati fino a riconoscere che ogni
parola-numero si riferisce al totale delle unità che la precedono, compresa se stessa (valore cardinale)
e che qualsiasi elemento della serie assume valore +1 rispetto al precedente e -1 rispetto al seguente.
N.B.: le competenze concettuali di conteggio corrispondono a funzioni innate, ma per il loro
sviluppo l’interazione con l’ambiente diventa cruciale.
NELLA SCUOLA DELL’INFANZIA
Traguardi per lo sviluppo della competenza (nella scuola dell’infanzia)
• Il bambino raggruppa e ordina oggetti e materiali secondo criteri diversi, ne identifica alcune
proprietà, confronta e valuta quantità; utilizza simboli per registrarle; esegue misurazioni usando
strumenti alla sua portata.
• Sa collocare le azioni quotidiane nel tempo della giornata e della settimana.
• Riferisce correttamente eventi del passato recente; sa dire cosa potrà succedere in un futuro
immediato e prossimo.
• Ha familiarità sia con le strategie del contare e dell’operare con i numeri sia con quelle necessarie
per eseguire le prime misurazioni di lunghezze, pesi, e altre quantità.
• Individua le posizioni di oggetti e persone nello spazio, usando termini come avanti/dietro,
sopra/sotto, destra/sinistra, ecc.; segue correttamente un percorso sulla base di indicazioni verbali.
(Indicazioni Nazionali per il primo ciclo riguardo alla Matematica)
ESEMPI DI ATTIVITA’
• Contare i presenti e gli assenti
• Contare maschi e femmine
• Giochi tipo: regina reginella, uno due tre stella...
• A caccia di numeri
• ......................................................

SCUOLA PRIMARIA
Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola primaria
Numeri
• Contare oggetti o eventi, a voce e mentalmente, in senso progressivo e regressivo e per salti di due,
tre, ...
• Leggere e scrivere i numeri naturali in notazione decimale, avendo consapevolezza della notazione
posizionale; confrontarli e ordinarli, anche rappresentandoli sulla retta.
• Eseguire mentalmente semplici operazioni con i numeri naturali e verbalizzare le procedure di
calcolo.
• Conoscere con sicurezza le tabelline della moltiplicazione dei numeri fino a 10.
• Eseguire le operazioni con i numeri naturali con gli algoritmi scritti usuali.
• Leggere, scrivere, confrontare numeri decimali (si deve intendere: numeri scritti in notazione
decimale posizionale, da non confondere coi numeri con la virgola.N.d.C.), rappresentarli sulla retta
ed eseguire semplici addizioni e sottrazioni, anche con riferimento alle monete o ai risultati di
semplici misure.
Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria
Numeri
• Leggere, scrivere, confrontare numeri decimali (ossia: scritti in notazione decimale).
• Eseguire le quattro operazioni con sicurezza, valutando l’opportunità di ricorrere al calcolo
mentale, scritto o con la calcolatrice a seconda delle situazioni.
• Eseguire la divisione con resto fra numeri naturali; individuare multipli e divisori di un numero.
• Stimare il risultato di una operazione.
• Operare con le frazioni e riconoscere frazioni equivalenti.
• Utilizzare numeri decimali, frazioni e percentuali per descrivere situazioni quotidiane.
• Interpretare i numeri interi negativi in contesti concreti.
• Rappresentare i numeri conosciuti sulla retta e utilizzare scale graduate in contesti significativi per
le scienze e per la tecnica.
• Conoscere sistemi di notazione dei numeri che sono o sono stati in uso in luoghi, tempi e culture
diverse dalla nostra.
In classe prima
• Relazioni spazio-temporali
• Riconoscimento delle quantità
• Scrittura dei numeri in cifre e in lettere
• Associazione dei numeri alle quantità
• Riconoscimento del successivo come ‘aggiungere 1’
• Riconoscimento del maggiore tra le quantità e successivamente tra numeri
• Addizioni e sottrazioni (con risultati fino a venti)
• Concetto di problema e primi problemi con addizione e sottrazione
• Introduzione della decina e relativa notazione posizionale
• I numerali ordinali.
Il numero è un concetto astratto espresso da:
A) le parole numerali (uno, due...,primo...,coppia...)
B) i simboli numerali (cifre indo- arabe)
Quali siano le parole e i simboli non è fatto assolutamente secondario per comprendere il concetto di
numero e per operare con esso
Esempi:
• Undici, dodici, tredici... diciassette, diciotto....
• Numeri romani

Per cosa si usa il numero naturale
• Per esprimere quantità: approccio cardinale
• Per mettere in sequenza: approccio ordinale
• Per misurare: approccio fisico- geometrico
La scrittura posizionale dei numeri
Il nostro sistema di numerazione si dice posizionale decimale
• decimale perché le cifre sono dieci
• posizionale perché ogni cifra del numero assume un valore in funzione della “posizione”
Es.: 6743

6
migliaia

7
centinaia

4
decine

3
unità

Ogni numero, quindi, viene espresso da più cifre affiancate, ciascuna delle quali ha peso diverso a
seconda della posizione che occupa.
Il peso di ciascuna cifra è espresso da una potenza che ha per base la base del sistema, quindi 10, e
per esponente la posizione della cifra rispetto alla prima cifra di destra che ha posizione 0.
cioè:
6743=6 × 10 3 + 7 × 10 2 + 4 × 10 1 + 3 × 10 0
(scrittura polinomiale del numero)
Quindi:
• il valore associato a ciascuna cifra è dato dal prodotto del peso per il numero della cifra
• il valore associato al numero è dato dalla somma del valore di ciascuna cifra.
Per leggere e scrivere i numeri, i diversi ordini sono raggruppati di tre in tre (unità, decine e
centinaia) formando le classi, che assumono nomi particolari (unità, migliaia, milioni, miliardi).
miliardi
milioni
migliaia
unità
cdu
cdu
cdu
cdu
Dieci unità di un ordine formano l’unità dell’ordine successivo.
N.B.: con lo stesso metodo si può scrivere un numero in qualunque base
La numerazione romana
Il sistema di numerazione romano è un sistema di tipo additivo, dove ad ogni simbolo è associato un
valore e il numero rappresentato è dato dalla somma dei valori dei simboli.
Al termine della loro evoluzione, i simboli di questo sistema di numerazione,

La numerazione romana: le regole
• All'interno di un numero romano i simboli I, X, C e M possono essere ripetuti consecutivamente, di
norma, al massimo tre volte, mentre i simboli V, L e D non possono essere mai inseriti più di una
volta consecutiva. Esistono, però, anche forme con quattro simboli, come ad esempio il quattro IIII,
che viene riportato in alcune epigrafi antiche del Lazio (come ad esempio nei 76 degli 80 ingressi del
Colosseo destinati al pubblico) e dell'Etruria (soprattutto) ed in altre zone. Va comunque sottolineato
che alcune epigrafi ritrovate a Pompei presentano il quattro nella forma medioevale IV.
• Una sequenza (ovvero una stringa) di simboli che non presenta mai valori crescenti denota l'intero
ottenuto sommando i valori dei simboli indicati (principio di sommazione per giustapposizione);

esempi :
II = 2, XI = 11, XVIII = 18, CXV = 115, DLII = 552, MMVII = 2007.
• Quando si incontra un simbolo seguito da un secondo simbolo di valore maggiore si ha come
risultato la differenza tra i due (principio di differenza); esempi: IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90,
CD = 400, CM = 900.
• Sono accettabili anche stringhe formate da coppie del tipo precedente e simboli, purché si passi da
una coppia a una coppia di valore inferiore, da un simbolo a una coppia di simboli entrambi inferiori
e da una coppia a un simbolo inferiore di entrambi i membri della coppia.
• Solo I, X e C possono essere usati in senso sottrattivo.
La numerazione romana: le operazioni
• I numeri romani possono essere considerati scritture eleganti, ma sono sostanzialmente
inutilizzabili per i calcoli. Il calcolo vero e proprio veniva svolto da uno strumento esteriore come
l'abaco.
LO ZERO
«Nella storia della cultura, la scoperta dello zero si ergerà sempre come una delle più grandi
conquiste individuali del genere umano»
(Tobias Dantzig , matematico americano di origine russa)
Lo zero compare molto tardi rispetto agli altri numeri
- all’inizio è solo un segno per indicare uno spazio vuoto
- poi è una cifra da utilizzare nella scrittura posizionale (Maya, India)
- solo successivamente viene considerato un numero
(Brahmagupta, VII secolo d.C.)
Nell’Occidente lo zero come cifra compare con l’introduzione dei numeri indo-arabi (XIII secolo),
ma anche in questo caso solo più tardi viene accettato come un numero a tutti gli effetti.
«(...) per le normali attività quotidiane, lo zero non ci serve affatto. Nessuno va al mercato a
comprare zero pesci. Lo zero è in un certo senso il più civilizzato di tutti i numeri cardinali e il suo
impiego ci viene imposto dalle esigenze legate all’esercizio di una raffinata razionalità»
(Alfred North Whitehead, cit. in Seife, 2000, pag. 12).
È vero?Dove e come usiamo lo zero?
• Zero come cardinale: assenza di oggetti
• Zero come ordinale: punto di partenza (vedi il metro, il cronometro....)
• Zero come cifra: essenziale per la notazione posizionale
N.B.: zero non è uguale a niente!!!!! È un misconcetto che può creare problemi di apprendimento
negli anni successivi alla Scuola Primaria.
La superiorità del sistema numerico posizionale
1)Ciò che rende il nostro sistema superiore agli altri è, in primo luogo, il principio di posizione.
Questo principio ha avuto un’importanza enorme nel cammino della civiltà, poiché fornisce l’utile
proprietà di rappresentare tutti i numeri, grandi e piccoli, mediante insiemi di pochi simboli diversi
tra loro e una pratica agevole di tutte le operazioni aritmetiche.
2) Insieme alla scoperta del principio di posizione, quella dello zero ha rappresentato la tappa
decisiva di una evoluzione senza la quale non si potrebbe immaginare il progresso della matematica,
della scienza e della tecnica moderne. Anche la “conquista” dello zero, dovuta sempre alla grande
civiltà indiana ed alla mediazione araba, è stata una conquista difficile: poiché i numeri erano stati
inventati per contare, sembrava assurdo dover introdurre un simbolo per contare “niente”. Tuttavia,
la scoperta dello zero ha eliminato le ambiguità nella scrittura dei numeri e implicato una vera
rivoluzione nell’arte del calcolo.

