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APPUNTI DI FISICA .pdf



Nome del file originale: APPUNTI DI FISICA.pdf
Titolo: Microsoft Word - APPUNTI DI FISICA.doc
Autore: NB

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Nicolò Beverini

Appunti di Fisica
per il

Corso di laurea in Informatica Applicata

Polo Universitario della Spezia “G. Marconi”

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

Indice
1. La misura delle grandezze fisiche................................................. 4
1.1

Le grandezze fisiche ...............................................................................................4

1.2

Il Sistema Internazionale di unità di misura. .......................................................5

1.3

Equazioni dimensionali ..........................................................................................7

1.4

Grandezze scalari e grandezze vettoriali ............................................................11

2. Vettori ed algebra vettoriale.......................................................... 12
2.1

Che cos’è un vettore .............................................................................................12

2.2

Le operazioni fondamentali .................................................................................13

2.3

Le componenti di un vettore. ...............................................................................14

2.4

Modulo di un vettore ............................................................................................15

2.5

Versori ...................................................................................................................15

2.6

Operazioni vettoriali in termini delle componenti .............................................16

3. Il moto nello spazio tridimensionale............................................. 18
3.1

La legge oraria del moto.......................................................................................18

3.2

La velocità .............................................................................................................19

3.3

L’accelerazione .....................................................................................................21

3.4

L’accelerazione centripeta. ..................................................................................22

4. I principi della dinamica............................................................... 24
4.1

Il principio d’inerzia.............................................................................................24

4.2

Il secondo principio della dinamica.....................................................................25

4.3

Il principio di azione e reazione...........................................................................26

4.4

Le unità di misura di massa e di forza. ...............................................................27

4.5

La massa e il peso .................................................................................................27

5. Alcuni esempi di forze e di moto................................................... 29
5.1

L’equazione del moto. ..........................................................................................29

5.2

Forze costanti e il moto uniformemente accelerato............................................29

5.3

Il moto di un grave ...............................................................................................32

5.4

Le forze vincolari: la forza normale....................................................................35

5.5

La tensione di una fune ........................................................................................37

5.6

La forza d’attrito statico. .....................................................................................38

5.7

La forza d’attrito dinamico..................................................................................40

5.8

Forze d’attrito viscoso ..........................................................................................40

Corso di laurea in Informatica Applicata – Polo Universitario “G. Marconi” della Spezia

1

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

6. L’energia ed il lavoro.................................................................... 42
6.1

L’energia cinetica. ................................................................................................42

6.2

Il lavoro di una forza costante. ............................................................................42

6.3

Il prodotto scalare di due vettori .........................................................................44

6.4

Il lavoro effettuato dalla forza peso.....................................................................44

6.5

Definizione generale di lavoro .............................................................................45

6.6

Forze elastiche e lavoro di una forza elastica. ....................................................46

6.7

Il teorema dell’energia cinetica ...........................................................................47

6.8

Applicazioni del teorema dell’energia cinetica...................................................48

6.9

La potenza.............................................................................................................50

7. L’energia potenziale e il principio di conservazione dell’energia 52
7.1

Le forze posizionali e i campi di forze. ................................................................52

7.2

Forze conservative e forze dissipative. ................................................................53

7.3

L’energia potenziale .............................................................................................54

7.4

Energia potenziale elastica...................................................................................56

7.5

Altri esempi di conservazione dell’energia. ........................................................57

7.6

Il bilancio energetico in presenza di forze dissipative........................................58

8. I problemi d’urto........................................................................... 59
8.1

L’urto tra due corpi..............................................................................................59

8.2

Urti anelastici. .......................................................................................................60

8.3

Urti elastici ............................................................................................................61

9. I corpi estesi.................................................................................. 64
9.1

Il centro di massa..................................................................................................64

9.2

Moto del centro di massa. ....................................................................................64

9.3

Energia potenziale di un corpo esteso soggetto alla forza peso. ........................66

9.4

La densità..............................................................................................................66

9.5

Il corpo rigido e il momento di una forza. ..........................................................67

9.6

La statica del corpo rigido ...................................................................................68

9.7

La statica di un corpo immerso in un liquido.....................................................70

10. La forza di gravitazione universale............................................. 72
10.1

Le forze fondamentali della natura. ..................................................................72

10.2

Il campo gravitazionale. .....................................................................................73

10.3

Il moto dei pianeti e le leggi di Keplero.............................................................74

10.4

L’energia potenziale gravitazionale ..................................................................75

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2

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

11. Il campo elettrostatico................................................................. 77
11.1

La legge di Coulomb...........................................................................................77

11.2

Il campo elettrico ................................................................................................78

11.3

Il principio di sovrapposizione...........................................................................78

11.4

Linee di forza e flusso del campo elettrico ........................................................79

11.5

Il teorema di Gauss.............................................................................................81

11.6

Corpi conduttori e corpi isolanti .......................................................................83

11.7

Campo generato da una sfera carica conduttrice.............................................84

12. Il potenziale elettrostatico e i condensatori................................. 86
12.1

Il potenziale elettrostatico ..................................................................................86

12.2

Potenziale elettrostatico di una carica puntiforme...........................................87

12.3

Potenziale di un conduttore ...............................................................................88

12.4

I condensatori .....................................................................................................88

12.5

Il condensatore piano .........................................................................................89

12.6

Energia immagazzinata in un condensatore.....................................................90

13. La corrente elettrica.................................................................... 92
13.1

Definizione di corrente .......................................................................................92

13.2

La resistenza elettrica.........................................................................................93

13.3

Circuiti elettrici...................................................................................................94

13.4

Circuiti in serie ed in parallelo ..........................................................................95

14. Il campo magnetico .................................................................... 98
14.1

La forza di Lorentz.............................................................................................98

14.2

Il prodotto vettoriale ..........................................................................................99

14.3

Moto di una carica in un campo magnetico uniforme ...................................100

14.4

La forza magnetica su un conduttore percorso da corrente..........................101

14.5

Generazione dei campi magnetici....................................................................102

14.6

Forza tra due conduttori paralleli percorsi da corrente:...............................103

14.7

Legge di Ampère...............................................................................................104

14.8

Campo magnetico in un solenoide ...................................................................106

15. L’elettromagnetismo ................................................................. 108
15.1

Il flusso del campo magnetico ..........................................................................108

15.2

Il flusso concatenato con una spira..................................................................109

15.3

L’induzione elettromagnetica ..........................................................................109

Corso di laurea in Informatica Applicata – Polo Universitario “G. Marconi” della Spezia

3

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

1. La misura delle
grandezze fisiche

1.1

Le grandezze fisiche

La fisica si propone di studiare i fenomeni naturali e di comprendere
le relazioni intercorrenti tra essi, costruendo un modello che correli tramite relazioni matematiche cause ed effetti. Per far questo è necessario quantificare i fenomeni in esame, definendo in primo luogo con precisione un insieme di grandezze le cui misure ne danno la descrizione. In particolare la
definizione di una grandezza fisica dovrà esplicitare il modo in cui può essere misurata in rapporto con una unità di misura; si dice perciò che la definizione deve essere operativa.
Ad esempio, la lunghezza e la larghezza di un tavolo possono essere
definite dalla loro misura rispetto ad un campione, uno strumento cioè che
è calibrato rispetto all’unità di misura scelta per le lunghezze (ad esempio,
un metro a nastro). Ovviamente, il risultato numerico dell’operazione dipende da quale sia l’unità di misura prescelta: oggi noi d’abitudine usiamo
un nastro tarato in metri e nelle sue frazioni decimali e misureremo, ad esempio, una lunghezza di 2,10 metri. Qualcun altro, che possieda un righello tarato in unità anglosassoni, vi dirà invece che quello stesso tavolo è
lungo 6 piedi e 7/8. L’informazione di quale sia l’unità utilizzata è perciò
indispensabile; essa deve sempre essere esplicitata.
Anziché per diretto confronto con un campione, la misura di una
grandezza può essere effettuata in maniera indiretta, partendo da una misura di grandezze di genere diverso ed utilizzando una relazione geometrica
o fisica che lega tali grandezze con quella che si vuole misurare. Consideriamo ad esempio la grandezza area. L’unità di misura delle aree può essere definita a partire dalla definizione dell’unità di misura delle lunghezze,
come l’area del quadrato di lato unitario. Se le lunghezze si misurano in
metri, l’unità di misura che così si ottiene per la misura delle aree è il metro × metro, ovvero il metro quadrato.
Con un ragionamento analogo, partendo dalla definizione di velocità
di un corpo come il rapporto tra lo spazio da esso percorso ed il tempo impiegato a percorrerlo, possiamo misurare la grandezza “velocità”, eseguendo
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4

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
il rapporto tra una misura di lunghezza e una misura di tempo. Se per misurare le lunghezze l’unità di misura è il metro e per il tempo si utilizzail
secondo, tornerà naturale definire come unità di misura della velocità il metro/secondo. Queste grandezze, come l’area, il volume, la velocità, le cui unità di misura vengono definite a partire da altre unità già definite in precedenza sono dette grandezze derivate; mentre quelle, come la lunghezza ed
il tempo, per cui viene data una definizione indipendente dell’unità di misura, sono dette grandezze fondamentali.
Si può così costruisce un sistema di unità di misura, definendo un insieme di unità di misura di grandezze considerate fondamentali e derivando
da queste le unità di misura per le altre grandezze di interesse fisico. Un sistema d’unità di misura di tal tipo si dice coerente, perché le unità di misura delle grandezze derivate sono definite automaticamente a partire dalle
unità delle grandezze fondamentali in base alla definizione delle grandezze
stesse. La scelta di quali e quante siano le grandezze da considerare fondamentali è a priori arbitraria e così pure è a priori arbitraria la definizione
di quale sia l'unità di misura da utilizzare per una grandezza fondamentale.
Al fine di accrescere la comprensione reciproca e evitare confusioni, è chiaramente opportuno addivenire ad un accordo quanto più universale possibile e scegliere come unità di misura fondamentali quelle definibili con
maggiore precisione e più facilmente riproducibili. Una convenzione internazionale ha ratificato il cosiddetto Sistema Internazionale di unità di
misura (S.I.), adottato oggi in quasi tutto il mondo come unico sistema legale (in pratica mancano all'appello solo gli Stati Uniti d'America, dove l’uso
del S.I. è solo facoltativo).
L’utilizzo di unità di misura coerenti fra loro dà l’opportunità di poter
inserire direttamente nelle formule fisiche i valori numerici delle misure
delle singole grandezze ed ottenere automaticamente il valore numerico
corretto per il risultato. Ciò non capita ovviamente utilizzando unità non
coerenti tra loro, definite cioè in modo indipendente l'una dall'altra. Per esempio si possono misurare le lunghezze in metri e usare come unità di volume il litro, anziché il metro cubo, che è l’unità coerente; ma ciò imporrà
l'aggiunta di costanti numeriche alle formule fisiche (il volume di un cubo
di spigolo 1 metro è infatti pari a 1000 litri).

1.2

Il Sistema Internazionale di unità di misura.

