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problema aritmetica 1 .pdf



Nome del file originale: problema_aritmetica_1.pdf

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Determinare i numeri naturali m, n ∈ N tali che
1. m + n = 8075
2.

mcm(m,n)
MCD(m,n)

= 84

Svolgimento: la soluzione da me proposta fa uso della fattorizzazione unica
in numeri primi. Si cominci con il considerare
8705 = 52 · 17 · 19,

84 = 22 · 3 · 7

Dovendo MCD (d’ora in poi user`o questa notazione pi`
u semplice in luogo
di MCD(m, n)) dividere m e n, allora deve dividere anche la loro somma,
ovvero 8075. Di conseguenza si ha la seguente relazione di divisibilit`a:
MCD|52 · 17 · 19
Ma allora MCD non pu`o che essere nella forma
MCD = 5i · 17j · 19k
con i ∈ {0, 1, 2}, j ∈ {0, 1}, l ∈ {0, 1}.
Allora esisteranno k1 , k2 ∈ N due numeri interi tali che
(1)

m = MCD · k1 = 5i · 17j · 19k · k1
n = MCD · k2 = 5i · 17j · 19k · k2

Sommando membro a membro, tenendo conto della relazione 1 ottengo
52 · 17 · 19 = 5i · 17j · 19k · (k1 + k2 )



52−i · 171−j · 191−k = k1 + k2 .

Cerchiamo ora di sfruttare la relazione 2. Una formula nota che lega mcm e
MCD asserisce che
(2)

mcm =

m·n
MCD

Inoltre dalle equazioni (1) risulta che m · n = MCD2 · k1 · k2 . Utilizzando
questi risultati nella relazione 2 otteniamo
84 =

mcm
m·n
=
= k1 · k2
MCD
MCD2

Dunque ricapitolando abbiamo le relazioni
(i) k1 + k2 = 52−i · 171−j · 191−k
1

(ii) k1 · k2 = 22 · 3 · 7
Un buon punto di partenza `e sfruttare la relazione (ii) e l’unicit`a della fattorizzazione in numeri primi. Vediamo quanti modi abbiamo di distribuire i
fattori 2, 2, 3, 7 tra k1 e k2 in maniera coerente con la (i). Nella (i), infatti,
a destra abbiamo un numero dispari, quindi il 22 deve essere assegnato solo,
ad esempio, a k1 (altrimenti avremmo la somma di numeri pari)(oppure,se
si vuole, perch`e essendo k1 e k2 ottenuti dalla divisione di m e n per il loro
MCD, essi devono essere coprimi); a questo punto distinguiamo i restanti 4
possibili casi:
• Se k1 = 22 · 3 = 12 e k2 = 7, allora k1 + k2 = 19.
Questo porta all’uguaglianza 19 = 52−i ·171−j ·191−k . Per l’unicit`a della
fattorizzazione risulta allora i = 2, j = 1, k = 0.
Dunque MCD= 52 · 17 = 425. Ma allora la (1) ci dice che
m = MCD · k1 = 425 · 12 = 5100
n = MCD · k2 = 425 · 7 = 2975
• Se k1 = 22 · 3 · 7 = 84 e k2 = 1, allora k1 + k2 = 85 = 5 · 17.
Questo porta all’uguaglianza 5 · 17 = 52−i · 171−j · 191−k . Per l’unicit`a
della fattorizzazione risulta allora i = 1, j = 0, k = 1. Dunque MCD=
5 · 19 = 95. Ma allora la (1) ci dice che
m = MCD · k1 = 95 · 84 = 7980
n = MCD · k2 = 95 · 1 = 95
• Se k1 = 22 · 7 e k2 = 3 allora k1 + k2 = 31 porterebbe ad una contraddizione, visto che 31 = 52−i · 171−j · 191−k non ha soluzione per alcuna
terna i, j, k, essendo 31 numero primo.
• Se k1 = 22 e k2 = 3 · 7, allora k1 + k2 = 25 = 52 .
Questo porta all’uguaglianza 52 = 52−i · 171−j · 191−k . Per l’unicit`a
della fattorizzazione risulta allora i = 0, j = 1, k = 1. Dunque MCD=
17 · 19 = 323. Ma allora la (1) ci dice che
m = MCD · k1 = 323 · 4 = 1292
n = MCD · k2 = 323 · 21 = 6783
Questo esaurisce tutte le possibilit`a. Dunque le soluzioni sono date da
2

1. m = 5100,

n = 2975

2. m = 7980,

n = 95

3. m = 1292,

n = 6783

e ovviamente dalle coppie simmetriche ottenute scambiando m e n.

3


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