«Leggere e scrivere i numeri naturali in notazione decimale, avendo consapevolezza della notazione
posizionale»
Quesito INVALSI per la seconda primaria:
Quale tra i seguenti numeri corrisponde a 3 decine e 17 unità?
A. 317
B. 173
C. 47
Solo il 34,8% del campione lo sceglie!
Per capire le difficoltà di un bambino proviamo a cambiare base
Domanda
• Se la base del sistema è 5, quali saranno le cifre? E in questo sistema il numero 10 a quale numero
a base decimale corrisponde?
• Avete a disposizione 33 cannucce; qual è il loro numero in base cinque?
Primo passo: formiamo mucchietti da 5; rimangono fuori 3 cannucce: sono le nostre unità
Secondo passo: raggruppiamo i mucchietti da 5 in gruppi da 5; ne rimane fuori 1, l’equivalente della
decina in base 10
Il numero di cannucce in base 5 è quindi: 113.
Possiamo scrivere: 33 10 = 113 5
Si può ripetere «l’esperimento» cambiando base, ad
esempio base 3; si otterrà 33 10 = 320 3
Proviamo a trasformare le operazioni che abbiamo fatto con le cannucce in un algoritmo di calcolo:

Per passare da base10 ad una base b si procede quindi nel modo seguente:
• dividere il numero da convertire per la base b fino a quando l’ultimo quoziente è minore della base
stessa (b)
• il numero convertito si ottiene prendendo l’ultimo quoziente e tutti i resti delle divisioni,
procedendo dall’ultimo resto al primo e scrivendoli da sinistra verso destra.
Per passare da base b a base 10 basta utilizzare la scrittura polinomiale:
es.: 241 6 = 2 × 6 2 + 4 × 6 1 + 1 × 6 0 = 97 10
Tabelle delle operazioni in base 5

ESERCIZI
1. Trasformare 221 10 in base 5 e in base 8
2. Trasformare 234 6 in base 4 (passare attraverso base 10)
3. Costruire le tabelle di somma e prodotto in base 3 e in base 7
4. Eseguire in colonna la seguente operazione: 342 6 +325 6 e verificare la correttezza del calcolo
riportandolo in base 10.

GLI INSIEMI NUMERICI
N : Numeri naturali
Z : Numeri interi
Q : Numeri razionali
R : Numeri reali

I NUMERI NATURALI
IL CONCETTO DI SUCCESSIVO
Il fulcro della consapevolezza numerica dei bambini è la successione dei vocaboli numerali che:
- inizia da un numero particolare: uno
- dopo ogni numero c’è sempre un altro numero
- nel contare non si torna mai indietro
Ciò è espresso con il concetto di «passaggio al successivo»
Da conquistare
1) il successivo di n è n+1 (cioè passare al successivo equivale ad aggiungere 1)
2) I numeri naturali sono infiniti
N.B.: Il meccanismo dell’aggiungere uno è legato ragionamento per ricorrenza, con il quale una
proprietà può essere estesa da un caso particolare all’altro.
I Naturali e l’ordinamento
Comunque presi due numeri naturali m e n, può accadere soltanto una delle tre possibilità:
n < m oppure n = m oppure n > m
(Legge di Tricotomia)
È sempre possibile quindi confrontare due qualunque numeri naturali!!
LE OPERAZIONI DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
ADDIZIONE
Che vuol dire a+b ?
Sommare ad a tante unità quante sono quelle contenute in b
È necessario quindi l’aspetto cardinale del numero, cioè la consapevolezza che il numero b esprime
una numerosità, ma anche il ragionamento per ricorrenza, cioè aggiungere 1 b volte
I termini dell’addizione
18+ addendo
13= addendo
31
somma

PROPRIETÀ DELL’ADDIZIONE
► È una operazione interna:
∀m, n ∈ N,

m + n ∈ N...

► Vale la proprietà associativa:
∀m, n, p ∈ N,

(m + n ) + p = m + (n + p)

► Vale la proprietà commutativa:
∀m, n ∈ N,

m + n = n + m

► Neutralità dello 0:
∀n ∈ N,

n + 0 = 0 + n = n

Sottolineatura importante
Rivediamo le proprietà dell’uguaglianza:
• Proprietà riflessiva: a = a
• Proprietà simmetrica: a = b → b = a
• Proprietà transitiva: a = b e b = c → a = c
N.B.: la proprietà simmetrica fa si che io possa leggere una uguaglianza in entrambi i sensi
Es: (12+5)+7=17+7 perciò 17+7=(12+5)+7
quindi:
Non esiste la proprietà dissociativa!!!!!!
SOTTRAZIONE
Che vuol dire a−b ?
Si può vedere in due modi:
(1)Togliere ad a tante unità quante sono quelle contenute in b
(2)Trovare quel numero c che sommato a b da come risultato a
L’espressione (1) presenta una procedura con cui eseguire l’operazione
L’espressione (2) presenta la sottrazione come operazione inversa dell’addizione.
I termini della sottrazione
65 - minuendo
31 = sottraendo
34
differenza
PROPRIETÀ DELLA SOTTRAZIONE
• la sottrazione non è una operazione interna all’insieme dei numeri naturali: è possibile associare un
risultato solo se a≥b
(requisito necessario: saper riconoscere il maggiore tra due numeri)
• Non vale la proprietà commutativa
• Non vale la proprietà associativa
Es.: (15-7)-5 ≠15-(7-5)
►Vale la proprietà invariantiva:
la differenza tra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae lo stesso numero.
a − b = a + c − (b + c)

Le proprietà delle operazioni e il calcolo mentale
• 55+27=55+(20+7)= (55+20)+7=75+7=82
Quali proprietà abbiamo applicato?
In ogni passaggio (escluso l’ultimo) sempre la proprietà associativa
• 55+27=50+5+20+7= (50+20)+(5+7)=70+12=82
In questo caso proprietà associativa e proprietà commutativa
• 125-75= (125-25)-(75-25)=100-50=50
Qui è applicata la proprietà invariantiva
Con attenzione possiamo coinvolgere insieme addizione e sottrazione:
33+49=33+(50-1)=(33+50)-1=83-1= 82
Di fatto abbiamo applicato la proprietà associativa anche in presenza della sottrazione.
Perché è possibile?
LE OPERAZIONI DI MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
I termini della moltiplicazione
fattori
4
x
↓
moltiplicando

3
=
↓
moltiplicatore

12
↓
prodotto

PROPRIETÀ DELLA MOLTIPLICAZIONE
► È una operazione interna:
∀m, n ∈ N,

m ∙ n ∈ N...

► Vale la proprietà associativa:
∀m, n, p ∈ N,

(m ∙ n) ∙ p = m ∙ (n ∙ p)

► Vale la proprietà commutativa:
∀m, n ∈ N,

m ∙ n = n ∙ m

► Neutralità dell’1:
∀n ∈ N,

n ∙ 1 = 1 ∙ n = n

► 0 è elemento assorbente:
∀n ∈ N,

n ∙ 0 = 0

Proprietà distributiva
• È la proprietà che lega le operazioni di addizione e moltiplicazione e precisamente:
la moltiplicazione è distributiva rispetto all’addizione, poiché
∀m, n, p ∈ N, (m + n) × p = m × p + n × p
• L’addizione invece non è distributiva rispetto alla moltiplicazione, infatti:
2×3 +5≠ 2×5+3×5
N.B. 1: Quando la sottrazione è possibile, si può parlare anche di proprietà distributiva della
moltiplicazione rispetto alla sottrazione.
Es.: 12 − 4 × 3 = 12 × 3 − 4 × 3

N.B. 2: Per affermare che una cosa è vera bisogna dimostrare che è vera sempre, per affermare che
è falsa, basta un singolo caso!!!
Ancora un po’ di calcolo mentale
• 25 × 17 =
• = 25 × 10 + 5 + 2 =
(proprietà....................................)
• = 25 × 10 + 25 × 5 + 25 × 2 =
(proprietà....................................)
• = 250 + 125 + 50 =
• = 250 + 50 + 125 =
(proprietà...................................)
• = 300 + 125 = 425
(proprietà..................................)
• Oppure:
• 25 × 17 = 25 × 20 − 3 = 25 × 20 − 25 × 3 = 500 − 75 = 425
Concetto di Multiplo
Il numero a si dice multiplo di b se esiste un numero c tale che: a = b × c
• Dato un qualunque numero n, i suoi multipli sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando n
per i vari numeri naturali.
Per esempio, se il numero assegnato è 3, i suoi multipli sono:
3×0=0, 3×1=3, 3×2=6, 3×3=9, ... , 3×10=30, ... , 3×25=75,
Quanti sono? Evidentemente tanti quanti sono i numeri naturali.
• 0 è multiplo di qualsiasi numero
• I multipli di 2 si chiamano numeri pari
• Se un numero non è pari allora si dice dispari
LA DIVISIONE
6
↓
dividendo

:

3
=
↓
divisore

2
↓
quoto

• non è una operazione interna all’insieme dei numeri naturali:
all’operazione a : b è possibile associare un risultato solo se a è multiplo di b
• Non vale la proprietà commutativa
• Non vale la proprietà associativa:
(12 : 4) : 3 è possibile 12 : (4 : 3) non è possibile
PROPRIETÀ DELLA DIVISIONE
► Neutralità dell’1
∀n ∈ N

n : 1 = n

â–º Comportamento dello 0:
- ∀n ∈ N

0 : n = 0

- non è possibile la divisione per 0
infatti non esiste un m ∈ N tale che 0 × m = n