Tramite una convenzione internazionale è stato definito il Sistema Internazionale di unità di misura (simbolo: SI), il cui aggiornamento è stato
affidato al Bureau International des Poids et des Mésures, di sede a Parigi.
Il Sistema Internazionale si basa sulla definizione di sette unità fondamentali (v. tab. I), scelte in modo da coprire i diversi campi della fisica e della
tecnologia; a partire da queste, esso definisce l'insieme delle unità derivate.
Nei protocolli della Convenzione sono pure definiti i simboli che rappresentano le varie unità.
Per le applicazioni di meccanica sono state definire tre grandezze
fondamentali: lunghezza (unità di misura il metro, simbolo m); tempo (unità di misura il secondo, simbolo s) e di massa (unità di misura il kilogramCorso di laurea in Informatica Applicata – Polo Universitario “G. Marconi” della Spezia

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Nicolò Beverini – Appunti di fisica
mo, simbolo kg). Da esse si ricavano tutte le unità di misura delle grandezze
meccaniche, principalmente velocità, accelerazione, forza, lavoro e energia,
potenza, pressione. L'unità di tempo è quella oggi definita con la più elevata accuratezza (una misura di tempo può essere eseguita con una precisione migliore di una parte su 1015).
Per definire le grandezze elettromagnetiche viene introdotta una
quarta grandezza fondamentale, la corrente elettrica, la cui unità è denominata ampère (simbolo A). Una quinta unità fondamentale, il kelvin (K),
misura la temperatura termodinamica ed è utilizzata nelle applicazioni
termodinamiche. Per la descrizione dei fenomeni chimici, in cui più che la
massa è importante il numero di molecole o di atomi, è stata definita una
ulteriore grandezza fondamentale, denominata quantità di materia, che
misura il numero di particelle elementari contenuto in un campione macroscopico; l’unità di misura è la mole (mol). Un’ulteriore unità di misura, di
uso limitato alle fotometria, è la candela (cd), che misura l'intensità luminosa).
Come si è detto, da queste unità fondamentali si ricavano le varie unità derivate. Alcune di queste, particolarmente importanti nelle applicazioni tecnologiche, hanno ricevuto per ragioni di praticità un nome proprio
e un simbolo particolare. Ad esempio, la forza è definita come il prodotto di
una massa per un’accelerazione ed essa ha quindi come unità nel SI il
kg·m/s2; a tale unità è stato assegnato il nome di newton (simbolo N). In questi casi il nome delle unità è per il solito mutuato da quello di un eminente
scienziato, che ha lasciato un importante contributo in quel particolare
campo della fisica (tab. 2). La convenzione prescrive che il nome di tali unità venga scritto con l’iniziale minuscola, mentre il simbolo corrispondente
ha l'iniziale maiuscola.
Il risultato della misura di una grandezza fisica può, al variare dell'oggetto specifico, differire di molti ordini di grandezza. Consideriamo per
esempio le lunghezze: la distanza tra Roma e Los Angeles è dell'ordine della
decina di milioni di metri, mentre le dimensioni di un batterio sono dell'ordine del milionesimo di metro. I risultati delle misure, espressi nell’unità
del SI, sono quindi numeri molto grandi ovvero estremamente piccoli, poco
pratici da maneggiare. Il SI prevede a tal fine la possibilità di utilizzare multipli o sottomultipli delle unità definite prima, ottenuti anteponendo al nome
o al simbolo dell'unità opportuni prefissi moltiplicativi, il cui significato è
indicato in tab. 3. Il prefisso kilo (k) esprime perciò che l'unità di misura
indicata va moltiplicata per 1000 e il prefisso micro (µ) indica che l'unità di
misura indicata va divisa per 106: 1 km è perciò una lunghezza di 1000 m,
così come 1 kA è una corrente elettrica di 1000 A; 1 µm equivale a 10–6 m e
1 µA è pari a 10–6 A. Le misure delle masse fanno eccezione alla regola per
ragioni storiche. Come unità SI di massa è stato scelto il kilogrammo (kg),
così chiamato come multiplo di quella che era stata definita più anticamente come unità di massa, il grammo (g). Si sarebbe dovuto cambiarne la denominazione, ma data l'ormai universale diffusione di tale unità, non lo si è
ritenuto opportuno. Di conseguenza, in questo caso i prefissi sono riferiti
non all'unità attuale ma alla vecchia unità, il grammo.

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Nicolò Beverini – Appunti di fisica
L’uso di questi prefissi moltiplicativi si è esteso a tutta la letteratura
scientifico-tecnologica ed è quindi opportuno memorizzare almeno quelli
più comuni, tra 10–12 e1012.
Va tenuto presente che la Convenzione prevede che, quando un'unità
di misura con prefisso viene elevata a potenza, si intende che l'esponente si
riferisce sia al prefisso sia all'unità: 2 cm3 è perciò equivalente a 2⋅(10-2 m)3
= 2⋅10-6 m3 e 3 µs-1 equivalgono a 3⋅ (10–6 s)–1 = 3⋅106 s-1.
Per la misura degli angoli, il SI prevede infine l'uso del radiante (rad)
per la misura degli angoli piani e dello steradiante (sr) per la misura degli
angoli solidi. Ricordiamo che il radiante è definito come l'angolo piano compreso tra due raggi di un cerchio che, sulla circonferenza, intercettano un
arco di lunghezza uguale al raggio stesso. Lo steradiante è definito come
l'angolo solido che ha il vertice al centro di una sfera ed intercetta sulla superficie di questa un'area equivalente al quadrato del raggio. L’intera superficie sferica sottende quindi un angolo solido di 4π steradianti.
Per meglio raggiungere il suo obiettivo di omogeneizzazione universale delle misure, la Convenzione del SI scoraggia l'uso di unità di misura
non coerenti (e l’Unione Europea recepisce tale raccomandazione, imponendo l'uso delle unità SI in tutte le applicazioni commerciali). La Convenzione ammette comunque l’uso di alcune unità di misura, che sono al di
fuori del sistema SI, ma che sono largamente diffuse e rivestono un ruolo
importante nella vita di tutti i giorni. E’ il caso del minuto, dell'ora e del
giorno (simboli min, h, d) quali unità di tempo, i gradi, i minuti primi e i minuti secondi (°,',") per la misura degli angoli, il litro (l) (definito equivalente a 1
dm3) per le misure di capacità e la tonnellata (t), equivalente a 1000 kg, per
misure di massa.
Altre unità di misura non coerenti con il SI sono in uso in alcuni
campi specifici della fisica (ad esempio l’atmosfera per le misure di pressione). E' chiaro che, quando si utilizzano misure espresse in unità non coerenti, occorrerà fare la massima attenzione nell'applicare le formule per evitare errori grossolani.

1.3

Equazioni dimensionali

Come si è già detto. una legge fisica esprime una relazione funzionale
tra le misure di differenti grandezze. Essa ha quindi la forma di un'uguaglianza (o di un’equazione), tra due espressioni. Perché un’uguaglianza abbia un senso, è ovviamente indispensabile che le quantità espresse dai due
membri siano omogenee tra loro e siano quindi misurate con la stessa unità di misura. E' lo stesso concetto mai abbastanza ribadito alle scuole elementari, in base a cui le pere si sommano alle pere e gli asini agli asini,
mentre è privo di senso sommare gli asini alle pere.
Questa proprietà può tornare utile per verificare l’esattezza o meno di
una formula, utilizzando le cosiddette equazioni dimensionali. Come si è visto, nell'ambito di un sistema coerente d’unità di misura sono definite alcune grandezze come fondamentali e da esse sono derivate le altre. Qualunque sia la forma di una superficie, la sua area è comunque sempre eCorso di laurea in Informatica Applicata – Polo Universitario “G. Marconi” della Spezia

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Nicolò Beverini – Appunti di fisica
spressa dal prodotto di due misure di lunghezza (eventualmente con l'aggiunta di costanti numeriche); così il volume di un solido è sempre espresso dal prodotto di tre misure di lunghezza e una velocità è sempre riconducibile al rapporto tra una misura di lunghezza e una misura di tempo. Si
dice allora che la grandezza area ha le dimensioni fisiche di una lunghezza
moltiplicata per se stessa (ovvero una lunghezza al quadrato), che la grandezza volume ha le dimensioni di una lunghezza al cubo, che la grandezza
velocità ha le dimensioni di una lunghezza divisa per un tempo. Affermare
che i due membri di un'eguaglianza (o gli addendi di una somma) devono
essere omogenei tra loro è equivalente a verificare che essi hanno le stesse
dimensioni fisiche e quindi sono esprimibili nelle stesse unità di misura.
Una formula non rispetti questo criterio è senza dubbio errata.
Ancora, le equazioni dimensionali risultano utili, quando l'espressione di una legge fisica contiene delle costanti fisiche. Per esempio, si consideri la legge di stato dei gas perfetti:
pV = nRT
Essa esprime la relazione esistente tra la pressione, la temperatura e
il volume occupato di una quantità n di moli di gas perfetto. La costante R,
che compare in questa formula,
non è un numero puro, quale può essere
!
invece π nella formula che esprime l'area del cerchio in funzione del raggio.
Se si effettua l'analisi dimensionale della legge dei gas perfetti, si scopre
che è necessario attribuire una dimensione fisica anche alla costante R, affinché i due membri dell'equazione abbiano uguali dimensioni. Il valore di
R non è quindi un numero puro, ma dovrà essere espresso nelle adeguate
unità di misura. Nel SI, in cui l'unità di volume è il m3 e l'unità di pressione è il Pascal (Pa), R vale circa 8,314 J/mol⋅K. Se si usassero differenti unità
di misura, il valore numerico di R varierebbe di conseguenza: nell'uso comune dei chimici, abituati a misurare i volumi in litri e le pressioni in atmosfere, infatti R vale 0,082 l·atm/(mol⋅ K).

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Nicolò Beverini – Appunti di fisica
Tab. 1
Grandezze
fondamentali

Simbolo

Definizione

secondo

s

il
secondo
è
pari
a
9192631770 periodi di una
transizione atomica del Cs133

Lunghezza

metro

m

il metro è lo spazio percorso
dalla radiazione elettromagnetica nel vuoto in 1/299792458 di
secondo

Massa

kilogrammo

kg

il kilogrammo è la massa del
campio-ne conservato presso il
Bureau International des Poids
et des Mésures a Parigi

Corrente

ampère

A

l'ampère è l'intensità di una
corrente costante, che, mantenuta in due conduttori paralleli, di lunghezza infinita e di sezione trascurabile, posti alla distanza di 1 m uno dall'altro nel
vuoto, produce tra tali conduttori la forza di 2â‹…107 newton per
metro di lunghezza

Temperatura
termodinamica

kelvin

K

il kelvin è 1/273,16 la temperatura termodinamica del punto
triplo dell'acqua

Quantità di
materia

mole

mol

la mole rappresenta una quantità di particelle elementari pari
al numero di atomi contenuti in
0,012 g di 12C

Intensità
luminosa

candela

cd

la candela è pari all'intensità
luminosa di un corpo nero alla
temperatura di fusione del platino

Tempo

Unita'
di misura

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Nicolò Beverini – Appunti di fisica

Tab.2
Grandezza

Unità

frequenza
forza
pressione
energia (lavoro)
potenza
carica elettrica
potenziale elettrico
capacità elettrica
resistenza elettrica
conduttanza
flusso di induzione
magnetica
induzione magnetica
induttanza
attività (radioattiva)
dose assorbita

hertz
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
farad
ohm
siemens
weber
tesla
henry
becquérel
gray

Simbolo

Espressione in
unità SI

Espressione in
unità fondamentali SI

Si
Wb

s-1
m kg s-2
N/m2
Nm
J/s
As
W/A
C/V
V /A
A/V
Vs

s-1
m kg s-2
m-1 kg s-2
m2 kg s-2
m2 kg s-3
As
2
m kg s-3 A-1
m-2 kg-1 s4 A2
m2 kg s-3 A-2
m-2 kg-1 s3 A2
m2 kg s-2 A-1

T
H
Bq
Gy

Wb/m2
Wb/A
s-1
J/m3

kg s-2 A-1
m2 kg s-2 A-2
s-1
m-1 kg s-2

Hz
N
Pa
J
W
C
V
F

Ω

Tab 3
Prefisso

Simbolo

Valore

Prefisso

Simbolo

deca
etto
kilo
mega
giga
tera
peta
exa
zetta
yotta

da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y

10
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024

deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto

d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y

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Valore
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24

10

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

1.4

Grandezze scalari e grandezze vettoriali

Alcune grandezze possono essere compiutamente espresse dal processo di misura così come è stato descritto nei paragrafi precedenti, cioè da
un numero e dall’unità di misura. E’ quanto accade quando si misurano
intervalli di tempo, masse, energie o cariche elettriche. Grandezze di questo
tipo vengono dette grandezze scalari.
In altri casi la situazione è più complessa. Noi viviamo in un mondo
tridimensionale, in cui i concetti di destra e sinistra, di avanti e indietro, di
su e giù possono essere importanti. Indicando una forza, per valutarne gli
effetti non mi basta darne il valore della sua intensità, ma devo specificare
anche in quale direzione essa agisce. Così la grandezza velocità è compiutamente indicata solo fornendo anche la direzione del moto stesso. Questo
tipo di grandezze sono dette grandezze vettoriali. Per esse non è dunque
sufficiente esprimere il risultato della misura con un numero, ma con un
vettore, cioè con un qualcosa che contiene informazione anche sulla direzione. In questo testo noi indicheremo che una grandezza vr è una grandezza vettoriale, sovrapponendo al suo simbolo una freccetta: v .

!

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Nicolò Beverini – Appunti di fisica

2. Vettori ed algebra
vettoriale

2.1

Che cos’è un vettore

La misura di una grandezza vettoriale non è semplicemente esprimibile con un numero, ma con un’entità matematica più complessa, che contenga anche l’informazione sulla direzione. Definiamo questa entità un vettore. Che cosa sia un vettore si può capire osservando la natura di una tipica grandezza vettoriale, quale è il vettore spostamento. Il vettore spostamento misura il cambiamento di posizione di un corpo da un punto dello
spazio ad un altro. Per definirlo compiutamente occorre precisare la distanza tra punto di partenza e punto d’arrivo (quello che si dice il modulo o il
valore assoluto del vettore) ed identificarne la direzione. Graficamente il vettore spostamento può essere indicato disegnando una freccia, che congiunga il punto di partenza con il punto d’arrivo, diretta verso quest’ultimo, così
come, in due dimensioni, è rappresentato in fig. 1. 1

Fig. 2-1
Nel seguito del capitolo nelle figure esemplificheremo sempre per chiarezza di disegno i
vettori in due dimensioni, anche se nel testo parleremo in termini generali di vettori nello
spazio tridimensionale.
1

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12

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

Si noti che il vettore spostamento è definito esclusivamente dalla misura della distanza dei due punti e dalla direzione della congiungente e non
da quale siano le
r coordinate del punto di partenza e del punto d’arrivo. I
r
due vettori a e b , rappresentati in fig. 2 da frecce della stessa lunghezza e
parallele trar loro, sono in effetti, in base alla nostra definizione, lo stesso
r
vettore ( a = b ).
!

!

!

Fig. 2-2

2.2

Le operazioni fondamentali
Definiamo ora la somma e la differenza di due vettori.

Fig. 2-3
Descriviamo (Fig. 2-3a) uno spostamento
dal punto A al punto B
r
(spostamento rappresentato dal vettore a ), seguito da uno spostamento
r dal
punto B verso il punto C (spostamento rappresentato dal vettore b ). Lo
spostamento complessivo (cioè la somma dei due spostamenti) rè dunque
dal punto A al punto C (spostamento
rappresentato dal vettore c ). Diremo
r
!
r
r
quindi che il vettore c rappresenta la somma dei due vettori!a e di b . Dal
disegno di Fig. 2-3b e ricordando quanto appena detto (§ 2.1), che cioè due
“frecce” parallele di uguale lunghezza rappresentano lo stesso
vettore, dise!
gnando i due vettori in modo che escano da uno stesso punto, risulta che
!
!
!
la somma di due vettori è rappresentata dalla diagonale del parallelogramCorso di laurea in Informatica Applicata – Polo Universitario “G. Marconi” della Spezia

13

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
ma avente per
r lati
r i rvettori da sommare e che gode della proprietà commur
tativa ( a + b = b + a ).
Per definire
la differenza dir due vettore, definiamo prima l’opposto
r
r di
un vettore b , indicandolo con – b , come quel vettore che aggiunto a b dà
!come
! risultato
! ! zero. In termini di vettore spostamento, è lo spostamento
che, aggiunto allo spostamento dato mi riporta nella posizione di partenza.
Graficamente, è il vettore che si ottiene scambiando base e punta della
!
!
!
freccia (Fig. 2-4).

Fig. 2-4
r
r
La differenza a – b tra due vettori
definita come quel vettore
r è quindi
r
r
r r r
che è la somma di a con l’opposto di b , cioè a " b = a + "b . Dalla Fig. 2-4
r
r
si vede che, costruendo
il parallelogrammo che ha per lati i vettori a e di b ,
r
r
la differenza! a "!b è data dalla diagonale che congiunge le punte dei due
!
!
vettori.
!
!
!
2.3 !Le componenti di un vettore.

( )

!

!

Come si può quantificare l’informazione della direzione del vettore?
Definiamo nello spazio tridimensionale una terna di assi cartesiani
mutuamente ortogonali, convenzionalmente indicati come asse x, asse y ed
asse z. Al solito, considereremo il caso del vettore spostamento, che sarà
poi generalizzabile ad un qualunque tipo di vettore. Facendo riferimento al
sistema
di riferimento cartesiano, possiamo pensare un vettore spostamenr
to a come la somma di uno spostamento nella direzione x, rappresentato
r
r
dal vettore a x , di uno nella direzione y, rappresentato dal vettore ay , e di
r
r r
r
uno nella direzione z, rappresentato dal vettore a z . I vettori a x , ay e a z sono
detti i vettori componenti (rispetto al sistema di riferimento cartesiano Oxyz )
r
r r
r
r
di a!. E’ quindi a = a x + ay + a z . I numeri ax, ay, e az, che esprimono
la lun!
r r
r
ghezza dei vettori a x , ay e a z (col segno positivo
se questi
sono orientati ver!
!
!
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!

14

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
so il senso positivo degli assi, col segno
negativo in caso contrario) si dicono
r
a
le componenti (scalari) del vettore . Assegnare una rterna di numeri ax, ay, e
az definisce in modo completo ed univoco il vettore a .
!
!

Fig. 2-5
In molti casi la fenomenologia può essere descritta con vettori giacenti
tutti sullo stesso piano. Orientando opportunamente gli assi del nostro sistema cartesiano, si può allora far sì che la componente di tutti questi i vettori in una direzione sia sempre identicamente nulla. Per esempio, se gli
assi x e y definiscono il piano in questione, la componente z sarà sempre
nulla. In questo caso sarà sufficiente per definire il vettore dare solo le due
componenti non nulle (caso bidimensionale).
Nel caso poi che tutti i vettori d’interesse abbiano la stessa direzione,
orientando uno degli assi in tale direzione, il vettore si riduce ad una sola
componente (caso unidimensionale).

2.4

Modulo di un vettore
r
Dato un vettore V , di componenti Vx, Vy, Vz la quantità

Vx2 +Vy2 +Vz2 ,

che è la diagonale del parallelepipedo di spigoli Vx, Vy, Vz, e che nel caso del
vettore spostamento rappresenta la lunghezza dello spostamento complessivo, prende il !
nome di modulo o valore assoluto del vettore e viene indicata
r
!
con il simbolo V o più semplicemente, quando non ci sia pericolo di confusione, eliminando la freccetta sul simbolo:
r
[2.1]
V = V = Vx2 +Vy2 +Vz2
!
Dalla definizione discende ovviamente che il valore del modulo di un
vettore è sempre espresso da un numero maggiore o uguale a zero.
!
!

2.5

Versori

Dividendo un vettore per il suo modulo, si ottiene un vettore di modulo 1 la cui direzione coincide con quella del vettore dato. E’ comodo usare una notazione particolare per indicare un tale vettore unitario, che
prende il nome di versore, ponendo un apice ^ al rposto della freccia al disopra del simbolo. Ad esempio, dato un vettore r , si può indicare la sua
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!

15

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
r
) ) )
) r
direzione tramite il versore r = r . Con i simboli x , y e z si indicano i versor
ri relativi ai tre assi, cioè le direzioni Ox, Oy, Oz .

1

r
Essendo Vx, Vy, Vz. le componenti lungo
i tre assi del vettore V , si può
!
quindi identificare il! vettore in base alla terna di numeri:
r
[2.2]
V ≡ (Vx, Vy, Vz)
!
ovvero come:
r
)
)
)
V ≡ Vx x + Vy y + Vz z
[2.3]
!

2.6

Operazioni vettoriali in termini delle componenti
!

!

!
!
Scrivere i vettori in termini delle sue componenti permette di effettuare numericamente le operazioni vettoriali, senza bisogno di ricorrere ai
grafici.
Osserviamo in primo luogo che l’uguaglianza tra
due vettori implica
r r
l’uguaglianza delle rispettive componenti. Scrivere a = b equivale a scrivere:
"a x = bx
$
#ay = by
!
$
%a z = bz
Ciò significa anche che un’equazione vettoriale equivale in generale
ad un sistema di tre equazioni scalari, una per ogni componente spaziale.
!

Fig. 2-6
La Fig. 2-6 illustra, in termini delle componenti, la somma di due vettori nel caso bidimensionale.
Si vede che la componente lungo la direzione
r r r
x del vettore c =ra + b è uguale alla somma algebrica delle componenti x dei
r
due vettori a e b e la componente lungo la direzione y del vettore
è uguale
r r
alla somma algebrica delle componenti y dei due vettori a e b (attenzione ai
!
1

!

In alcuni testi i versori relativi agli assi x, y, z sono invece indicati con

!

iˆ, ˆj, kˆ

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!

16

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
segni: nel caso in figura i valori di by e cy sono rappresentati da numeri negativi!).
Estendendo
il ragionamento al caso tridimensionale si trova che la
r r r
scrittura c = a + b equivale all’insieme delle tre relazioni scalari:
"c x = a x + bx
$
#c y = ay + by
!
$
%c z = a z + bz
r
r
Nel § 2.2 la differenza di due vettori a e b è stata definita come la
r
r
r
r r r r
somma di a con l’opposto di b , cioè c = a " b = a + "b . Essendo per definir
r
r
!
zione "b quel vettore tale che b + "b = 0, le cui componenti sono perciò
! !
(–bx, –by, –bz), si potrà concludere che:
!
!
! #
c = a x " bx
!
% x
!
$c y = ay " by
%c = a " b
& z
z
z

( )

( )

r
Si può facilmente definire anche il prodotto di un vettore a per uno
r
! che ha la stessa direzione di a , se k è positivo,
scalare k. Esso è un vettore
o direzione opposta, se k è negativo, e modulo uguale al prodotto del modur
lo a per il valore assoluto di k. Le componenti di tale vettore sono date dal
r !
r
! k a " (ka ,ka ,ka ) .
prodotto delle componenti di a per lo scalare k. Cioè
x
y
z
!

Il prodotto di due vettori è un’operazione più complessa. In effetti nel
!
prosieguo noi definiremo
due tipi diversi di prodotti
tra vettori, in un caso
!
con il risultato che è uno scalare, nell’altro in cui il risultato è un vettore.
Definiremo tali prodotti quando ne incontreremo le applicazioni.

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17

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

3. Il moto nello spazio
tridimensionale

3.1

La legge oraria del moto

La geometria analitica ci insegna che la posizione di un corpo puntiforme (cioè di dimensioni trascurabili) nello spazio può essere identificata
in un sistema di riferimento di coordinate cartesiane da una terna di numeri. Ricordando la definizione di vettore data nel capitolo precedente, tale
terna può essere interpretata come l’insieme delle componenti di un vettore
(il vettore posizione), che ha la “coda” nell’origine degli assi e la “punta” nel
punto occupato dal corpo, le cui componenti sono appunto le tre coordinate cartesiane (Fig. 3-1). Quando il corpo si muove nello spazio, il suo movimento può essere descritto, scrivendo in funzione del tempo il valore delle
tre coordinate:
[3.1]

" x = x (t )
$
#y = y (t ) 
$
% z = z (t )

ovvero, visto che tali coordinate sono le componenti del vettore posizione,
scrivendo in funzione del tempo il valore di tale vettore.
r r
!
[3.2]
s =s t

()

L’espressione [3.2] è detta normalmente legge oraria del moto. La linea nello spazio definita dalla [3.1] rappresenta la traiettoria del moto.
!

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18

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

Fig. 3-1
Supponiamo che il corpo si trovi all’istante t1 nel punto P1, le cui coordinate siano x1=x(t1), y1=y(t1), z1=z(t1) e che successivamente, all’istante
t2 , esso si trovi nel punto P2, le cui coordinate siano x2=x(t2), y2=y(t2),
z2=z(t2). Secondo quanto si è detto sopra, il primo punto è identificato dal
r r
r r
vettore posizione s1 = s (t1 ) e il secondo dal vettore posizione s2 = s (t2 ) . Definiamo spostamento il vettore che connette i due punti, graficamente rappresentato da una freccia che parte dal punto rP1 e ha la punta nel punto
P2. Tale vettore, che indicheremo col simbolo "s , è dunque definito come la
r
r
!
!
differenza tra i due vettori s2 e s1; le sue componenti sono Δx = x2– x1,
Δy = y2– y1, Δz = z2– z1.
!

3.2

La velocità !

!

Facendo il rapporto tra il vettore spostamento e l’intervallo di tempo
r
Δt=t2–t1 in cui tale spostamento avviene, si ottiene il vettore vm , che è definito come la velocità media nell’intervallo di tempo (t1,t2) del corpo. In forma
vettoriale si scrive:
r
r
r
s (t2 ) " s (t1 ) #s !
r
[3.3]
.
vm (t1 ,t2 ) =
=
t2 " t1
#t
La [3.3] equivale, esprimendo i vettori nei termini delle loro componenti cartesiane, all’insieme delle tre relazioni scalari:
!
$
x (t2 ) " x (t1 ) #x
& (vm ) =
=
x
t2 " t1
#t
&
&&
y (t2 ) " y (t1 ) #y
[3.4]
=
%(vm )y =
t2 " t1
#t
&
&
z (t2 ) " z (t1 ) #z
=
& (vm ) z =
t2 " t1
#t
&'
Partendo dalla definizione data di velocità media, applicando
r i principi dell’analisi matematica, possiamo definire il valore istantaneo v della ve!
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!