► Vale la proprietà invariantiva
m : n = (m × p) : (n × p) = (m : c) : (n : c)
► Vale la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione o sottrazione (quando le
operazioni sono possibili)
(m ± n) : p = (m : p) ± (n : p)
Il concetto di Divisore
• Il numero b si dice divisore di a se esiste un numero c tale che: a = b × c
• Ogni numero è divisore di se stesso
• 1 è divisore di ciascun numero
• I divisori di un numero sono sempre in numero finito: quanti sono?
I Numeri primi
• Un numero che ammette come divisori solo se stesso e l’unità si dice primo
• Se un numero non è primo si dice composto
• 0 e 1 non sono né primi né composti
• I numeri primi sono infiniti: la prima dimostrazione la dobbiamo a Euclide
• La distribuzione dei numeri primi all’interno dei naturali non ha una apparente regolarità.
• Oggi i numeri primi sono molto utilizzati in crittografia
Criteri di divisibilità
• un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari (0,2,4,6,8)
• un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3
• un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4
• un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5
• un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 che per 3
• un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9
• un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0
La Divisione con il resto
Dati due qualunque numeri naturali a e b (b ≠ 0), esistono sempre, e sono unici, due numeri q ed r
tali che:
a=b×q+r
• Ciò vuol dire che la divisione con il resto è sempre possibile.
N.B.1: il resto è sempre minore del divisore, cioè 0 ≤ r < b
N.B.2: La divisione con resto può essere vista come una generalizzazione della divisione

LE AZIONI DEL FARE MATEMATICA
SIMBOLIZZARE
• Formalizzare significa dare espressione all’insieme di conoscenze che possediamo attraverso un
sistema di segni: l’oggetto a cui ‘diamo forma’ è il pensiero, usando innanzitutto le parole e la
lingua; in matematica la formalizzazione avviene soprattutto usando i simboli; potremmo dire che il
simbolismo è linguaggio della matematica e contenuto della matematica al tempo stesso.
• La prima funzione del simbolo è quella di rappresentare concetti nella forma più breve e chiara
possibile, ma è molto di più della stenografia di un concetto; basta pensare alla scrittura decimale
del numero: il simbolo contiene al proprio interno la formalizzazione di alcune proprietà delle
operazioni sui numeri stessi, è già una sintesi concettuale di un elevato grado di complessità.
Se però il simbolo si stacca dal suo significato, sorgono seri problemi di apprendimento; l’uso dei
simboli diventa meccanico, le procedure vengono applicate in maniera ripetitiva ed acritica. Si può
ad esempio fare un errore di calcolo in una sottrazione, ottenere un risultato maggiore del numero di
partenza e non accorgersene perché non si considera la logica dell’operazione.
È pertanto indispensabile guidare il bambino alla comprensione profonda del significato dei
simboli aritmetici, anche attraverso la manipolazione di oggetti concreti, per evitare un utilizzo
rigido dei simboli.
SVILUPPO DELL’ACQUISIZIONE DELLA MATEMATICA SCRITTA SECONDO J.HIEBERT
(1988)
Vengono delineati cinque processi cognitivi specifici:
1. Connettere i simboli ai referenti
es.: 3 = ∗ ∗ ∗ ; 3 + 2 = ∗∗∗ + ∗∗
2. Sviluppare procedure di manipolazione del simbolo
es.: le operazioni a due cifre in colonna
3. Elaborare procedure per i simboli
es.: trasferire le regole dell’addizione a due cifre a quelle con numeri più elevati
4. Automatizzare le procedure di manipolazione dei simboli
es.: le tabelline
5. Costruire sistemi di simboli più astratti
es.: formule
È indispensabile che il bambino comprenda pienamente il rapporto tra simbolo e referente,
sviluppando la capacità di ritornare al significato del numero o dell’operazione partendo dalla sua
rappresentazione scritta.
ESAMINIAMO ALCUNI SUSSIDI DIDATTICI
I REGOLI
UNA VALUTAZIONE CRITICA
“Soli, muretti, regoli e coppie...”
Riflessioni sull’uso acritico dei regoli Cuisenaire-Gattegno: i numeri in colore
Silvano Locatello, Gianna Meloni N.R.D., Bologna
Silvia Sbaragli N.R.D., Bologna
Alta Scuola Pedagogica, Locarno, Svizzera
LA LINEA DEI NUMERI

LA LINEA DEL 20 DI BORTOLATO

L’ABACO

IL CONTAFACILE

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
LE PRIME ADDIZIONI E SOTTRAZIONI
• Rappresentare le operazioni
• Scomporre un numero entro il 10 in tutti i modi possibili
• Sommare entro il 10
• Quanto manca per arrivare al 10?

I PRIMI PROBLEMI
Siamo portati a credere che problemi diversi che si risolvono con una stessa operazione siano tutti
della stessa difficoltà.
Non è sempre vero!
La difficoltà di un problema dipende da molti fattori; sicuramente influiscono:
- il tipo di operazioni
- il numero di operazioni
- lo strumento linguistico
- la conoscenza del contesto a cui si riferisce il problema
È da sottolineare inoltre che , con uno stesso contesto, si possono porre domande di difficoltà diversa
ESEMPI
A) Contesto statico. Paolo ha 8 biglie e Giacomo ne ha 3
1) Quante biglie hanno in tutto?
2) Quante biglie ha in meno Giacomo?
3) Quante biglie ha in più Paolo?
B) Contesto dinamico
1) Paolo all’inizio del gioco aveva 7 biglie e, nel corso del gioco, ne ha vinte 4. Quante biglie ha alla
fine del gioco?
2) Paolo ha vinto 4 biglie e alla fine del gioco ne ha 11; quante biglie aveva prima di iniziare a
giocare?
3) Se Paolo all’inizio del gioco aveva 7 biglie e alla fine ne ha 11, come si è svolto il gioco?

LA MOLTIPLICAZIONE
PROBLEMA
La mamma ha 5 vasetti e in ognuno di essi vuole mettere 3 fiori. Quanti fiori deve comperare in
tutto?

3
+3
+3
+3
Quante volte è ripetuto il 3? 5 volte!
C’è un modo più veloce di scrivere l’operazione:
3×5

+3

In questo modo la moltiplicazione viene presentata come addizione ripetuta.
I termini della moltiplicazione si chiamano: moltiplicando (il termine che viene ripetuto) e
moltiplicatore (il termine che stabilisce il numero delle ripetizioni), il risultato si chiama prodotto.
I due termini hanno quindi uno ‘status’ diverso: il moltiplicando rappresenta una quantità, il
moltiplicatore rappresenta le volte che la quantità viene ripetuta.
Per evitare questa asimmetria a livello linguistico, i termini della moltiplicazione possono essere
chiamati fattori.
MOLTIPLICAZIONE COME ADDIZIONE RIPETUTA
Cosa vuol dire a × b?
Sommare a con se stesso tante volte quante sono le unità contenute in b.
a × b = a + a + ⋯+ a
Cosa vuol dire b × a?
Sommare b con se stesso tante volte quante sono le unità contenute in a.
b × a = b + b + ⋯+ b

PROBLEMA
Lucia vuole fare delle etichette diverse per i suoi quaderni; ha a disposizione
• tre forme : il cerchio, il quadrato e il triangolo
• quattro colori: rosso, giallo, verde, blu.
Quante etichette diverse riesce a fare?
Si può rispondere: 3 figure gialle, 3 rosse, 3 verdi, 3 blu,
quindi 3 + 3 + 3 + 3
Ma il tipo di problema permette anche una efficace rappresentazione

Possiamo semplificare la rappresentazione

Arriviamo così alla rappresentazione della moltiplicazione come incroci tra linee orizzontali e
verticali, rappresentazione che permette di non ridurre la moltiplicazione a pura addizione ripetuta.

Si può arrivare così alla schematizzazione della moltiplicazione come incroci....
4 × 6 = 24
... o come schieramenti
●●●●●●
●●●●●●
●●●●●●
●●●●●●
DA QUI SI POSSONO INIZIARE LE TABELLINE

LE TABELLINE
• È opportuno che le tabelline siano costruite dai bambini stessi, utilizzando anche più di un metodo:
schieramenti, linea dei numeri, regoli.....
• È bene memorizzare le sequenze: 3 − 6 − 9 − 12 ... (il ritmo del 3...)
• ...e memorizzare le moltiplicazioni: 3 × 1 = 3; 3 × 2 = 6 ... .
• Lavorare in contemporanea sull’operazione diretta
(3 × 4 = 12) e sulla sua inversa (12 : 4 = 3)
• Offrire numerosi esempi concreti in cui applicare le operazioni diretta e inversa
E NON DIMENTICARE LA TAVOLA COMPLETA!

Da imparare a scrivere e a leggere!!!!

E poi si può giocare!!!!

TORNIAMO ALLE STRATEGIE DIDATTICHE PER LA MOLTIPLICAZIONE
ADDIZIONE RIPETUTA
Ogni mazzetto è fatto con 3 ciliegie. Quante ciliegie ci sono in 5 mazzetti?

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
3 × 5 = 15
In questa rappresentazione come si può giustificare che 3 × 5 = 5 × 3 ?
Inoltre perché 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 + 5 + 5 ?
LINEA DEI NUMERI
Partendo da 0 fai passi di lunghezza 2 fino ad arrivare ad 8

Quanti passi da 2 hai fatto? Dove sei arrivato?
Ciò significa che 2 per 4 volte è uguale ad 8, cioè:
2 × 4 = 8.
Ora, sempre partendo da 0 fai passi di lunghezza 4 fino ad arrivare ad 8.
Quanti passi da 4 hai fatto?
Dove sei arrivato?
Ciò significa che 4 per 2 volte è uguale ad 8, cioè:
4 × 2 = 8.
Qui si mostra che 2 × 4 = 4 × 2.S
SCHIERAMENTI

Quante righe?
Quante stelline in ogni riga?
5 stelline ripetute 4 volte:
5 + 5 + 5 + 5 = 5 × 4 = 20
Quante colonne?
Quante stelline in ogni colonna?
4 stelline ripetute 5 volte:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 × 5 = 20
In questo caso la proprietà commutativa è visualizzata in modo efficace.