19

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
locità ad un certo istante t0, calcolando il limite per t1→t0 (ovvero, ponendo
Δt = t1–t0 il limite per Δt → 0) dei rapporti che compaiono nella [3.4]:

[3.5]

!

%
x (t1 ) # x (t0 )
$x
'vx (t0 ) = lim
= lim
t1 "t 0
$t
"0
t1 # t0
$t
'
''
y (t1 ) # y (t0 )
$y
= lim
&vy (t0 ) = lim
t1 "t 0
$t "0 $t
t1 # t0
'
'
z (t1 ) # z (t0 )
$z
= lim
' vz (t0 ) = tlim
$t "0 $t
1 "t 0
t1 # t0
'(

Le formule che definiscono vx(t0), vy(t0), vz(t0) nella [3.5], matematicamente
esprimono l’operazione di derivata in t0 delle funzioni x(t), y(t), z(t).
L’insieme di queste
! tre relazioni può essere espresso vettorialmente nella
forma:
r
r
r
s (t1 ) # s (t0 )
r
$s
[3.6]
v (t0 ) = lim
= lim
t 1 "t 0
$t "0 $t
t1 # t0
r
Questa formula definisce la grandezza v (t0 ) come la derivata della funzione
r
s (t ) nel punto t0; tale grandezza prende il nome di velocità istantanea
!
all’istante t0.
!
L’operazione può essere ripetuta per qualunque valore di t. Si definir
sce così la funzione vettoriale v (t ) , che esprime il valore della velocità istantanea in funzione del tempo, come la derivata vettoriale rispetto al tempo delr
la funzione s (t ) :
r
!
r
r
ds
v (t ) = s "(t ) =
[3.7]
dt
!
#
dx
%vx (t ) = x "(t ) =
dt
%%
dy
!
[3.8]
.
$vy (t ) = y "(t ) =
dt
%
%v t = z " t = d z
( ) dt
%& z ( )

L’espressione derivata vettoriale esplicita che al numeratore del rapporto incrementale figura una differenza tra due vettori e che di conseguenza il risultato dell’operazione
di passaggio al limite fornisce un vettore.
!
Un’osservazione importante. La [3.7] indica che il vettore velocità ha
la direzione dello spostamento istantaneo, che è quella della tangente alla
traiettoria. La velocità istantanea ha dunque sempre la direzione della tangente alla traiettoria.

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20

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

3.3

L’accelerazione

Così come si è definito il vettore velocità a partire dal vettore posizione, si definisce a partire dal vettore velocità istantanea il vettore accelerazione.
r
Si definisce come accelerazione media am nell’intervallo di tempo
(t1,t2). il vettore dato dal rapporto tra la differenza delle velocità agli istanti
t2 e t1 e l’intervallo di tempo Δt=t2–t1, in cui tale variazione avviene.
In forma vettoriale si scrive:
!
r
r
r
v (t2 ) " v (t1 ) #v
r
[3.9]
.
am (t1 ,t2 ) =
=
t2 " t1
#t
La [3.9] può essere scritta in termini delle componenti cartesiane
come l’insieme di tre relazioni scalari nella forma:
!
$
v (t ) " vx (t1 ) #vx
&(am ) = x 2
=
x
t2 " t1
#t
&
&&
vy (t2 ) " vy (t1 ) #vy
[3.10]
=
% (am )y =
t2 " t1
#t
&
&
vz (t2 ) " vz (t1 ) #vz
=
& (am ) z =
t2 " t1
#t
&'
r
Per ottenere il valore istantaneo a dell’accelerazione ad un certo istante t1 occorre calcolare il limite dell’espressione [3.9] o [3.10] per t2→t1
(che è come dire per
! Δt = t2 – t1 → 0):
r
! vr (t1 ) # vr (t0 )
r
$v
[3.11]
a (t0 ) = lim
= lim
t 1 "t 0
$t "0 $t
t1 # t0

!
[3.12]

%
v (t ) # vx (t0 )
$v
'a x (t0 ) = lim x 1
= lim x
t1 "t 0
$t "0 $t
t1 # t0
'
''
vy (t1 ) # vy (t0 )
$v
= lim y
& ay (t0 ) = lim
t1 "t 0
$t "0 $t
t1 # t0
'
'
vz (t1 ) # vz (t0 )
$v
= lim z
' a z (t0 ) = tlim
"t
$t
"0
1
0
t1 # t0
$t
'(

Tale operazione può essere effettuata per ogni valore di t, definendo
così l’accelerazione istantanea come la derivata vettoriale della funzione velocità.
!
r
Si definisce così la funzione (vettoriale) a (t ) che esprime il valore del-

la velocità istantanea in funzione del tempo, come la derivata rispetto al
r
tempo della funzione v (t ) :
r
!r
r
dv
a (t ) = v "(t ) =
[3.13]
dt
!
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!

21

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

[3.14]

3.4

#
dvx
%a x (t ) = vx" (t ) =
dt
%
%
dvy
$ay (t ) = vy" (t ) =
dt
%
%a t = v " t = dvz
%& z ( ) z ( ) dt

L’accelerazione centripeta.

!
Se un corpo si muove con velocità in modulo costante, ciò non implica che la sua accelerazione sia nulla. Il fatto che il modulo della velocità sia
costante, non implica affatto che sia costante il vettore velocità. In effetti, ril
vettore velocità ha, istante per istante, la direzione dello spostamento d s ,
che è quello della tangente alla traiettoria. Se la traiettoria non è rettilinea,
la direzione della sua tangente e quindi quella del vettore velocità cambia;
in base alla [3.13] il cambiamento della velocità implica che c’è
!
un’accelerazione.
Consideriamo il caso più elementare di un corpo che si sta movendo
lungo una traiettoria circolare con velocità in modulo costante (moto circolare uniforme) e calcoliamo esplicitamente il valore di tale accelerazione.
Con riferimento alla Fig. 3-2, detto v il valore (costante) del modulo
della velocità, vediamo che la differenza tra il valore della velocità all’istante
r
#
t2 e t1 è in modulo pari a "v = 2v sin , essendo α l’angolo al centro (misura2
to in radianti) corrispondente allo spostamento avvenuto lungo la circonferenza nell’intervallo di tempo Δt = t2 – t1. Poiché l’arco percorso in tale tempo
v # $t
è v (t2 – t1), si ha "!=
.
r

!

Fig. 3-2
Il modulo dell’accelerazione media tra gli istanti t1 e t2 è quindi:
r
"v 2v sin # 2
r
[3.15]
am (t1 ,t2 ) =
=
"t
"t
e, passando al limite per Δt → 0, si trova che l’accelerazione istantanea vale
in modulo:
! r
& v 2 sin $ 2 ) v 2
r
"v
2v sin $ 2
sin $ 2
[3.16]
a = lim
= lim
= lim( %
+ = lim
"t #0 "t
$ #0
$
#0
$
#0
$r v
$ 2 * r
$ 2
'r
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!

22

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
sin x
, si ottiene:
x "0 x

Ricordando che lim
[3.17]

!

r v2
a =
r

!
Ci resta da identificare la direzione del vettore accelerazione. Osservando ancora la figura 1, ci si rende conto che, quando α→ 0, la direzione
r
r
di "v tende a divenire ortogonale
alla direzione di v e quindi ad essere nel!
la direzione del raggio della circonferenza. Si può dunque concludere che
un corpo che si muova di moto circolare uniforme è soggetto ad una accelerazione, costante in modulo e diretta lungo il raggio nella direzione del cen!
tro della traiettoria circolare. Per tale ragione questa accelerazione prende il
nome di accelerazione centripeta.

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23

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

4. I principi della dinamica

4.1

Il principio d’inerzia

Perché un corpo si muove in un certo modo? La risposta a questa
domanda è l’argomento della dinamica. Nel capitolo precedente sono stati
forniti gli strumenti necessari per descrivere il moto di un corpo; ora affronteremo il problema di determinare quali siano le cause del moto e di definire le leggi con cui queste agiscono.
A fondamento di tutto il quadro teorico della fisica classica sta il cosiddetto principio d’inerzia, che è il primo dei tre assiomi formulati da
Newton nel 1687 nella sua opera fondamentale PHYLOSOPHIÆ NATURALIS
PRINCIPIA MATHEMATICA:
Ciascun corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, eccetto che sia costretto a mutare quello stato da forze impresse.
Lo stato naturale di moto di un corpo isolato, che non interagisce
cioè con altri corpi, è quindi di muoversi di moto rettilineo uniforme (la
quiete è un caso particolare, in cui la velocità è nulla). Per cambiare tale
moto occorre che intervenga qualcosa dall’esterno, qualcosa proveniente
dall’interazione con qualche altro corpo. In effetti, nell’esperienza quotidiana noi osserviamo che un corpo, che non subisca spinte esterne, in moto
su un piano dopo un tempo più o meno lungo si ferma; ma ciò non contraddice l’affermazione fatta: il rallentamento infatti è dovuto all’interazione
tra tale corpo e l’ambiente, per esempio all’attrito radente tra il corpo ed il
piano su cuisi muove o a quello viscoso contro l’aria. Facendo sì che tali interazioni con l’esterno diminuiscano (per esempio togliendo l’aria), vedremo
il corpo conservare più a lungo il suo stato di moto. Potremo dedurne che,
se fossimo in grado di isolarlo completamente dall’ambiente esterno, il movimento continuerebbe in perpetuo.
Il caso di un corpo non interagente con altri corpi è puramente teorico; ma serve a stabilire la base teorica per i nostri ragionamenti. Noi cercheremo ora nella dinamica di stabilire le leggi che governano le interazioni
di un corpo con l’ambiente in cui si muove, mettendo a fuoco i principi generali ed in particolare i cosiddetti principi di conservazione.

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24

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

4.2

Il secondo principio della dinamica

Per cambiare lo stato di moto di un corpo occorre dunque che su di
esso agiscano cause esterne ovvero delle forze. Una forza è la grandezza che
misura l’interazione del corpo in oggetto con il modo esterno. La forza peso
è ad esempio generata dall’interazione tra la massa del corpo e la massa
della Terra, la forza elastica è dovuta all’azione di una molla, la forza elettrica è dovuta all’interazione tra la carica elettrica del corpo considerato e le
cariche esistenti nel mondo esterno. La misura del cambiamento del moto
di un corpo dà la misura della forza che è stata ad esso applicata. In particolare, si potrà affermare che due forze applicate ad uno stesso corpo sono
uguali se, agendo per uno stesso intervallo di tempo, ne modificano allo
r
stesso modo il moto, cioè ne cambiano la velocità di un’uguale quantità "v .
Qual è l’effetto di forze uguali agenti per lo stesso tempo Δt su corpi
diversi? Si trova che la velocità di essi cambia in ragione inversamente proporzionale alle loro masse ovvero, espresso in formula
!
r
r
"v f
=
[4.1]
"t m
ATTENZIONE! La velocità è una grandezza vettoriale
e quindi sono granr
dezze vettoriali sia la variazione di velocità "v sia la forza.
!
Definiamo ora la grandezza
(anche questa vettoriale) quantità di moto come il prodotto tra la massa di un corpo e la sua velocità:
r
r
[4.2]
q =!mv
.
In base a tale definizione,
r si può reinterpretare la [4.1], dicendo che
l’effetto di una forza costante f applicata per un tempo
Δt ad un corpo ne fa
r
! una quantità pari a f "t ovvero:
variare la quantità di moto di
r
r
[4.3]
f "t = "q
!
L’equazione [4.3[ è la formulazione matematica di quanto
r r Newton ha
!
enunciato come 2Ëš principio della dinamica. La grandezza h = f "t prende il
!
nome di impulso.
Dobbiamo qui fare una considerazione: il ragionamento svolto sopra
e la definizione data dell’impulso presuppone
la forza applicata al corpo
r che !
sia costante. Se ciò non si verifica, se cioè f varia nel corso dell’intervallo di
tempo considerato e non è perciò univocamente definita, è opportuno ricorrere ai metodi dell’analisi matematica. Considerando allora intervalli di
tempo molto piccoli o, usando più propriamente il linguaggio dell’analisi,
!
passando al limite per Δt → 0, si potrà
riscrivere la [4.3] usando i valori istantanei:
r d qr
f =
[4.4]
,
dt
r
r dv
che, ricordando la definizione della quantità di moto e che a =
è equivadt
lente a:
!
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della Spezia
!

25

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
[4.5]

r
r
f = ma

Utilizzando ancora il linguaggio dell’analisi, si può dare una definizione dell’impulso, che sia valida anche nel caso generale in cui la forza non
è costante:
!
r
t2 r
[4.6]
h = " f dt
t1

ovvero:
[4.7]

r r
h = f m "t

,
!
r
r
1 t2 r
f
dt
f
avendo definito fm =
ciò
che
diremo
il
valor
medio
di
.
#
"t t1
! vera l’espressione
E’ evidentemente sempre
r
r
[4.8]
h ="q ,
!
!
che potremo leggere nel seguente modo, che costituisce una formulazione
alternativa del 2º principio della dinamica:
! di moto di un corpo è pari all’impulso delle forLa variazione della quantità
ze su di esso agenti nell’intervallo di tempo considerato.

4.3

!

Il principio di azione e reazione

Analizziamo ora più in dettaglio quanto accade nell’interazione tra
due corpi. Si pensi ad esempio a due carrelli che si urtano. Prima d’urtarsi,
r
r
essi hanno quantità di moto rispettivamente q1 e q2 . Per effetto della collisione, sulr primo carrello agisce un impulso dovuto all’azione del secondo
r
carrello h2"1, che ne cambia la quantità di moto di una quantità "q1 . Simmetricamente, sul
un impulso dovuto all’azione del
r secondo carrello agisce
!
!
r
primo carrello h1"2 , che ne cambia la quantità di moto di una quantità "q2 .
r
r
Come
ha osservato Newton, i due impulsi h1"2 e h2"1 sono !
uguali e contrari:
!r
r
r
r
h2"1 = # h1"2 . Di conseguenza "q1 = # "q2 .
!
Questo
fatto costituisce il cosiddetto terzo principio della!dinamica o
principio di azione e reazione, che!viene!spesso enunciato nella forma: ad
ogni azione corrisponde
! una reazione uguale e contraria. Esso ha un valore
universale: un corpo appoggiato su un piano orizzontale subisce dal piano
stesso una forza, diretta verso l’alto uguale e contraria alla forza con cui il
corpo preme sul piano; su una palla che rimbalza contro un muro agisce
una forza impressa dal muro uguale e contraria a quella che il muro riceve
dalla palla; una pietra che faccio ruotare, legata ad uno spago, intorno al
dito riceve da esso una forza, necessaria a fornirle la dovuta accelerazione
centripeta, uguale e contraria alla trazione che la pietra, tramite lo spago,
esercita sul dito; la mela che Newton vede cadere dall’albero è attratta dalla
Terra con una forza uguale e contraria a quella con cui la mela stessa attrae la Terra. Quest’ultimo caso può sembrare a prima vista paradossale;
ma facciamo attenzione a quanto afferma il terzo principio. Esso asserisce
che le forze, e di conseguenza gli impulsi e le variazioni di quantità di moto,
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26

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
sono uguali e contrari; mentre invece le accelerazioni e le variazioni di velocità della mela e della Terra sono ben differenti, essendo inversamente proporzionali alle rispettive masse. E’ per questo che noi vediamo la mela cadere verso la Terra e non viceversa.

4.4

Le unità di misura di massa e di forza.

Nei paragrafi precedenti abbiamo parlato di masse, senza dare prima
una definizione formale precisa di tale grandezza. L’equazione [4.1] del
§ 4.2 ci fornisce un metodo per confrontare due masse tra loro. Possiamo
confrontare la massa di un corpo con quella di un altro (in particolare con
una massa assunta come unità di misura), applicando ai due corpi un identico impulso (cioè una stessa forza per un identico intervallo di tempo) e
misurando il rapporto tra le loro variazioni di velocità. Come si è detto nel
cap. 1, nel S.I. la massa è assunta come una delle unità fondamentali e la
sua unità di misura è il kilogrammo (kg).
Per quanto riguarda la forza, essa è considerata una grandezza
derir
r
vata. Per la sua definizione si può utilizzare la relazione [4.5] f = ma .
Si ha quindi:
L’unità di misura di forza è quella forza che imprime alla massa unitaria
!
l’accelerazione unitaria.
Nel sistema internazionale la forza unitaria è dunque quella forza che, applicata ad un corpo di massa di 1 kg, gli imprime un’accelerazione di 1 m/s2.
L’unità di misura di forza è quindi il kg⋅m/s2. Tale unità assume il nome di
newton (N).

4.5

La massa e il peso

Il concetto di massa non deve assolutamente essere confuso con
quello di peso. La massa esprime l’inerzia di un corpo, cioè la sua resistenza a variare la velocità di fronte all’azione di una forza. Il peso di un corpo è
invece la forza che agisce su di esso, dovuta all’attrazione gravitazionale
della Terra. In più, la massa è una grandezza scalare; il peso è una grandezza vettoriale. Sono due grandezze diverse, senza relazione a priori tra loro, espresse in unità di misura differenti.
L’esperienza mostra però che, in un qualunque punto dello spazio in
prossimità della superficie
terrestre, esiste una relazione di proporzionalità
r
diretta tra il peso F p di un corpo che lì si trova e la sua massa, indipendentemente da qualunque altra proprietà del corpo stesso:
r
r
[4.9]
F p = mg
r
!
Il vettore g che appare nella relazione [4.9] e che ha le dimensioni fisiche di un’accelerazione, prende il nome di vettore del campo gravitazionale
!
!
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27

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
r
o accelerazione di gravità. Il modulo di g in prossimità della superficie terrestre alle nostre latitudini vale all’incirca1 9,81 m/s2.
Peso e massa sono dunque direttamente proporzionali tra loro; confrontare le masse di due corpi!oppure i loro pesi (nello stesso posto) dà
dunque lo stesso risultato. Gran parte delle bilance commerciali infatti di
norma per misurare le masse confrontano i pesi dei corpi. I due concetti
non vanno però confusi tra loro e le due grandezze vanno espresse utilizzando le rispettive unità di misura: 1 kg di pere in effetti pesa circa 9,81 N.
Spostandomi sulla superficie della terra il loro peso varierebbe da 9,78 N in
prossimità dell’equatore a 9,83 N al Polo. Se poi andassi sulla Luna, la
massa delle pere resterebbe sempre 1 kg, ma il loro peso si ridurrebbe a
circa 2,5 newton.

Il valore di g varia con la latitudine da un valore minimo di circa 9,780 all’equatore a circa 9.832 in prossimità dei poli
1

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28

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

5. Alcuni esempi di forze e
di moto

5.1

L’equazione del moto.

La descrizione completa del moto di un corpo è contenuta, come si è
detto nel § Error! Reference source
r not found. dalla cosiddetta legge oraria del moto, ossia dalla funzione s (t ), che esprime il valore del vettore posizione in funzione del tempo. Il problema fondamentale della dinamica è
quello di determinare quale sia la legge oraria del moto, conoscendo le forze
agenti sul corpo.
!
Ciò può essere ottenuto sfruttando
la seconda legge della dinamica.
r
r
Questa, infatti, nella sua forma [4.5] f = ma , collega, istante per istante, il
valore della risultante delle forze agenti sul corpo all’accelerazione del moto.
Ricordiamo che nel cap. 2 abbiamo definito l’accelerazione come la derivata
seconda della legge oraria del moto. La [4.5] può quindi essere riscritta nel!
la forma:
r
d2 r
[5.1]
f = m 2 s (t )
dt
Se si conosce il valore in ogni istante di tale forza risultante
(parlanr
do in termini matematici, se si conosce come varia la funzione f (t ) ), questa
relazione è un’equazione !
differenziale, che viene
r comunemente detta equazione del moto, la cui incognita è la funzione s (t ). Matematicamente, risolvere tale equazione significa determinare quale sia quella funzione che, so!
stituita nella [5.1] la rende un’identità per qualunque valore di t.
!

5.2

Forze costanti e il moto uniformemente accelerato.

Risolvere esplicitamente l’equazione del moto può essere in generale
un arduo problema matematico. Noi affrontiamo qui il caso semplice del
moto di un corpo che sia soggetto ad una forza costante.
Se il valore della forza si mantiene costante (ricordiamo che, essendo
la forza una grandezza vettoriale, ciò significa che resta costante sia il valoCorso di laurea in Informatica Applicata – Polo Universitario “G. Marconi” della Spezia

29

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
re assoluto sia la direzione), ne consegue
che anche l’accelerazione è rapr
presentata da un vettore costante a . Il moto è dunque un moto ad accelerazione costante o, come si usa dire, è un moto uniformente accelerato.
Nel § 3.3 l’accelerazione istantanea è stata definita come la derivata
della funzione velocità
rispetto
al tempo, cioè come il rapporto tra la varia!
r
zione di velocità ∆ v e il corrispondente intervallo di tempo ∆t, al limite per
∆t → 0. Formalmente, la relazione [3.13], considerando le quantità infiniter
r
sime d v e dt come limite delle differenze ∆ v e ∆t, può essere riscritta nella
forma:
!
r r
[5.2]
d v = a (t ") d t " .
!
!
Sommando i due membri dell’equazione sull’intero intervallo di tempo tra 0 e t, o per meglio dire, usando propriamente il linguaggio dell’analisi
matematica, integrando i !due membri dell’equazione, si ottiene:
r
v (t )

[5.3]

t

r

r

" d v = " a (t #) d t #

r
v (0)

0

Al primo membro, la somma di tutte le variazioni di velocità è ovviamente la variazione della velocità tra l’istante iniziale t=0 e quello finale t:
r
v (t )
!
r r
r
[5.4]
" d v = v (t ) # v (0)
r
v (0)

La funzione da integrare ai due membri è una funzione vettoriale.
Poiché l’integrale (definito) è per definizione il limite di una somma, eseguire l’integrale di una funzione
vettoriale è equivalente a calcolare il limite
!
della somma (cioè l’integrale) delle funzioni scalari che rappresentano le
componenti del vettore. L’espressione [5.3] equivale dunque all’insieme delle tre equazioni:

[5.5]

%
'vx (t ) " vx (0) =
'
'
&vy (t ) " vy (0) =
'
'
'vz (t ) " vz (0) =
(

t

$ a (t #) d t #
x

0
t

$ a (t #) d t #
y

0
t

$ a (t #) d t #
z

0

Conoscendo istante per istante il valore dell’accelerazione (e cioè la
r
r
funzione a (t ) ), si potrà allora ricavare la funzione velocità v (t ) dalla formu!
la:
!

[5.6]

r
v (t ) =

t

r

r

# a (t ") d t " + v
0

0

,

!

r r
dove il vettore v0 = v (0) esprime il valore della velocità all’istante iniziale t=0.
r
r
Nel caso che stiamo considerando l’accelerazione è costante a (t ) = a , e
!
quindi il calcolo dell’integrale è banale:
!
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30

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
[5.7]

r
v (t ) =

t

r
r
# a (t ") d t " + v0 =
0

t

r

r

# a dt" + v

0

r r
= at + v0

0

In termini delle componenti
vettoriali, indicando con v0x, v0y, rv0z le compor
nenti del vettore v0 e con ax, ay, az, le componenti del vettore a , la relazione
vettoriale [5.7]
! equivale all’insieme di tre relazioni scalari:
"vx (t ) = a xt + v0x
$
#vy (t ) = ayt + v0y .
$v t = a t + v
% z( )
z
0z

[5.8]!