LA DIVISIONE
Alla sua festa di compleanno Giovanni ha invitato 5 amici e vuole regalare ad ognuno 3 matite
colorate. Di quante matite ha bisogno Giovanni?
↓
Alla sua festa di compleanno Giovanni ha invitato 5 amici e vuole regalare loro delle matite colorate.
Giovanni ha 15 matite e vuole darne lo stesso numero ad ogni amico. Quante matite prenderà ogni
bambino?
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione
Ma se Giovanni ha 17 matite e sempre 5 amici, cosa succede?
È possibile in questo caso eseguire la divisione?
Si, se accettiamo la presenza di qualcosa che rimane fuori . Giovanni darà ad ogni amico 3 matite,
ma ne avanzeranno 2.
Possiamo perciò scrivere:
17
=
5
×
3
+
2
↓
↓
↓
↓
dividendo
divisore
quoziente
resto
LE PRIME DIVISIONI
Fino a che il dividendo ha due cifre decimali e il divisore una, per cercare il risultato si può far
riferimento alle tabelline.

Es.: 72 : 8 = ?
Cerchiamo sulla riga dell’8 il numero 72.
Se c’è risaliamo la colonna e troviamo il quoziente.
E se il numero non c’è?

UNA PRIMA PROCEDURA (SOTTRAZIONE RIPETUTA)
Fabio vuole distribuire equamente 17 confetti rossi fra sé ed i suoi tre amici Roberto, Lucia e Serena.
Quanti confetti vanno a ciascuno? Ne rimangono dopo la distribuzione?

È stato possibile eseguire 4 sottrazioni ed è rimasto un solo confetto. Pertanto la divisione di 17 per 4
dà quoziente 4 e resto 1.
Vale a dire: 17 = 4 × 4 + 1
OPPURE...

Un modo equivalente di eseguire la procedura precedente consiste nel racchiudere dentro una linea
chiusa i confetti che man mano si sottraggono, ma lasciandoli all’interno del “contenitore grande”.

UNA SECONDA PROCEDURA: SFRUTTIAMO L’IDEA DI OPERAZIONE INVERSA
44 : 7 = ?
Utilizziamo le tabelline: qual è il multiplo di 7 immediatamente inferiore a 44?
Il numero cercato è 42 = 7 × 6.
Quindi: 44 = 7 × 6 + 2
ATTIVITÀ
A CACCIA DI NUMERI PRIMI

CRIVELLO DI ERATOSTENE

• Cancella i multipli di 2 (escluso 2)
• Cancella i multipli di 3 (escluso 3)
• Cancella i multipli di 5 (escluso 5)
• Cancella i multipli di 7 (escluso 7)
• ..........
I numeri restanti sono tutti i numeri primi inferiori a 100
NUMERI PERFETTI
Un numero si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori escluso il numero stesso.
↓
Nessun numero primo può essere perfetto
↓
Si possono cercare i numeri perfetti facendo costruire una tabella in cui compaiono i numeri che non

sono primi

LE OPERAZIONI IN COLONNA
Le operazioni in colonna sono possibili grazie al fatto che il nostro sistema di numerazione è
posizionale.
Esse infatti si basano sulle possibilità di allineare le cifre in base al loro peso.
ADDIZIONE
Senza riporto
125 + 343 =

Con riporto
168 + 354 =

In forma polinomiale:
(1 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 8 ∙ 100 ) + (3 ∙ 102 + 5 ∙ 101 + 4 ∙ 100 )=
=(1 + 3) ∙ 102 + (6 + 5) ∙ 101 + (8 + 4) ∙ 100 = 4 ∙ 102 + 11 ∙ 101 + 12 ∙ 100 =
=4 ∙ 102 + 10 ∙ 101 + 1 ∙ 101 + 10 ∙ 100 + 2 ∙ 100 = 5 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 2 ∙ 100
SOTTRAZIONE CON RIPORTO

MOLTIPLICAZIONE
Ad una cifra
34 × 7 = 30 + 4 × 7 =
= 210 + 28 = 238

A due cifre
34 × 27 = 34 × (20 + 7) =
= 34 × 20 + 34 × 7 = 680 + 238 = 918

IL METODO A GELOSIA PER LA MOLTIPLICAZIONE

135 × 47
(attenzione a disposizione
numero, verso l'alto)

Confrontiamo con la normale procedura

LA MOLTIPLICAZIONE CINESE
23 × 12

1.432 × 5.312 = 7.606.784

DIVISIONE
1241 : 7 ?
Iniziamo con le centinaia:
12c. = 7 × 1c. + 5c.
Ora le decine:
54d. = 7 × 7d. + 5d.
Ora le unità:
51u. = 7 × 7u. + 2u.

1241 = 7 × 177 + 2
Analogamente si procede con due cifre.
OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO AL TERMINE DELLA CLASSE TERZA DELLA SCUOLA
PRIMARIA
Numeri
– Contare oggetti o eventi, a voce e mentalmente, in senso progressivo e regressivo e per salti di due,
tre, ...
– Leggere e scrivere i numeri naturali in notazione decimale, avendo consapevolezza della notazione
posizionale; confrontarli e ordinarli, anche rappresentandoli sulla retta.
– Eseguire mentalmente semplici operazioni con i numeri naturali e verbalizzare le procedure di
calcolo.
– Conoscere con sicurezza le tabelline della moltiplicazione dei numeri fino a 10. Eseguire le
operazioni con i numeri naturali con gli algoritmi scritti usuali.
– Leggere, scrivere, confrontare numeri decimali rappresentarli sulla retta ed eseguire semplici
addizioni e sottrazioni, anche con riferimento alle monete o ai risultati di semplici misure.
IN CLASSE SECONDA
• Leggere e scrivere correttamente i numeri fino a cento.
• Ordinare in senso progressivo e regressivo i numeri fino a cento.
• Applicare l’addizione e la sottrazione a situazioni problematiche e saperle eseguire sul piano
simbolico.
• Riconoscere la proprietà commutativa dell’addizione.
• Riconoscere il valore posizionale delle cifre nei numeri entro il cento.
• Eseguire addizioni e sottrazioni in colonna entro il cento con e senza cambio.
• Comprendere il significato della moltiplicazione e risolvere problemi con essa.
• Conoscere con sicurezza le tabelline della moltiplicazione dei numeri fino a 10 .
• Eseguire la moltiplicazione in colonna.
• Riconoscere la proprietà commutativa della moltiplicazione.
• Eseguire la divisione sul piano simbolico con l’aiuto di rappresentazioni grafiche.
• Distinguere il valore posizionale delle cifre fino alle centinaia.
• Stabilire multipli di numeri.
• Calcolare il doppio, la metà, la terza parte.
IN CLASSE TERZA
1) PROBLEMI.
• Cogliere le informazioni relative al problema e individuare i dati utili ed inutili, mancanti o
contraddittori.

• Saper risolvere problemi usando tecniche e strategie adeguate con una o due domande, con una o
due operazioni.
• Saper risolvere problemi sulla compravendita (Spesa, Ricavo, Guadagno, Perdita – Costo Unitario
e Costo Totale).
IN CLASSE TERZA
2) CALCOLO ORALE E SCRITTO.
• Saper leggere e scrivere i numeri naturali, comprendendone la struttura ordinata, il valore
posizionale delle cifre, il significato e l’uso dello zero entro il 1000.
• Contare, leggere e scrivere correttamente i numeri di tre cifre.
• Comporre e scomporre i numeri di tre cifre.
• Ordinare i numeri di tre cifre dal minore al maggiore e viceversa.
• Saper eseguire l’addizione scritta di due o più numeri interi entro il 1000 con o senza cambi.
• Conoscere e saper applicare le proprietà dall’addizione.
• Saper eseguire la sottrazione scritta di due numeri interi entro il 1000 con o senza cambi.
• Saper eseguire la moltiplicazione scritta di due numeri interi di cui il moltiplicando di due o tre
cifre e il moltiplicatore di una o due cifre, con o senza cambio.
• Conoscere e saper applicare le proprietà della moltiplicazione.
• Saper eseguire la divisione scritta di due numeri interi di cui il dividendo di due o tre cifre e il
divisore di una cifra.
• Saper moltiplicare e dividere per 10, 100, 1000.
• Calcolare oralmente cercando strategie di calcolo, anche applicando le proprietà delle quattro
operazioni.
ESERCIZI
1) Rispondere alle domande contenute nelle slide
2) Stabilire con il metodo che si ritiene più opportuno se 241 è un numero primo o composto.
3) In matematica sono numeri amici due numeri per cui la somma dei divisori di uno (escluso il
numero stesso) è uguale all'altro e viceversa. Verificare che 220 e 284 sono numeri amici.
4) Calcolare mentalmente, applicando le leggi dell’aritmetica:
- 25 × 17
- 4 × 27 × 5
- 12 × 42 − 30 × 12
5)
Eseguire le seguenti moltiplicazioni utilizzando il metodo della gelosia e della moltiplicazione
cinese:
- 234 × 45;
1027 × 34;
303 × 174
6) Costruire un testo di un problema che porti all’operazione 26 : 7 e ideare una rappresentazione per
risolverlo

CORREZIONE ESERCIZI
Trasformare 22110 in base 5 e in base
Trasformare 2346 in base 4 (passare attraverso base 10)
Eseguire in colonna la seguente operazione: 3426 + 3256 e verificare la correttezza del calcolo
riportandolo in base 10.

Costruire le tabelle della moltiplicazione e della divisione in base 3 e in base 7

Stabilire con il metodo che si ritiene più opportuno se 241 è un numero primo o composto.
- Il quadrato immediatamente seguente 241 è 256, che è il quadrato di 16 . Perciò se 241 è composto,
deve avere come fattore un numero primo p ≤ 16. Utilizzando i criteri di divisibilità si riconosce che
241 non è divisibile ne per 2, ne per 3, ne per 5; con semplici calcoli si verifica che neanche 7, 11, 13
sono divisori di 241. Quindi 241 è primo.
2) In matematica sono numeri amici due numeri per cui la somma dei divisori di uno (escluso il
numero stesso) è uguale all'altro e viceversa. Verificare che 220 e 284 sono numeri amici.
Scomponiamo 220 e 284 in fattori:
220 = 2 2 × 5 × 11 ; 284 = 2 2 × 71
Da qui deduciamo i divisori di 220 (insieme A) e 284 (insieme B):
A = {1,2,4,5,10, 11, 20, 22, 44 , 55, 110, 220} B = {1, 2,4,71,142,284}
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
3) Calcolare mentalmente, applicando le leggi dell’aritmetica:
- 25 × 17
- 4 × 27 × 5
- 12 × 42 − 30 × 12
Ipotesi di soluzione ( il calcolo mentale può essere fatto in molti modi)
25 × 17 = 25 × (10 + 2 + 5) = 25 × 10 + 25 × 2 + 25 × 5 = 250 + 50 + 125 = 300 + 125 = 425
↓
↓
↓
propr. associativa
propr. distributiva
propr. associativa

4 × 27 × 5 = 4 × 5 × 27 = 20 × 27 = 540
↓
↓
propr. commutativa
propr. associativa
12 × 42 − 30 × 12 = 12 × 42 − 12 × 30 = 12 × (42 − 30) = 12 × 12 = 144
↓
↓
propr. commutativa propr. distributiva
Eseguire le seguenti moltiplicazioni utilizzando il metodo della gelosia e della moltiplicazione
cinese:
- 234 × 45; 1027 × 34; 303 × 174
Faccio un esempio per ogni tipo di metodo:
Gelosia

Moltiplicazione cinese

OSSERVARE
Le azioni del fare matematica
Osservare
• Dalla spontanea formazione dei concetti nella mente del bambino fino alla concezione delle idee
più astratte, l’origine dell’apprendimento matematico è rintracciabile nell’esperienza
dell’osservazione della realtà almeno tanto quanto quello delle altre scienze della natura.
↓
• L’azione dell’osservare va privilegiata e coltivata anche ai fine dell’educazione scientifica in
generale e dell’apprendimento della matematica in particolare.
Osservare non È solo vedere
• L’azione dell’osservare richiede la compresenza di tre fattori: oggetto, soggetto e intenzionalità del
soggetto.
• La capacità di osservare consiste nel saper scegliere quali sono le informazioni che interessano:
essa dunque deriva da uno scopo
• che determina il punto di vista con cui si guarda qualcosa; osservare è un procedimento inscindibile
di analisi e sintesi.
Osservare: l’Analisi
• cogliere le differenze, le diversità, le contraddizioni
• vedere le analogie, le regolarità, le uguaglianze, le somiglianze, le invarianze
• riconoscere oggetti uguali in contesti diversi
• riconoscere lo stesso oggetto in diverse funzioni
Osservare: La sintesi
• Raccogliere informazioni non è sufficiente a produrre comprensione: per saper osservare è
necessario riconoscere nella realtà i nessi che la rendono significativa, è necessaria la scelta di un
punto di vista sintetico.
• Tale scelta permette di precisare l’analisi, di migliorare l’osservazione; ciò fa guadagnare un nuovo
livello di sintesi
Osservare in matematica
• Per fare matematica è necessaria una profonda capacità di osservazione: i concetti matematici
nascono dalla necessità di razionalizzare esperienze della vita comune, di trovare strategie per
affrontare problemi della pratica abituale.
• L’osservazione delle regolarità e delle invarianze è la condizione per intuire proprietà generali.
• La risoluzione di problemi richiede capacità di osservazione, sia nell’aspetto dell’analisi che in
quello della sintesi:
- analizzare il testo per identificare dati, ipotesi...
- individuare l’obiettivo da raggiungere, la risposta da dare.
• La chiarificazione dell’obiettivo illumina le ipotesi e permette di sviluppare un percorso di
soluzione.
Osservare: educare con il gioco
La capacità di osservazione può essere educata. I bambini osservano spontaneamente: tale attività va
stimolata e valorizzata.
Uno strumento utile può essere il gioco:
• Gare di osservazione
• Aguzziamo la vista
• Che cosa manca
• Scopri le differenze
• Fotografie da diversi punti di vista

• ..........
N.B. Il tempo dedicato ad educare l’osservazione è tempo guadagnato per tutte le discipline!!!
ESEMPI
Completa, osserva e pensa
• 3+0=
• 2+1=
• 1+2=
• 0+3=
• 4+0=
• 3+1=
• 2+2=
• 1+3=
• 0+4=
• 5+0=
• 1+4=
• .......

Qual è la differenza tra 9 e 4?
E la differenza tra 7 e 2?

Che relazione c’è tra le due configurazioni?
DESCRIVERE
Le azioni del fare matematica
DESCRIVERE
• La descrizione è la presa d’atto dell’esperienza dell’osservare; perciò anche tale attività dipende dal
punto di vista
• Anche la scelta del mezzo descrittivo dipende dallo scopo
• Una descrizione è sempre in qualche misura una schematizzazione della realtà e quindi anche una
sua interpretazione
DESCRIVERE
È lo scopo a determinare il grado di adeguatezza di una descrizione e la modalità espressiva
Esempi:
• Per dare le indicazioni di una località possiamo fare uno schizzo o una piantina.
• Per descrivere la scena di un incidente il verbale deve contenere tipi di informazione ben
determinati.

• Una foto o un quadro sono metodi adeguati per descrivere un panorama.
• ....
Una descrizione scientifica:
• riguarda oggetti sottoposti a indagini di tipo scientifico
• sceglie forme e strumenti espressivi in cui prevale la funzionalità allo scopo, rispetto all’aspetto
estetico
• mira a comunicare il proprio contenuto in modo intersoggettivo e senza ambiguità
• In matematica la descrizione assume spesso la forma di rappresentazione
DESCRIZIONE COME RAPPRESENTAZIONE
• La descrizione-rappresentazione riveste anche un altro ruolo, oltre a quello di comunicazione di
una esperienza
• La rappresentazione è una funzione del pensiero, quando esso trasferisce i dati della realtà in forme
e linguaggi diversi da quelli con cui si presentano, a scopo operatorio, per poter eseguire sulle
rappresentazioni stesse quelle manipolazioni che consentono di comprendere nuovi aspetti del reale.
Esempi:
• la rappresentazione della moltiplicazione come schieramenti
• la rappresentazione delle frazioni
• l’uso della rappresentazione nei problemi
• .......
DESCRIZIONE → MATEMATIZZAZIONE
In matematica questo processo viene denominato MATEMATIZZAZIONE di un contesto, che si
tratti del più semplice problemino di scuola elementare, fino alle più complesse equazioni in fisica.
• Si costruisce uno schema che deve contenere le informazioni necessarie a fare certe operazioni o
deduzioni su esso.
• Poi si opera su tale rappresentazione, staccandosi dal suo riferimento reale, e seguendo le leggi
proprie dei concetti e dei simboli implicati nel modello stesso.
• Le conclusioni a cui si perviene devono però essere reinterpretate nella situazione reale da cui si è
partiti.
La descrizione a scuola
• Il mezzo descrittivo primario è la lingua, parlata o scritta
• Le rappresentazioni grafiche sono altrettanto importanti delle descrizioni verbali
• Costruire identikit di persone è esercizio utile, anche in forma di gioco
• Esercizio importante è lavorare sulle decodifica di descrizioni fatte da altri; esempio:
- le istruzioni di un gioco
- le istruzioni di una scatola di montaggio
- le istruzioni di una ricetta di cucina
Mettiamole insieme: cosa vedi?

DEFINIRE
Le azioni del fare matematica
DEFINIRE
• Dice Hans Freudenthal: “Bisogna insegnare non le parole, ma a parlare, non le definizioni, ma
a definire”.
• La questione delle definizioni è una spia del problema più ampio del linguaggio nell’insegnamento
scientifico.
• In quanto le parole scaturiscono da una storia, il linguaggio non è un semplice strumento in
dotazione alle persone, ma tocca e richiama il livello dell’esperienza.
• Occorre allora indagare la forte connessione esistente fra l’uso delle parole che caratterizza il
linguaggio comune e le parole che formano i linguaggi specifici.
• Il procedimento della definizione sta alla base della possibilità di dare i nomi alle cose, azione
costitutiva della capacità di astrazione, della formazione dei concetti.
• I termini del discorso si caratterizzano per estensione (l’insieme degli oggetti a cui si riferisce) e
intensione (il suo significato, il concetto che denomina).
• Es. Il termine parallelogrammo ha maggiore intensione e minore estensione del termine
quadrilatero.
• In ambito scientifico si tende ad assumere un termine per designare un concetto solo dal punto di
vista dell’estensione.
IL LINGUAGGIO SCIENTIFICO
• Un linguaggio scientifico si costituisce quando viene operata una selezione di ambito di esperienza,
e per descrivere quella si producono gli strumenti espressivi necessari.
• Infatti la realtà che la disciplina indaga influisce sullo strumento espressivo, piega, forma e
arricchisce la lingua perché rifletta adeguatamente la struttura di ciò che vuole comunicare
• Il linguaggio comune fornisce parole e discorsi al linguaggio scientifico, che non è però un
sottoinsieme impoverito di esso; anzi l’intreccio tra i due livelli di espressione è molto complesso
• Mettere a fuoco analogie e differenze tra la lingua del discorso comune e la lingua del “parlare” in
matematica aiuta a focalizzare l’azione del definire
La definizione in matematica
Definire vuol dire trovare una descrizione sintetica dell’oggetto che esaminiamo, a partire dalla quale
possiamo essere certi di intenderci quando parliamo.
Dovendo ricorrere ad altre parole, devono esistere dei termini il cui significato si suppone evidente,
cioè termini primitivi.
Mentre in una lingua non si sente la necessità di dichiarare esplicitamente quali essi siano, nel
linguaggio scientifico, e in particolare matematico, tale operazione è assolutamente necessaria.
DEFINIRE
• Spesso la definizione matematica, oltre che una descrizione, è una abbreviazione (es. segmento,
triangolo): ha la funzione di poter sostituire ad un’intera frase un unico termine, senza rischio di
equivoci.
Es: il segmento è una parte di retta delimitata da due punti, detti estremi.
• Questo uso rende scarno il linguaggio matematico, il che è un vantaggio, ma presuppone nella sua
lettura una buona capacità interpretativa.
• La definizione matematica può anche avere carattere operativo: essa cioè sintetizza in un singolo
termine le operazioni, concrete o mentali, eseguite per arrivare ad un certo concetto. In questo senso
la definizione può essere considerata la descrizione di un procedimento.
(Es.: addizione, sottrazione, valore assoluto...).
DEFINIRE A SCUOLA
• Nella didattica è particolarmente importante arrivare con i ragazzi a formulare definizioni, non