!

r
Siamo così giunti a determinare la funzione v (t ) che esprime, nel ca-

so del moto uniformemente accelerato, la velocità del corpo in funzione del
!
tempo.
Nel § 3.2 la funzione velocità era stata
! definita come la derivata della
r
funzione posizione s (t ) rispetto al tempo. Dalla [3.7] ricaviamo la formula:
r r
[5.9]
d s = v (t ) dt
r
Si sostituisce
in [5.9] la funzione v (t ) trovata prima nella [5.7] e si in!
tegra nuovamente su tutto l’intervallo di tempo tra 0 e t. L’integrale del
r
!
s (t )
r
r
r
primo membro " d s dà lo spostamento totale s (t ) " s (0) . Si ottiene quindi,
r
!
s (0)
svolgendo gli integrali:
[5.10]
!

r
r
s (t ) " s (0) =

t

r

t

r

r

1r

$ v (t #) d t # = $!(at # + v ) d t # = 2 at
0

0

2

r
+ v0t

0

r
che, indicando con x (t ), y (t ), z (t ) le componenti del vettore s (t ) , equivale a:
t
t
%
1
2
'x (t ) " x (0) = $ vx (t #) d t # = $ (a xt # + v0x ) d t # = a xt + v0xt
2
0
0
'
!
!
t
t
'
1
[5.11]
.
& y (t ) " y(0) = $ vy (t #) d t # = $ (ayt # + v0y ) d t # = ayt 2 + v0yt
2
'
0
0
t
t
'
1
#
#
z
(t
)
"
z(0)
=
v
t
d
t
=
$ z ( ) $ (a zt # + v0z ) d t # = 2 a zt 2 + v0zt
'
(
0
0
r r
Indicando con s0 = s (0) , di componenti x 0 ,y 0 ,z 0 il valore del vettore
posizione all’istante iniziale t=0, possiamo quindi concludere che la legge
oraria del
! moto di un corpo soggetto ad accelerazione costante (moto uniformmemente accelerato) è in generale della forma:
!
!
r
r
1r 2 r
[5.12]
s (t ) = at + v0t + s0
2

!

che equivale, in termini delle coordinate spaziali del corpo:
!
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31

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

[5.13]

"
1
2
$x (t ) = a xt + v0xt + x 0
2
$$
1
#y (t ) = ayt 2 + v0yt + y 0
2
$
$ z (t ) = 1 a t 2 + v t + z
z
0z
0
$%
2

r r
I parametri v0 e s0 costituiscono i cosiddetti valori iniziali e vanno spe! del problema. Le formule [5.7] e [5.12], o in modo ecificati in base ai dati
quivalente le formule [5.8] e [5.13], possono essere applicate ogni qual volta
si abbia a che fare con problemi riguardanti il moto di un corpo soggetto ad
una forza !
costante.

5.3

Il moto di un grave

Esempio tipico di moto uniformemente accelerato è il caso del moto
di un grave, di un corpo cioè in movimento soggetto alla sola forza di gravità. Si è detto nel § 4.5 che un corpo di massa m, libero di muoversi nello
spazio in prossimità della superficie terrestre, subisce una forza, detta forza di gravità
o forza peso, diretta verso il basso e direttamente proporzionar
r
le a m: F p = m g . Durante il moto, questa forza si mantiene costante e quindi il moto descritto
r dal
r grave sarà un moto uniformemente accelerato con
un’accelerazione a = g .
Per esemplificare il caso del moto di un corpo soggetto a forze costan!
ti, vediamo dunque come si possono risolvere alcuni problemi relativi al
moto dei !
gravi.
a) Risolviamo dapprima il problema relativo al moto di un grave lasciato cadere da
fermo dall’alto di una torre di altezza h. Con quale velocità esso arriverà al suolo?

La prima cosa da fare è definire un adeguato sistema cartesiano in cui descriveremo il moto. Adeguato significa che vogliamo evitarci complicazioni inutili; poiché il problema è evidentemente unidimensionale nella direzione del
r
vettore g , sarà opportuno usare una terna in cui uno degli assi (diciamo
l’asse x) sia in direzione verticale. Poniamo l’origine degli assi alla base della
torre e definiamo positiva la direzione verso l’alto.1 Inseriamo nella [5.6] e
[5.11] i dati del nostro problema:
!
[5.14]
ax=–g x(0)=h v(0)=0
Il moto è limitato alla direzione verticale e di conseguenza ci interessa solo la
formula relativa alla componente x. La legge oraria del moto è quindi:
[5.15]

1
x(t) = " gt 2 + h
2

Queste scelte sono totalmente arbitrarie. Si poteva benissimo porre l’origine in cima alla
torre oppure definire positiva!
la direzione verso il basso. Naturalmente in tali casi le condizioni [5.14] vanno modificate opportunamente.
1

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32

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
e la velocità in funzione del tempo è espressa da:
[5.16]

vx (t ) = "gt

Il problema richiede di calcolare la velocità al momento in cui il corpo raggiunge il suolo. Tradotto in termini matematici, significa che dobbiamo calcolare il valore di v all’istante
! t' nel quale x(t')=0. La [5.15] ci fornisce
un’equazione dalla quale si ricava il valore di t’:
1
2h
0 = " g t #2 + h ; t # =
2
g

[5.17]

Sostituendo il valore calcolato di t’ nella [5.14], si ottiene:
[5.18]

vx (t ") = #g t " = #g

!

2h
=# 2gh
g

Il segno negativo del risultato esprime il fatto che la velocità è diretta , in
senso contrario all’orientazione dell’asse x e quindi verso il basso.
!
b) Modifichiamo ora il problema precedente. Supponiamo che il corpo venga lanciato
sempre dall’alto della torre, ma con una velocità iniziale di modulo v0 in direzione orizzontale. Si calcoli a quale distanza dalla base della torre il corpo arriva a terra e
con quale velocità.
Il moto non è ora più unidirezionale, ma bidimensionale, nel piano definito
r
dalla direzione di v0 e dalla verticale. Consideriamo perciò una terna di riferimento cartesiana, con origine ai piedi della torre, in cui l’asse x sia orientato
r
lungo la direzione di v0 e l’asse y in direzione verticale verso l’alto. Essendo
il moto bidimensionale, ci interessano solo queste due componenti.
!
I dati del nostro problema, da inserire nella formula risolutiva, sono dunque:
! ax= 0; ay= – g; x(0)=0; y(0)=h; vx(0)=v0; vy(0)=0
[5.19]
Se ne deduce che la legge oraria del moto ha la forma:
#% x(t) = v0t
1 2
$
%& y(t) = " 2 g t + h

[5.20]
e la velocità è:
[5.21]

!

# v x (t ) = v 0
$
% v y (t ) = "g t

Il problema chiede a quale distanza dalla torre il corpo arrivi a terra, cioè
qual è il valore che assume la variabile x quando y=0. Per ottenere il risultato
si può ricavare dalla seconda
equazione della [5.20] il valore t' per cui y = 0 ,
!
risolvendo l’equazione:

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33

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

1
0 = " g t2 + h
2
2h
t" =
.
g

⇒

!

e sostituendo quindi nella prima equazione della [5.20] il valore trovato:

!

x(t ") = v0t " = v0

2h
.
g

Il valore delle componenti della velocità al momento dell’urto al suolo si può
ricavare dalla [5.24]: vx(t')=v0 e vy(t')= " 2 g h . Il modulo della velocità al
!

momento dell’urto al suolo è quindi v(t ") = vx2 + v 2y = v02 + 2gh .
!
c) Consideriamo ora il caso di un proiettile, che parte sparato da un punto posto al li! di modulo v0 in direzione inclinata di un angolo α
vello del suolo con velocità iniziale
rispetto al piano orizzontale. Si vuole calcolare:
1.

a quale distanza arriva il proiettile, supponendo che il punto d’arrivo sia alla
stessa altezza del punto di partenza, e con quale velocità;

2.

qual è l’altezza massima della traiettoria;

3.

qual è la velocità in tale punto del proiettile.

Il moto è anche questa volta bidimensionale, nel piano definito dalla direzione della velocità iniziale e dalla verticale. Consideriamo perciò una terna di
riferimento cartesiana, con origine nel punto di partenza, in cui l’asse x e
l’asse y definiscono tale piano, il primo orientato orizzontalmente, il secondo
orientato in direzione verticale verso l’alto.
I dati del nostro problema, da inserire nella formula risolutiva, sono dunque:
[5.22]

ay= 0; ay= – g;

x(0)=0; y(0)=0; vx(0)=v0 cos α;

vy(0)= v0 sin α

La legge del moto ha quindi la forma:
$& x(t) = v0 cos " t
1 2
%
&' y(t) = # 2 g t + v0 sin " t

[5.23]
e la velocità:
[5.24]

!

$ vx (t ) = v0 cos"
%
& v y (t ) = #g t + v0 sin "

La risposta alla domanda 1, si può dare calcolando, tramite la seconda equazione della [5.23], !quale sia l’istante tf in cui il proiettile arriva al suolo:

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34

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

1
0 = " g t 2f + v0 sin # t f
2
v sin "
tf = 2 0
g

⇒

!

e sostituendo quindi nella prima il valore trovato, si ottiene:

!

x(t f ) = v0 cos " t f = 2

v0
cos" sin " .
g

La risposta alla domanda 2 si può trovare osservando che nel punto più alto
della traiettoria la componente verticale della velocità è nulla. Quindi dalla
[5.24] l’istante tM in cui il proiettile arriva in tale punto risolve l’equazione:

!

0 = "g t M + v0 sin #
v sin "
tM = 0
g

⇒

!

e quindi

!

1 2
1 v 2 sin 2 # v02 sin 2 # 1 v02 sin 2 #
y M = y(t M ) = " g t M
+ v0 sin # t M = " g 0 2
+
=
2
2
g
g
2
g
Riguardo la domanda 3, si può osservare che la componente verticale della
velocità è nulla; resta quindi solo la componente orizzontale che è costante ed
uguale a v0 cos α .1

!

5.4

Le forze vincolari: la forza normale

Consideriamo un corpo appoggiato su un piano orizzontale (Fig. 5-1).
Esso è in condizione di quiete e quindi la risultante delle forze ad esso applicate deve essere nulla. L’azione rdella forza di gravità è dunque bilanciata
da una forza uguale e contraria N dovuta all’interazione con il piano, che
impedisce al corpo di muoversi verso il basso. Tale forza si dice forza vincolare, poiché essa ha come origine appunto il vincolo imposto al corpo che
gli impedisce di muoversi rnella direzione della normale al piano, o anche
!
forza normale. Il simbolo N , che usiamo in questi appunti per indicare tale
forza, ricorda appunto che essa ha direzione normale al piano.
Quanto valga effettivamente la forza vincolare dipende dunque dal
valore delle altre !
forze applicate al corpo, Essa è la reazione del piano alla
forza agente su di esso causa del corpo appoggiato. Il suo valore è quello
giusto per impedire il moto del corpo nella direzione del vincolo.

Matematicamente, il punto più alto della traiettoria corrisponde al massimo della funzione y(t). Quindi in tale punto dovrà essere nullo il valore della derivata y’(t), che per definizione è la componente verticale della velocità.
1

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35

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

Fig. 5-1

!

Che cosa succede se il piano su cui è appoggiato il corpo non è orizzontale? Ancora il vincolo agisce in modo da impedire il moto del corpo appoggiato nella direzione della normale al piano (Fig. 5-2). In questo caso il
corpo non resta in quiete; la forza di gravità agisce infatti in direzione verticale, non ortogonalmente quindi alla superficie del piano. Per vedere quanto valga allora la reazione vincolare, scomponiamo la forza di gravità nelle
due
r direzioni parallela ed ortogonale al piano (immaginiamo cioè la forza
m g come la somma vettoriale di due forze in tali direzioni). La componente
normale ha, come si evince dalla figura, modulo uguale a m g cos α ed è equilibrata dalla forza vincolare (che quindi ha anch’essa per modulo
m g cos α); resta dunque la componente parallela, che ha modulo uguale a
m g sin α e che produce sul corpo un’accelerazione diretta lungo la linea di
massima pendenza, il cui valore in modulo è g sin α.

Fig. 5-2
Finora è stato considerato il caso di un corpo vincolato a muoversi su
un piano, soggetto esclusivamente alla forza di gravità. Se ci sono altre forze agenti sul corpo, il ragionamento non cambia; si deve semplicemente tener conto di tutte queste altre forze presenti. Si abbia, per esempio, un
corpo posato su un piano orizzontale, tirato da una fune che agisce su di
esso in una
r direzione inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale (Fig.
5-3). Con F indichiamo la forza esercitata dalla fune.

!

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36

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

Fig. 5-3
r
In questo caso la forza vincolare N deve equilibrare nella direzione
ortogonale al piano la somma (tenendo conto dei segni!)
r della forza di gravità e della componente lungo la verticale della forza F ; nel caso in figura è
r
N = mg " F sin # .
!

!

5.5

La tensione di una fune

!

Quando una fune, o altro mezzo analogo, è fissata ad un corpo e tirata, si dice che è sottoposta a tensione. Essa esercita una forza di trazione
sul corpo, applicata al punto di fissaggio e diretta nella direzione della fune
stessa. Con tensione della fune si intende il modulo di tale forza.
Spesso si considera la fune come inestensibile (che cioè non si allunga sotto trazione) ed essa è allora considerata semplicemente come mezzo
di collegamento tra due corpi, che vieta loro di allontanarsi (si noti che la
fune, a differenza di quello che farebbe una sbarretta rigida, non impedisce
invece ai corpi di avvicinarsi). Essa esercita una forza d’uguale intensità sui
due estremi.
Ciò continua ad esser vero anche se la fune scorre una carrucola
(che considereremo di massa trascurabile e priva d’attrito). L’effetto della
carrucola è quello di cambiare la direzione d’azione della tensione.