partire dalla loro enunciazione.
• La definizione infatti deve essere la sintesi di un processo di comprensione, non ne può essere
l’origine.
• Essa può essere conseguita alla fine di un percorso operativo, che parte da una osservazione o da
una domanda, procede con altre osservazioni o deduzioni, giunge a formulare una risposta, che può
essere sintetizzata in un termine nuovo.
• Durante questo percorso è possibile utilizzare un linguaggio approssimato, per favorire la
comprensione, ma da quando si conquista la formulazione corretta della definizione è giusto
pretenderne la ripetizione in termini rigorosi.
DEFINIRE
• Insegnare a “parlare” in matematica significa insegnare a utilizzare un adeguato apparato
linguistico ed espressivo per comunicare le proprie conquiste intellettuali.
• Al linguaggio scientifico occorre arrivare per approssimazioni successive e non va mai dato per
scontato; d’altra parte l’acquisizione graduale di un linguaggio disciplinare è un obiettivo
permanente nella programmazione.
N.B. È necessario avere particolare attenzione a quanto le difficoltà di natura linguistica influiscano
sull’apprendimento, generando ostacoli alla comprensione dei concetti.
• Lavorare sulla lingua è perciò uno degli interessi più importanti che accomuna l’educazione
scientifica a ogni altro ambito disciplinare

I NUMERI INTERI
Z
NUMERI INTERI
I numeri interi sono quelli che vengono chiamati ‘numeri con il segno’.
Essi costituiscono un ampliamento dei numeri naturali e, impropriamente, si può dire che si
ottengono da essi premettendo al numero il segno + o il segno -.
La loro rappresentazione sulla linea dei numeri ne chiarisce il significato:
La novità fondamentale è la possibilità di definire l’opposto di un numero:
per ogni a ∈ Z − {0}, si dice opposto di a il numero che si ottiene da a cambiandone il segno;
l’opposto di 0 è 0.
Es.: l’opposto di +3 è -3; l’opposto di -7 è +7; cioè – (−7) = +7
I NUMERI INTERI: la somma
• Che vuol dire a + b ?
-Se b è positivo si sommano ad a tante unità quante sono quelle contenute in b
-Se b è negativo si sottraggono ad a tante unità quante sono quelle contenute in b
Es.1: (+4)+(+3)

Es.2: (+2)+(-5)

• Che vuol dire a − b ?
Sommare ad a l’opposto di b :
a − b = a + (−b)
In Z quindi:
Addizione

Sottrazione

Somma algebrica
NUMERI INTERI: la somma
Proprietà:
► È una operazione interna:
∀a, b ∈ Z, a + b ∈ Z
► Vale la proprietà associativa:
∀a, b, c ∈ Z, (a + b) + c = a + (b + c)
► Vale la proprietà commutativa:
∀a, b ∈ Z,

a + b = b + a

► Neutralità dello 0:
∀a ∈ Z,

a + 0 = 0 + a = a

► Esistenza dell’opposto:
∀a ∈ Z ∃a′ ∈ Z tale che a + a′ = 0
NUMERI INTERI: la moltiplicazione
La regola dei segni è a tutti nota:
a) (+) ∙ (+) = (+)
b) (+) ∙ (−) = (−)
c) (−) ∙ (+) = (−)
d) (−) ∙ (−) = (+ )
Se ne può dare una giustificazione intuitiva?
Tralasciamo a) ed esaminiamo c)
Cosa vuol dire (−3) ∙ (+2)? Sommare (-3) due volte: (-3) + (-3) = -6
Analogamente per b), invocando la proprietà commutativa.
Ora esaminiamo d):
(−3) ∙ (−2) = − (+3) ∙ (−2) = − (−6) = +6
Alcuni nota bene:
1) Le proprietà della moltiplicazione sono le stesse che nei numeri naturali, compresa la proprietà
distributiva rispetto alla somma algebrica
2) Per la divisione, ove questa è possibile, vale la regola dei segni della moltiplicazione
3) Per alleggerire il simbolismo, nella scrittura dei numeri positivi si può omettere il segno +; quindi,
in Z, 3 e (+3) hanno lo stesso significato.
4) È possibile definire il concetto di valore assoluto di un numero intero:
Il valore assoluto di un numero è uguale:
• al numero stesso se esso è positivo o nullo;
• all’opposto del numero se esso è negativo.
Es.: |3| = 3; |−5| = 5
NUMERI INTERI: ordinamento
Abbiamo visto che gli interi, come i naturali, si possono disporre su una retta; utilizzando tale
rappresentazione possiamo riconoscere che anche in Z è valida la legge di tricotomia:
comunque presi due numeri interi a e b, può accadere una e soltanto una delle tre possibilità:
a < b oppure a = b oppure a > b
Si può notare che:
- Lo 0 è minore di ogni numero positivo e maggiore di ogni numero negativo
- Ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo
- Tra due numeri positivi è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore
- Tra due numeri negativi è maggiore quello che ha valore assoluto minore
NUMERI INTERI: conquista
Nell’insieme dei numeri interi si può risolvere qualunque equazione del tipo:
x+a=b
I NUMERI INTERI NELLA SCUOLA PRIMARIA
Dalle indicazioni nazionali:
- Interpretare i numeri interi negativi in contesti concreti.
CONTESTI CONCRETI
Si può iniziare con un gioco a quiz (sulle tabelline, sulle frazioni, le equivalenze, o anche non
matematico): si da un punto per ogni risposta esatta, si toglie un punto per ogni risposta sbagliata.

Ovviamente si parte da zero; se uno sbaglia la prima risposta che punteggio ha?
Nella linea dei numeri bisogna aggiungere qualcosa prima dello zero.
Poiché i bambini sono familiari con il fatto che aggiungere vuol dire andare verso destra, togliere
vuol dire andare verso sinistra si può, senza grandi difficoltà, arrivare all’idea di : -1, -2, -3,...
CONTESTI CONCRETI
• Le temperature (con rappresentazione della scala)
Es.: Se ora sono a 5 gradi e la temperatura scende di 7 gradi, a quale temperatura si arriva?
• Guadagni e perdite, debiti e crediti
Es. Ho 20 euro ma devo restituire a mio fratello 25 euro. Sono in attivo o in passivo? Di quanto?
• Nella storia: avanti cristo e dopo Cristo
Es.: Se il piccolo Rufus aveva 10 anni nel 7 d.C., in quale anno è nato?
• ...........
I numeri interi nella scuola primaria
Non si devono assolutamente formalizzare le operazioni, ma bisogna far fare ai bambini esperienza
in situazioni reali in cui:
• c’è un ambiente numerico in cui si può sottrarre un numero più grande da un numero più piccolo
• aggiungere un numero positivo vuol dire andare avanti sulla linea dei numeri
• aggiungere un numero negativo vuol dire andare indietro sulla linea dei numeri
Inoltre è opportuno (senza formalizzare) riflettere sull’ordinamento dei nuovi numeri:
è più freddo se siamo a -3 o a -5?
I NUMERI RAZIONALI
Q
I NUMERI RAZIONALI
Una frazione è una coppia ordinata di numeri interi di cui il primo è il numeratore e il secondo il
denominatore, con la condizione che questo secondo numero non può essere 0; si esprime con il
simbolo a . La linea tra a e b viene chiamata linea di frazione
b
Il simbolo della frazione viene usato a scuola in contesti diversi con significati diversi, ovviamente
collegati fra loro:
- come parte dell’unità
- come quoziente tra due numeri
- come operatore
Sotto tutti questi usi si nasconde un unico concetto matematico, un nuovo tipo di numeri che amplia
l’insieme dei numeri interi: il numero razionale
I NUMERI RAZIONALI
Essendo la frazione un quoziente tra due numeri interi è possibile applicare la proprietà invariantiva:
a ‗ a∙c ‗ a:c
(c ≠ 0)
b b∙c
b:c
Ciò porta al concetto di frazioni equivalenti:
se il numeratore ed il denominatore di una frazione sono moltiplicati per uno stesso numero
diverso da 0 si ottiene una nuova frazione equivalente a quella data; così pure se si dividono il
numeratore ed il denominatore per un loro divisore comune
Es .: 3 ‗ 6 ‗ 30 ‗ 18 ‗ …
4
8
40 24

Data una frazione, esistono infinite frazioni ad essa equivalenti ma tutte esprimono lo stesso numero
razionale.
Alcune precisazioni
• Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se il numeratore e il denominatore sono primi tra
loro, cioè non hanno divisori comuni.
• Ogni numero razionale può essere espresso da infinite frazioni equivalenti, ma ogni frazione
rappresenta un unico numero razionale.
• Poiché un numero razionale può essere espresso in infiniti modi, verrà utilizzato il modo più
opportuno al contesto o allo scopo.
I NUMERI RAZIONALI: la somma
Definizione: a + c ‗ a ∙ d + b ∙ c
b d
b∙d
Infatti possiamo sommare due frazioni solo se hanno lo stesso denominatore; quindi:
1) Utilizzando la proprietà invariantiva portiamo le frazioni ad avere lo stesso denominatore:
a ‗ a∙d ; c ‗ c∙b
b
b∙d
d
d∙b
2) Ora possiamo sommare:
a + c ‗ a∙d + c∙b ‗ a∙d+b∙c
b d
b∙d d∙b
b∙d
N.B.: Invece di usare il prodotto dei denominatore è preferibile utilizzare il minimo comune multiplo
dei denominatori.
I NUMERI RAZIONALI: la somma
Proprietà:
► È una operazione interna:
∀a, b ∈ Q, a + b ∈ Q
► Vale la proprietà associativa:
∀a, b, c ∈ Q,

(a + b) + c = a + (b + c)

► Vale la proprietà commutativa:
∀a, b ∈ Q,

a + b = b + a

► Neutralità dello 0:
∀a ∈ Q,

a + 0 = 0 + a = a

► Esistenza dell’opposto:
∀a ∈ Q ∃a′ ∈ Q tale che a + a′ = 0
I NUMERI RAZIONALI: il prodotto
Definizione: a . c ‗ a ∙ c
b d
b∙d
Conseguenza: a . b ‗ a ∙ b ‗ 1 → concetto di reciproco
b a
a∙b
Il reciproco (o l’inverso) di un numero razionale a è il numero razionale b
b
a

Definizione: a : c ‗ a . c
b

d

b

d

Moltiplicazione

Divisione
Prodotto

I NUMERI RAZIONALI: il prodotto
► È una operazione interna:
∀a, b ∈ Q, a ∙ b ∈ Q
► Vale la proprietà associativa:
∀a, b, c ∈ Q, (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
► Vale la proprietà commutativa:
∀a, b ∈ Q,

a ∙ b = b ∙ a

► Neutralità dell’1:
∀a ∈ Q,

a ∙ 1 = 1 ∙ a = a

► Esistenza dell’inverso:
∀a ∈ Q e a ≠ 0 ∃a′ ∈ Q tale che a ∙ a′ = 1
Nei razionali non ha più senso introdurre i concetti di multiplo e di divisore. Perché?
I NUMERI RAZIONALI
Continua a valere inoltre la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma
∀a, b, c ∈ Q
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
I NUMERI RAZIONALI: l’ordinamento
• Date due frazioni aventi lo stesso denominatore, è maggiore quella che ha il numeratore maggiore.
• Date due frazioni aventi lo stesso numeratore, è maggiore quella che ha il denominatore minore
↓
Per confrontare due frazioni è opportuno ricondurle allo stesso denominatore.
Es.: 3 , 11 → 3 ∙ 7 ‗ 21 ; 11 ∙ 2 ‗ 22 → 3 < 11
4 14
4 ∙ 7 28 14 ∙ 2 28
4 14
Regola pratica: per velocizzare il procedimento si può fare il prodotto in croce:
3 , 11 → 3 ∙ 14 < 11 ∙ 4 → 3 < 11
4 14
4 14
N.B.: Se i razionali sono negativi, vale quanto esposto negli interi: è maggiore quello che ha valore
assoluto minore
I NUMERI RAZIONALI: l’ordinamento
Poiché l’operazione di confronto prima illustrata è sempre possibile, anche in Q è valida la legge di
tricotomia:
comunque presi due numeri razionali a e b, può accadere una e soltanto una delle tre
possibilità:
a < b oppure a = b oppure a > b

Anche in questo caso, perciò, possiamo rappresentare i numeri razionali su una retta
Una riflessione
• Con l’introduzione dei razionali cosa si guadagna?
Le operazioni di somma e prodotto sono complete: sono operazioni interne e godono di tutte le
proprietà; si può risolvere quindi qualunque equazione del tipo:
a ∙ x + b = c (a ≠ 0)
• Cosa si perde?
Non esiste più il successivo di un numero: tra due numeri razionali c’è sempre almeno un altro
razionale (di fatto ce ne sono infiniti)
I NUMERI RAZIONALI NELLA SCUOLA PRIMARIA
Dalle indicazioni nazionali:
- Operare con le frazioni e riconoscere frazioni equivalenti.
- Utilizzare numeri decimali, frazioni e percentuali per descrivere situazioni quotidiane.
Una precisazione
Nella scuola primaria si considerano solo i numeri razionali positivi, o meglio, i razionali assoluti,
denominati con Qa .
Quindi, in tale ambiente non è sempre possibile la sottrazione, mentre è sempre possibile la
divisione.
Essi inoltre, come scrittura, si presentano
- sotto forma di frazione
- sotto forma di numero decimale
- sotto forma di percentuale
LE FRAZIONI
Due prerequisiti da controllare:
- Concetto di intero e non intero
(es. La tua merendina è intera? La cancellina che stai usando è intera?)
- Concetto di frazionare in parti uguali
fare molti esercizi concreti sulla differenza tra dividere a caso (es. un piatto che si rompe) e dividere
in parti uguali.
N.B.: Parti uguali: può essere ambiguo. Cosa deve essere uguale?
LE FRAZIONI: come parte dell’unità
Primi passi:
a) Far dividere a metà: di quante parti è fatta la figura?
le parti sono due →ogni parte si chiama 1
2
b) Far dividere le metà a metà
le parti sono quattro →ogni parte si chiama 1
4
..............
LE FRAZIONI: come parte dell’unità
Occorre fare numerose esperienze concrete frazionando figure, quantità di oggetti come matite,

fogli..., per arrivare al concetto di unità frazionaria, cioè una sola di quelle parti in cui è stato diviso
l’intero.
Dall’unità frazionaria si arriva al significato della frazione.
Cosa significa «Ho preso 3 della torta»? Ho diviso la torta in 5 parti e ne ho prese 3
5
In generale cosa vuol dire a ? b denomina in quante parti è diviso l’intero (denominatore), a indica
b
il numero delle parti da prendere (numeratore)
A questo punto è utile porre una domanda:
cosa vuol dire 6 ?
5
Ha senso dire «Ho preso 6 di torta»?
5
Guidando la discussione si può arrivare a riconoscere che, perché la frase abbia senso, sono
necessarie due torte.
Allora ha un significato anche «Ho preso 5 di torta»
5
Attraverso un processo di osservazione e di descrizione, si può arrivare a dare nomi nuovi a certe
situazioni che si ripetono, si può arrivare insieme, cioè, alla definizione di frazione propria,
impropria e apparente
LE FRAZIONI
Frazione propria: il numeratore è minore del denominatore.
Frazione impropria: il numeratore è maggiore del denominatore ma non è multiplo di esso.
(La denominazione è dovuta al fatto che ognuna di esse è maggiore dell’unità frazionata in parti
uguali).
Frazione apparente: il numeratore è multiplo del denominatore
(Questo perché apparentemente si tratta di frazioni. Esse sono in realtà equivalenti ai numeri interi
che si ottengono dividendo il numeratore per il denominatore).
Un interessante collegamento (ad uso dei docenti)
Una frazione impropria ‘contiene’ almeno un intero.
Es.: 7 ‗ 1 + 1 ; 15 ‗ 3 + 3
6
6
4
4
Ritroviamo, in altra forma, la divisione con il resto!
Infatti: 7 = 6 × 1 + 1
Dividiamo ambo i membri per 6 (grazie ad una proprietà delle uguaglianze)
7‗ 6×1+1
6
6
e applichiamo la proprietà distributiva:
7‗6+1→7‗1+1
6 6 6
6
6
LE FRAZIONI
Un altro percorso del tipo osservare - descrivere - definire può essere fatto per arrivare alla
definizione di frazione complementare.
- In quante parti uguali è divisa la figura?
- Quale frazione rappresenta la parte colorata?
- Quale frazione rappresenta la parte bianca?
- Cosa noti?

Con numerose osservazioni e le relative descrizioni si può arrivare alla definizione:
Due frazioni si dicono complementari se sommate danno l’intero.
LE FRAZIONI
Ancora un possibile percorso per arrivare ad una definizione:

Osserviamo le due figure:
- Frazione colorata della prima: 3
4
- Frazione colorata della seconda: 6
8
Ma le parti colorate sono uguali!
6‗3×2‗3
8 4×2 4
(applicando la proprietà invariantiva della divisione)
Si può arrivare da qui alla definizione di frazioni equivalenti
Possiamo dire che
• Due frazioni si dicono equivalenti se, operando con esse su una stessa grandezza, si ottengono
grandezze tra loro congruenti.
E, osservando i numeri:
• moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero
(diverso da 0) si ottiene una frazione equivalente a quella data.
Ma possiamo anche osservare che 6 × 4 = 3 × 8 , cioè moltiplicando tra loro il numeratore della
prima con il denominatore della seconda e viceversa, otteniamo lo stesso risultato (e questo è bene
sia confermato da numerose osservazioni). Quindi, generalizzando:
• a è equivalente a c se a × d = b × c
b
d
FRAZIONI COME OPERATORI
Fino ad ora abbiamo applicato le frazioni a grandezze o oggetti; è possibile applicarle ai numeri?
Esaminiamo i passi:
1. Dato un intero lo dividiamo in tante parti quante ne denota il denominatore
2. Prendiamo poi tante parti quante ne indica il numeratore.
Riconoscere l’azione che compie una frazione vuol dire riconoscere la frazione come operatore.
Possiamo allora ripetere il procedimento su un numero:
calcoliamo i 5 di 32
8
1. 32: 8 = 4
2. 4 × 5 = 20 → (32 : 8) × 5 = 20
N.B.: soprattutto all’inizio è bene accompagnare ogni calcolo con una rappresentazione, magari
derivante dal testo di un problema.
È possibile a questo punto risolvere problemi del tipo:
«Nella scuola di Alessandro ci sono 180 alunni, di cui i 4 sono maschi. Qual è il numero dei maschi?
Quale quello delle femmine?»
9
«La mamma ha dato 2 di 55 euro a Giovanni per fare la spesa. Se Giovanni aveva già in tasca 19
5
euro, quanti soldi ha adesso?»