Fig. 5-4
Un esempio interessante è quello di un corpo legato ad un punto fisso P da una fune inestensibile. La fune impedisce al corpo di allontanarsi
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37

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
da P; quando è tesa, essa esercita una forza vincolare nella direzione della
fune stessa Se supponiamo che il corpo legato alla fune di lunghezza r abbia una massa m e che venga fatto ruotare intorno a P con una velocità in
modulo v, in assenza di altre forze (Fig. 5-5), tale forza (la tensione della fune) può essere calcolata, semplicemente osservando che il corpo, per muoversi di moto circolare uniforme, deve essere soggetto ad un’accelerazione
diretta verso il centro pari a v2/r . La forza che produce questa accelerazione è la tensione della fune, il cui valore è perciò mv2/r.

Fig. 5-5

5.6

La forza d’attrito statico.

Consideriamo un libro appoggiato su un piano orizzontale. Se ad esso applichiamo lateralmente una forza di piccola entità, esso non si muove;
sperimentalmente osserviamo che, per smuoverlo dalla sua posizione, occorre applicare una forza che superi un certo valore. Questo fenomeno è
così spiegabile: in risposta alla forza applicata, le due superfici a contatto
offrono resistenza a scorrere l’una sull’altra. Ciò si manifesta con una forza,
detta forza d’attrito statico, di tipo vincolare, che si oppone al moto del corpo in direzione tangente alla superficie, finché la forza applicata non supera un valore di soglia, che dipende in generale dalla natura delle due superfici a contatto e dalla forza che preme l’una superficie contro l’altra.

Fig. 5-6
Si può verificare che in generale il valore massimo che può assumere
il modulo della forza d’attrito, corrispondente a tale valore di soglia, è determinato dalla relazione:
[5.25]

FA " µsN ,

dove N è il modulo della forza, di direzione normale all’area di contatto, che
preme una contro l’altra le due superfici, e il coefficiente di proporzionalità
!
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38

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
µs è detto coefficiente d’attrito statico. Nel caso appena considerato di Fig.
5-6 è evidentemente N = mg.

Fig. 5-7
Se il corpo è appoggiato su un piano inclinato, come illustrato in Fig.
5-7, la superficie di contatto non è orizzontale ed occorre tener presente
che solo la componente della forza peso normale alla superficie di contatto
(pari a mg cosα) contribuisce a premere il corpo sul piano. La forza d’attrito
massima vale perciò µsN = µs mg cosα .
Siamo ora in grado di rispondere alla domanda, quale sia l’angolo
massimo d’inclinazione del piano inclinato perché il corpo appoggiato su di
esso si mantenga in quiete, fissato un valore del coefficiente d’attrito µs.
Perché il corpo si mantenga in quiete occorre infatti che la risultante delle
forze ad esso applicate sia nulla. Con riferimento a Fig. 5-7, ciò implica che
N=mg cosα e che il modulo della forza d’attrito FA sia pari alla componente
tangenziale della forza peso mg sinα. La disequazione [5.25] impone che
debba essere mg sinα ≤ µs mg cosα e cioè µs ≥ tgα.

!

Quando per determinare le condizioni per cui un corpo resta in quiete si impone nel bilancio delle forze che la risultante sia nulla occorre evidentemente considerare tutte le forze in giuoco, sia per quanto riguarda la
componente tangenziale al piano sia quella normale. Ad esempio nel caso
illustrato
in Fig. 5-8, in cui sul corpo agisce, oltre alla forza peso, una forza
r
F la cui direzione è inclinata di un angolo α rispetto al piano orizzontale
d’appoggio, facendo il bilancio delle componenti delle forze in direzione parallela ed ortogonale al piano, si ha:
#N + F sin " = mg
$
%FA = F cos "
e quindi la condizione di equilibrio, utilizzando la [5.25], sarà:
!

F cos" # µs (mg $ F sin " ) .

!

Fig. 5-8
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39

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

5.7

La forza d’attrito dinamico.

Fin qui abbiamo esaminato l’effetto dell’attrito su un corpo in quiete.
Si consideri ora un corpo in movimento, che struscia su un piano. Anche in
questo caso è presente una forza d’attrito, detta ora di attrito dinamico; essa
agisce in direzione contraria allo spostamento (e quindi alla direzione del
vettore velocità) e il suo modulo dipende ancora dalla natura delle due superfici in contatto e dalla forza normale che le preme una contro l’altra (in
generale non dipende invece dalla velocità del moto). Quindi:
[5.26]

Fd = µd N

dove µd è il cosiddetto coefficiente di attrito dinamico, che per il solito ha un
valore più piccolo del coefficiente di attrito statico µs esistente tra le stesse
due superfici.
!
Sottolineiamo qui la differenza tra il significato del coefficiente
d’attrito statico e quello dinamico, che è poi la differenza che c’è tra la formula [5.25] e [5.26]. La forza d’attrito statica è una forza di reazione statica:
essa ha il valore necessario per bilanciare le altre forze presenti; la relazione [5.25] è una disuguaglianza che dice quale possa essere il valore massimo di tale forza. La relazione [5.26] ci fornisce invece il valore effettivo della
forza d’attrito dinamica quando il corpo è in movimento rispetto al piano.

5.8

Forze d’attrito viscoso

C’è un altro tipo di forze d’attrito importante da considerare ed è
quello che oppone una resistenza al movimento di un corpo, che si muova
entro un fluido (liquido o aeriforme). Una barca, per farsi strada nell’acqua
con velocità costante, ha bisogno di un motore che la spinga e così
un’automobile che si muova su una strada perfettamente piana deve farsi
strada nell’aria. La forza esercitata dal motore è in tali condizioni quella che
esattamente bilancia la forza di resistenza (forza viscosa) del mezzo.
Per basse velocità, quando il moto del fluido attorno al corpo che avanza in esso si mantiene regolare (flusso laminare), tale forza di resistenza
è direttamente
proporzionale alla velocità ed è diretta in senso opposto al
r
vettore v :
r
r
[5.27]
f A = "#v ,
!dove β è la costante di proporzionalità.
Per velocità più elevate, il flusso del fluido diviene turbolento e la for!
za di resistenza, ancora diretta
in direzione opposta al moto, aumenta in
funzione del quadrato della velocità:
[5.28]

f A = " 12 C # Av 2

dove ρ è la densità del fluido, A è l’area della sezione del corpo in movimento nel piano ortogonale alla direzione di spostamento e C è un coefficiente
che tiene conto della forma
! del corpo.
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40

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
Quando si considera il moto di un corpo macroscopico nell’aria, nella
pratica si ha sempre a che fare con un flusso turbolento e quindi con la
formula [5.28].
Per vedere, almeno qualitativamente, l’effetto di una tale forza sul
moto, esaminiamo il caso di un corpo che cade verticalmente in un mezzo
viscoso. Esso è soggetto ad una forza totale nella direzione verticale
fT = mg " f A (abbiamo qui assunto positiva la direzione verso il basso).

!

Supponiamo il caso di flusso laminare; sarà allora fT = mg " #v . E’
mg
chiaro che, se all’inizio v <
, ne segue che fT = mg " #v > 0 e quindi il cor"
po accelera, aumentando la velocità di caduta. Così!facendo però, la forza
totale (e quindi l’accelerazione) diminuisce, fintantoché v raggiunge il valore
!
mg
critico vc =
.!
Quando v = vc, si ha fT = 0; l’accelerazione quindi si annulla
"
e da allora la caduta prosegue quindi a velocità costante.
mg
Se invece inizialmente v >
, si ha fT = mg " #v < 0 ; la velocità quindi
"
!
tende a diminuire fino a raggiungere ancora il valore critico trovato prima.
In definitiva, dopo un po’ di tempo (asintoticamente) il corpo arriverà comunque a muoversi con la velocità! vc, qualunque fosse la sua velocità ini!
ziale.
Nel caso che il moto sia in regime turbolento, il ragionamento non
cambia. Qualunque sia la velocità iniziale, si arriva, pur di attendere un
tempo sufficiente, ad una condizione di moto rettilineo uniforme. La velocità critica in questo caso si ricava utilizzando l’espressione [5.28] della forza
2mg
d’attrito e vale vc =
.
C "A

!

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41

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

6. L’energia ed il lavoro

6.1

L’energia cinetica.

Per fermare un corpo in movimento è necessario applicare ad esso
una forza, di modo che l’impulso ad esso applicato sia pari alla sua quantità di moto (§ 4.2). In altri termini, se al corpo è applicata una forza costante
in direzione contraria alla direzione di moto, il tempo necessario a fermare
il corpo è direttamente proporzionale alla sua velocità iniziale. Se però, applicando ancora una forza costante contraria al moto, anziché il tempo si
misura lo spazio percorso dal corpo prima di fermarsi, si constata che lo
spazio percorso è proporzionale al quadrato della velocità; raddoppiando la
velocità infatti lo spazio percorso si quadruplica.
Da questa osservazione, discende che tornerà utile per un corpo in
movimento definire una grandezza, che prende il nome di energia cinetica:
[6.1]

Ecin = 12 mv 2 ,

proporzionale alla sua massa e al quadrato della sua velocità.
Il quadrato di un vettore è una grandezza scalare. E’ evidente quindi
! cinetica è una grandezza scalare.
dalla definizione che l’energia

6.2

Il lavoro di una forza costante.

Nel § 4.2 si è analizzata la relazione esistente tra la variazione della
quantità di moto di un corpo e l’impulso delle forze agenti su esso. Quando
la risultante delle forze agenti è costante, si è definito l’impulso come il prodotto della forza per l’intervallo di tempo in cui essa era applicata ([4.3]).
Considerando ancora il caso di una forza agente costante, definiamo ora
una grandezza, che chiameremo lavoro, che si ottiene facendo il prodotto
della forza per lo spostamento effettuato dal corpo su cui la forza stessa agisce.
Sia la forza che lo spostamento sono grandezze vettoriali. Occorre
perciò considerare anche quale sia la direzione relativa dei due vettori, cioè
quanto valga l’angolo tra la direzione della forza e la direzione dello spostamento.
Indicando tale angolo con α, il lavoro eseguito dalla forza costanr
r
te f su un corpo che esegue uno spostamento "s è definito allora come il
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!

!

42

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
prodotto del modulo della forza per la proiezione dello spostamento nella direzione della forza (Fig. 6-1a):
r
L = f " (#s cos$ )
[6.2]
r
Potremmo definire il lavoro eseguito da una forza costante f su un
r
corpo che esegue uno spostamento "s anche in altro modo, come il prodot!
to del modulo dello spostamento
per la proiezione della forza nella direzione
dello spostamento (Fig. 6-1b):
!
!
L = ( f cos " ) #s
[6.3]
ovvero ancora scrivere:
[6.4]

r
r
L = f " #s cos $

Fig. 6-1a

Fig. 6-1b

!
e definire il lavoro come il prodotto del modulo della forza per il modulo dello
spostamento, moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso tra le direzioni
dei due vettori. E’ evidente
! che le espressioni [6.2], [6.3], [6.4] sono identiche tra loro.

Dalla definizione di lavoro data sopra si deduce immediatamente
quale ne sia l’unità di misura coerente con il Sistema Internazionale:
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura di lavoro è quel lavoro effettuato da una forza di 1 newton per spostare un corpo di 1 metro.
Tale unità prende il nome di joule (simbolo: J).
1 joule =1 N · 1 m
Un’osservazione importante: la grandezza energia cinetica, che abbiamo definita nel § 6.1, è omogenea alla grandezza ora definita come lavoro: le due grandezze si esprimono quindi nelle stesse unità di misura. Se si
esegue l’analisi dimensionale della grandezza “energia cinetica”, si constata
infatti che l’unità di misura dell’energia cinetica nel Sistema Internazionale
# m &2 #
m&
è kg " % ( = %kg " 2 ( " m = N " m = J .
s '
$s' $

!

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43

Nicolò Beverini – Appunti di fisica

6.3

Il prodotto scalare di due vettori

r
r
L’operazione di moltiplicazione tra i due vettori f e "s che abbiamo
usato per definire il lavoro può essere generalizzata per definire il prodetto
di due vettori qualunque.
r
r
DATI DUE VETTORI a E b , SI DEFINISCE PRODOTTO
SCALARE DEI DUE
! !
VETTORI LA GRANDEZZA SCALARE CHE SI OTTIENE MOLTIPLICANDO I MODULI
DEI DUE VETTORI ED IL COSENO DELL’ANGOLO COMPRESO.