Ma se il problema è il seguente come si può procedere?
«Domani andranno in gita 315 bambini, cioè i 3 di tutti i bambini della scuola. Quanti sono i bambini
5
della scuola? Quanti bambini non andranno in gita domani?»
È necessaria una rappresentazione, anche schematizzata:
L’intero è diviso in 5 parti e la parte colorata rappresenta la frazione 3
Ma la parte colorata corrisponde anche al numero 315.
5
Come procedere per trovare l’intero?
Facciamo la divisione: 315 : 3 = 105
105 è il valore corrispondente alla unità frazionaria 1
5
L’intero perciò si ottiene moltiplicando per 5 il numero corrispondente all’unità frazionaria: 105 × 5
= 525
In sintesi: (315: 3) × 5 = 525
La parte non colorata è rappresentata dalla frazione complementare 2 ed il valore corrispondente si
ottiene o facendo 105 × 2 o con una sottrazione.
5
UNA ATTENZIONE
A volte, per facilitare i propri alunni si è tentati di fornire degli schemi riassuntivi del tipo:
«Per trovare una parte conoscendo l’intero si divide per il denominatore e si moltiplica per il
numeratore» .
«Per trovare l’intero conoscendo una parte si divide per il numeratore e si moltiplica per il
denominatore» .
Non è assolutamente opportuno, a meno che non sia una sintesi a cui arrivano gli alunni stessi.
Occorre comunque sempre evitare che si applichino schemi, senza che se ne sappiano dare chiare
ragioni. Oltretutto gli schemi privi di significato si dimenticano con estrema facilità!!!
ESERCIZI
1) Scrivere almeno dieci multipli per ognuno dei seguenti numeri: 18, 12, 15
Riesci ad individuare tra essi un multiplo comune a tutti? In caso negativo, aumenta il numero di
multipli fino ad ottenere il risultato richiesto.
2) Scrivere cinque frazioni equivalenti a 10
6
3) Ridurre ai minimi termini la frazione 330. Quanti interi sono contenuti in tale frazione?
45
4) Disporre in ordine crescente i seguenti numeri, fornendo adeguate motivazioni:
2, _ 2, - 2, 5, _ 7, 3, 5 , _ 1, 1, 4
3 5
6 3
2 4
3
5) Inserire almeno 4 numeri razionali (scritti in forma di frazione) tra 3 e 9
5 4
6) Inserire almeno 2 numeri razionali (scritti in forma di frazione) tra 1 e 1
5 4
7) Scrivere tutti i divisori dei numeri: 240, 75, 180
Qual è il divisore più grande comune a tutti e tre i numeri?
8) Scrivere un numero primo maggiore di 150
9) Scrivere una coppia di numeri, nessuno primo, ma primi tra loro.
10) Trovare due frazioni la cui somma(algebrica) sia _ 3
5
11) Trovare due frazioni il cui prodotto sia _ 8

15
12) Costruire una rappresentazione del seguente problema e corredarla con la sua risoluzione:
«Antonio va a scuola in bicicletta e a piedi; va in bicicletta fino all’ufficio del padre, poi lascia la bici
e prosegue a piedi. Se il tratto a piedi è lungo 300 m e quello in bici è i 3 del totale, quanta strada fa
Antonio in bicicletta?»
5
13) Portare esempi di equazioni risolvibili
a) solo nei razionali b) nei razionali e negli interi, ma non nei naturali c) anche nei naturali.
14) Cosa si può dire della risolubilità delle equazioni di secondo grado?

DALLE FRAZIONI AI NUMERI DECIMALI

FRAZIONE COME QUOZIENTE
Se riconosciamo la frazione come quoziente possiamo cercare il numero, con espansione decimale,
che corrisponde alla frazione data.
Calcoliamone alcuni.
a) 3 b) 20 c) 23 d) 7 e) 9
5
9
20
8
14
Cosa si può notare?
â–º Se il denominatore della frazione contiene come fattori solo 2 e/o 5 (o le loro potenze) il numero
corrispondente è decimale limitato.
3 ‗ 0,6; 23 ‗ 1,15; 7 ‗ 0,875
5
20
8
â–º Se il denominatore della frazione contiene almeno un fattore diverso da 2 e 5 il numero
corrispondente è decimale illimitato periodico.
20 ‗ 2,2; 17 ‗ 1,15; 9 ‗ 0,6428571
9
15
14
FRAZIONI DECIMALI
Tutte le frazioni del primo tipo possono essere ricondotte a frazioni con denominatore 10 o potenza
di 10:
3 ‗ 3 x 2 ‗ 6 ; 23 ‗ 23 x 5 ‗ 115; 7 ‗ 7 x 125 ‗ 875
5 5 x 2 10 20 20 x 5 100 8 8 x 125 1000
Le frazioni di questo tipo, che corrispondono quindi a numeri decimali limitati, sono chiamate
frazioni decimali
Dalla frazione decimale al numero
Per trasformare una frazione decimale in numero decimale si possono seguire due strade:
â–º Si esegue la divisione
► Applicando la proprietà invariantiva, si porta la frazione ad avere denominatore potenza di 10; il
numero decimale corrispondente è espresso dal numeratore, con la parte decimale composta da tante
cifre quanti sono gli zeri del denominatore
Es.: 3 ‗ 6 ‗ 0,6; 23 ‗ 115 ‗ 1,15; 7 ‗ 875 ‗ 0,875
5 10
20 100
8 1000
Dal numero decimale limitato alla frazione
Dato un numero decimale limitato la frazione corrispondente è tale che:
► Il numeratore corrisponde al numero stesso in cui è tolta la virgola;
► Il denominatore è costituito da un 1, seguito da tanti zeri quante sono le cifre della parte decimale
SCUOLA PRIMARIA
I numeri "con la virgola"
Reinvenzione guidata
Per guidare i bambini a reinventare i numeri decimali (con la virgola!) è necessario che il docente
faccia per primo lui il percorso, trovi per primo lui le ragioni della necessità di tali numeri
LA MIA PROPOSTA
Prerequisito
â–º Cosa accade al numero se moltiplichiamo per 10?
Facendo prove ed osservazioni si arriva a riconoscere che al numero si aggiunge uno 0 come ultima
cifra e quindi le cifre scorrono tutte di un posto verso sinistra

â–º Cosa accade al numero se moltiplichiamo per 100?
Facendo prove ed osservazioni si arriva a riconoscere che al numero si aggiungono due 0 come
ultime cifre e quindi le cifre scorrono tutte di due posti verso sinistra
â–º Cosa accade al numero se moltiplichiamo per 1000?
.........
â–º E se dividiamo per 10?
150: 10 = 15
1200: 10 = 120
Il numero perde uno zero e le altre cifre scorrono di un posto verso destra.
Ma se non ci sono zeri?
Approfondiamo il significato dell’operazione
DIVIDERE PER 10: torniamo alle frazioni
Prendiamo un bastoncino
e dividiamolo per 10, cioè in 10 parti
Se usiamo le frazioni ogni parte vale 1
10

DIVIDERE PER 10: alla ricerca del numero
1 : 10
possiamo scriverlo come numero?
Riflettiamo: se dividendo per 10 le cifre si spostano verso destra, dovremmo creare qualcosa a destra
della cifra dell’unità...
Mettiamo una virgola per separare e spostiamo
1 : 10 → 0,1
Nel numero 0,1 la cifra 1 rappresenta la decima parte dell’unità cioè è la cifra dei decimi
Generalizzando: 1 : 100 → 0,01 e così via...
CONSEGUENZE
â–º Corrispondenza tra numero decimale e frazione:
0,3 ‗ 3 ; 0,43 ‗ 4 + 3 ‗ 43 ; 133 ‗ 13,3 ; ...
10
10 100 100
10
â–º Notazione posizionale: es: 1214,543
1
2
1
4
5
4
3
migliaia centinaia decine unità decimi centesimi millesimi
â–º Moltiplicare per 10: spostare le cifre verso sinistra di un posto e quindi la virgola verso destra di
un posto
â–º Dividere per 10: spostare le cifre verso destra di un posto e quindi la virgola verso sinistra di un
posto
Alcune rappresentazioni
► L’abaco
â–º La linea dei numeri
Ordinamento e linea dei numeri
È importante fare esercizi di ordinamento: qual è il più grande tra due, o mettere in sequenza dal
maggiore al minore o viceversa; rinforza l’acquisizione del concetto di maggiore e aiuta il docente a

riconoscere eventuali punti critici.
Se un bambino scrive: 2,37 > 2,4 cosa non gli è chiaro?
Probabilmente il sistema posizionale in relazione alle cifre decimali.
Con la linea dei numeri riconoscere quale numero è maggiore o minore è più semplice.
Nota per il docente: la scrittura polinomiale
Ovviamente è possibile estendere la scrittura polinomiale anche ai numeri decimali.
Basta ricordare che:
1 ‗ 10 -1
10
Quindi:
1214,543 = 1 ∙ 10 3 + 2 ∙ 10 2 + 1 ∙ 10 1 + 4 ∙ 10 0 + 5 ∙ 10 −1 + 4 ∙ 10 −2 + 3 ∙ 10 −3
A caccia di numeri con la virgola!
A questo punto (o in contemporanea) vale la pena stimolare e/o valorizzare l’osservazione dei
bambini.
Dove troviamo i numeri decimali?
â–º Le monete
â–º I prezzi
â–º I pesi negli scontrini del supermercato
► Le etichette delle bottiglie dell’acqua minerale
â–º .......
Da qui nasce la necessità delle operazioni con i decimali.
ESERCIZI E GIOCHI
Materiale già strutturato può aiutare a fare delle sintesi, o a verificare gli apprendimenti; la forma del
gioco è sempre una ottima risorsa! Ma attenzione agli errori o alle ambiguità!!!
È sempre necessaria una valutazione critica di ciò che si usa.
Vediamo due esempi.
â–º GIOCO DELLE FRAZIONI
â–ºESERCIZIARIO RIASSUNTIVO (attenzione alle nuvolette!)
I NUMERI CON LA VIRGOLA E LE OPERAZIONI
Somma e differenza: addizione
►Per addizioni e sottrazione, grazie alla notazione posizionale, non c’è problema, basta che sia
uguale il numero di cifre dopo la virgola
216,8 + 135,4 =?
22,7 + 16,55 =?

Somma e differenza: sottrazione


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