In modo equivalente
! si può definire il prodotto scalare come la gran!
dezza che si ottiene (si è visto nel paragrafo precedente che è un modo diverso di dire la stessa cosa) moltiplicando il modulo di un vettore per la
proiezione dell’altro vettore nella direzione del primo.
r r
L’operazione viene indicata simbolicamente a " b inserendo un punto
a mezz’altezza tra i simboli dei due vettori.
Per definizione quindi:
r r r r
a "b = a b !
cos#
[6.5]
E’ facile dimostrare che il risultato di questa operazione può essere
scritto in termini delle componenti cartesiane ax, ay, az e bx, by, bz dei due
vettori nella forma:
!
r r
[6.6]
a " b = a xbx + ayby + a zbz
Il prodotto scalare è dunque essere esprimibile anche come la somma
dei prodotti delle componenti dei due vettori.
! [6.5] si ricava che il prodotto scalare di due vettori
Dalla definizione
ha valore massimo quando i vettori sono paralleli (cos 0° = 1), minimo (negativo) se sono antiparalleli (cos 180° = –1), nullo se sono ortogonali
(cos 90° = 0).
Ritornando alla definizione
r di lavoro, si può concludere che il lavoro
eseguito da una forza costante f su un corpo per effettuare uno spostamento
r
"s è definito dal prodotto scalare dei due vettori:
r r
[6.7]
L = f " #s .
!
!

6.4

Il lavoro effettuato dalla forza peso.

!
Un caso di un corpo che si muove soggetto ad una forza costante, è,
come si è visto nel capitolo precedente, quello di un corpo soggetto alla forza di gravità in prossimità della superficie terrestre.
Si consideri dunque un corpo di massa m che, sotto l’azione della
forza peso, si sposta lungo la verticale dalr punto A al punto B, scendendo
di un dislivello Δh (Fig. 6-2). La forza m g è diretta nella stessa direzione
r r
r
dello spostamento "s e quindi il lavoro è L = f " #s = mg #h .
!
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!di laurea in Informatica Applicata !

44

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
Se il punto B non è sotto la verticale di A (Fig. 6-2b), ma il segmento
AB fa un angolo α direzione della verticale, applicando la definizione [6.4]
ed osservando che il rapporto tra la differenza d’altezza Δh tra A e B ed il
modulo Δs dello spostamento (che rè la lunghezza del segmento AB) è il cor
seno dell’angolo α, si ottiene L = f " #s = m g #s cos$ = m g #h . Il lavoro eseguito dalla forza peso su un corpo di massa m risulta dunque in entrambi i
casi pari al peso del corpo moltiplicato per la differenza di quota tra il punto di partenza e il punto d’arrivo, indipendentemente dall’effettiva direzione
!
di spostamento.

A
mg
Fig. 6-2a

A

"

!h

mg

!h

B

Fig. 6-2b

B

E’ evidente che per uno spostamento in direzione orizzontale, essendo forza e spostamento ortogonali tra loro (α=90°), il lavoro risulta nullo.

6.5

Definizione generale di lavoro

Se la forza non è costante durante lo spostamento, la rdefinizione [6.7]
cade in difetto, non esistendo più un valore univoco di f . Possiamo comunque definire propriamente anche in questo caso il lavoro, procedendonel modo seguente. Si suddivide il percorso effettuato dal corpo in tanti
parti Δsi abbastanza brevi, in modo da poter considerare pressoché costan!
te il valore fi del modulo della forza in ciascuno
di questi elementi di perr
r
corso (consideriamo qui per semplicità che f e "s siano collineari per tutto
il tempo dello spostamento e che quindi sia sempre cosα = 1). Calcoliamo
ora, per ognuno di questi elementi di percorso Δsi, il lavoro ΔLi eseguito dalla forza, considerando su ciascuno!di questi
elementi un valore della forza
!
costante fi, pari a quello che essa ha in corrispondenza del punto iniziale
dell’elemento di percorso considerato. Sarà dunque ΔLi = fi Δsi. La somma
dei singoli lavori elementari ΔLi fornisce il valore del lavoro L per l’intero
spostamento:
[6.8]

L = # "Li = # f i $ "si
i

i

Questa non è evidentemente una definizione esatta. La scelta di utilizzare il valore di fi, in corrispondenza del punto iniziale dell’elemento di
percorso considerato !
è del tutto arbitraria; potevamo scegliere in altro modo altrettanto valido il valore di fi , per esempio come il valore della forza
nel punto di mezzo di Δsi oppure il valore più grande assunto in tale elemento di percorso o il più piccolo. A seconda del criterio di scelta usato, i
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45

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
risultati saranno diversi. Quanto più brevi sono gli intervalli Δsi, tanto più
piccola però sarà le variazioni possibili del valore di f e tanto minore sarà di
conseguenza l’errore del risultato finale. In modo matematicamente corretto, applicando i metodi dell’analisi matematica, si può dimostrare che il limite dell’espressione [6.8], quando si faccia tendere a zero la lunghezza di
ciascun elemento di percorso Δsi , tende ad un valore preciso, ben definito,
che i matematici definiscono come l’integrale definito della funzione f sul
percorso da A a B.
In forma matematicamente esatta, possiamo quindi definire il lavoro
effettuato da una forza variabile (quando la forza è parallela allo spostamento) nel modo seguente:
[6.9]

L = lim % fi $ "si =
i

"s#0

B

& f ds

A

La definizione [6.9], valida quando forza e spostamento
sono sempre
r
r
paralleli, è immediatamente generalizzabile al caso in cui f e "s hanno di!
rezione arbitrarie, scrivendo:
[6.10]

6.6

L = lim %
"s#0

i

r r
fi $ "si =

B

r

r

& f $ d!s

A

!

Forze elastiche e lavoro di una forza elastica.

!
Un esempio di forza che non si mantiene costante nel corso dello
spostamento, è la forza elastica. Si pensi ad una molla: essa, lasciata libera, ha una certa lunghezza l0. Applichiamo ad un capo una forza a tirare la
molla; sperimentalmente si osserva che questa si allunga e che
l’allungamento è direttamente proporzionale alla forza applicata. Qualora la
molla venga invece compressa, si osserva un accorciamento anch’esso proporzionale alla forza applicata. Dal terzo principio della dinamica deduciamo che la molla esercita su un corpo ad essa collegato una forza, che è direttamente proporzionale al suo allungamento o accorciamento. Detta x la
variazione di lunghezza rispetto alla lunghezza della molla a riposo l0, la
forza da essa esercitata è dunque:
[6.11]

f = – kx

dove k è la costante di proporzionalità, caratteristica della particolare molla. Una molla “dura” è caratterizzata da un valore elevato di k, una “morbida” da un valore piccolo di k. Si noti il segno negativo nell’espressione
[6.11]. Esso evidenzia che la forza elastica è una forza di richiamo: la direzione della forza è cioè opposta alla deformazione x subita dalla molla.
In modo equivalente alla [6.11], se si indica con l la lunghezza effettiva della molla, essendo l = l0 + x, si può scrivere:
[6.12]

f = – k ( l – l0 ) .

Le forze, per cui vale la legge [6.11] (nota anche come legge di Hooke),
sono dette forze elastiche e costituiscono una classe di forze che si incontrano assai di frequente in fisica.
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46

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
Calcoliamo ora quale sia il lavoro effettuato dalla forza elastica su un
corpo ad esso collegato, quando la molla passa da una lunghezza l1 = l0 + x1
ad una lunghezza l2 = l0 + x2, cioè quando l’allungamento x passa dal valore
x1 al valore x2.
Poiché la forza non è costante durante lo spostamento, si deve applicare la definizione generale [6.10] e calcolare perciò l’integrale:
L=

[6.13]

x2

"

x1

$ x 2 'x 2
kx 2 kx 2
f dx = " (#kx ) dx = #k & ) = # 2 + 1 .
2
2
% 2 (x1
x1
x2

Effettuiamo in particolare il calcolo del lavoro fatto da una molla di
costante elastica k, che inizialmente è allungata di un tratto x0, per riportarsi nella!posizione d’equilibrio (x =0). Si ottiene:
$ x '0
1
L = # ("kx ) d x = "k & ) = kx 02
% 2 (x 0 2
x0
0

[6.14]

6.7

Il teorema dell’energia cinetica

!
Si è visto in precedenza nel § 6.2 che lavoro ed energia cinetica sono
grandezze omogenee tra loro. Esiste in effetti una relazione precisa tra il lavoro L eseguito da una forza Æ’ su un corpo e la variazione di energia cinetica che questo subisce.
relaione è una diretta conseguenza della 2a
r Questa
r
legge della dinamica f = ma .
Sappiamo infatti che la 2a legge della dinamica può infatti essere
scritta nella forma:
r
r
!
dv
[6.15]
f =m
dt

!

Calcoliamo, usando la definizione [6.10], il lavoro dL fatto dalla forza
r
r
f per spostare un corpo di una quantità infinitesima d s :
r r
r! r
r r
r r
dv " d s
[6.16]
d L = f " d s = ma " d s = m
= mv " d v ,
dt
! r
r ds
dove si è applicata la definizione di velocità v =
.
dt
!
Integrando
la [6.16] sull’intero spostamento ed indicando con A e B il
punto di partenza e il punto d’arrivo e con vA e vB i rispettivi valori della velocità:
!
[6.17] L =

B

#

A

r r vB r r
vB
(B )
(A )
f " d s = # mv " d v = [ 12 mv 2 ] v = 12 mvB2 $ 12 mvA2 = Ecin
$ Ecin
vA

A

Il risultato dimostra che, quando un corpo si sposta sotto l’azione di
una forza, la sua energia cinetica varia di una quantità pari al lavoro eseguito
! dalla forza. La relazione
(B )
(A )
L = Ecin
" Ecin

[6.18]

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!

47

Nicolò Beverini – Appunti di fisica
prende il nome di teorema dell’energia cinetica ed ha un valore assolutamente generale.

6.8

Applicazioni del teorema dell’energia cinetica.

L’utilizzo del teorema dell’energia cinetica permette di risolvere in
modo semplice molti problemi, evitando le difficoltà matematiche che assai
spesso si dovrebbero afffrontare per risolvere completamente l’equazioni del
moto. Vediamo qui alcuni esempi.
a) Un’automobile si muove lungo una traiettoria orizzontale con velocità costante v0. Ad un certo istante si comincia a frenare, applicando una forza F
costante, diretta in senso contrario al moto. Quanta strada fa l’auto prima di
fermarsi?
Per rispondere alla domanda nella maniera più semplice, senza bisogno di
trovare esplicitamente la legge oraria del moto, possiamo applicare il teorema dell’energia cinetica. All’istante iniziale l’auto ha un’energia cinetica
1
mv02 ; quando l’auto si ferma, la sua energia cinetica è nulla. La variazione
2
d’energia cinetica è quindi "Ecin = # 12 mv02 (essa diminuisce infatti di una quantità 12 mv02 ).
!
!

!

D’altra parte, se indichiamo con l lo spazio percorso dall’auto durante la
! dalla forza costante F è L = – F l (il segno negativo
frenata, il lavoro fatto
è dovuto al fatto che la forza è diretta in senso opposto al moto). Applicando
il teorema dell’energia cinetica, si ha l’eguaglianza "F l = " 12 mv02 , ovvero
m 2
l=
v0 .
2F
Il risultato ottenuto dimostra che lo spazio!necessario a fermare un’auto è
proporzionale al quadrato della sua velocità iniziale; se questa raddoppia, lo
spazio di frenata si moltiplica per quattro.

Consideriamo ora il caso del moto di un corpo che scivola giù da un
piano inclinato in assenza d’attrito:
b) Un corpo scivola senza attrito lungo un piano inclinato, partendo da fermo
da un’altezza h0. Qual è la sua velocità, quando arriva in fondo al piano inclinato?
Il corpo è soggetto alla forza peso ed alla forza di reazione vincolare del piano, che come abbiamo visto nel § 5.4 ha direzione ortogonale al piano stesso.
Visto che il corpo si muove sul piano, l’angolo tra la forza di reazione vincolare e la direzione del moto è sempre 90°; ne consegue che il lavoro fatto da
tale forza è sempre nullo. Si deve quindi considerare solo il lavoro effettuato
dalla forza peso, che come si è visto prima (§ 6.4), vale mg Δh, dove Δh è la
differenza tra la quota di partenza e la quota d’arrivo, indipendentemente da
quale sia l’angolo d’inclinazione del piano inclinato.

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