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DISEGNO TECNICO (chieregato marco) .pdf



Nome del file originale: DISEGNO TECNICO (chieregato marco).pdf
Titolo: PROGRAMMA 1 E 2 C
Autore: Stefano

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CHIEREGATO MARCO

INDICE
LA SQUADRATURA …………………………………………………………Pag. 3
TIPI DI LINEE E NORME DI SCRITTURA………………………………. Pag. 5
LEGGI FONDAMENTALI DEL DISEGNO……………………………… Pag. 12
IL PUNTO E LA LINEA……………………………………………………. Pag. 13
TAVOLA N ° 1 COSTRUZIONI GEOMETRICHE ………………………Pag. 14
GLI ANGOLI ………………………………………………………………. Pag. 16
LUOGHI GEOMETRICI ………………………………………………….. Pag. 17
TAVOLA N ° 2 COSTRUZIONI GEOMETRICHE ………………………Pag. 18
IL TRIANGOLO ……………………………………………………………. Pag. 20
I QUADRILATERI …………………………………………………………. Pag. 21
TAVOLA N ° 3 POLIGONI REGOLARI DI LATO DATO………………Pag. 22
TAVOLA N ° 4 TRIANGOLI ……………………………………………….Pag. 24
TAVOLA N ° 5 QUADRILATERI ………………………………………… Pag. 26
TAVOLA N ° 6 QUADRILATERI ………………………………………… Pag. 28
TAVOLA N ° 7 POLIGONI REGOLARI ………………………………… Pag. 30
LA CIRCONFERENZA ……………………………………………………. Pag. 32
TANGENZE E RACCORDI ………………………………………………. Pag. 33
TAVOLA N ° 8 TANGENZE ……………………………………………… Pag. 34
TAVOLA N ° 9 TANGENZE ………………………………………………. Pag. 36
TAVOLA N ° 10 RACCORDI ……………………………………………. Pag. 38
TAVOLA N ° 11 RACCORDI ……………………………………………. Pag. 40
TAVOLA N ° 12 TANGENZE E RACCORDI……………………………. Pag. 42
TAVOLA N ° 13 TANGENZE E RACCORDI …………………………… Pag. 44
TAVOLA N ° 14 TANGENZE E RACCORDI …………………………… Pag. 46
CURVE POLICENTRICHE PIANE ……………………………………… Pag. 48
TAVOLA N ° 15 CURVE POLICENTRICHE PIANE E LA SPIRALE DI
ARCHIMEDE ………………………………………………………………. Pag. 48

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CHIEREGATO MARCO

CURVE FONDAMENTALI ………………………………………………..Pag. 50
TAVOLA N ° 16 ELLISSE …………………………………………………Pag. 54
TAVOLA N ° 17 PARABOLE …………………………………………… Pag. 56
TAVOLA N ° 18 IPERBOLE ………………………………………………Pag. 58
TAVOLA N ° 19 LA SPIRALE DI’ ARCHIMEDE ………………………Pag. 60
TAVOLA N ° 20 LAVORO DI’ GRUPPO ……………………………….. Pag. 62

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LA SQUADRATURA

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TIPI DI LINEE E NORME DI SCRITTURA
Le linee rappresentano gli elementi fondamentali di un disegno tecnico. In un disegno le linee
si distinguono in base a due attributi: il tipo e lo spessore. I tipi e gli spessori di linea che è
possibile utilizzare sono stabiliti dalla normativa. Le norme che soprassiedono al tracciamento
delle linee costituiscono le regole di rappresentazione. Di solito in un disegno ad una linea di
determinato spessore e tipo si associa un significato specifico. Ad esempio il tipo e lo spessore
varieranno in relazione al fatto che la linea rappresenti, a seconda dei casi, uno spigolo in
vista, uno spigolo nascosto, una quota e così via. Come ad un determinato spessore e tipo di
linea si associ un particolare significato è stabilito dalle regole di applicazione.
Le regole di applicazione possono variare in relazione al settore tecnico cui il disegno si
riferisce. Quindi una linea di uguale tipo e spessore potrebbe avere diverso significato in due
disegni relativi a due contesti tecnici differenti.
La normativa sulle linee è stata recentemente modificata. In Italia, fino al 1/4/2002 era in
vigore la norma UNI 3968 la quale, dalla data indicata, è stata sostituita dalla EN ISO 12820. La differenza sostanziale è che la prima rappresenta un normativa di rappresentazione
ed applicazione, la seconda è soltanto una normativa di rappresentazione. Sebbene la UNI
3968 sia stata ritirata, è comunque opportuno conoscerla, in quanto gran parte dei disegni
tecnici civili ed industriali, nonché, ovviamente, lo storico esistente, fa riferimento ad essa.
La grossezza di una linea (in pratica il suo spessore) è rappresentato dalla dimensione
trasversale della linea. In un disegno è possibile utilizzare soltanto 2 grossezze, pertanto, in
base allo spessore, le linee si dividono in grosse e fini. In un disegno il rapporto tra la
dimensione trasversale delle linee grosse e la dimensione trasversale delle linee fini non deve
essere inferiore a 2. La dimensione trasversale (in mm) delle linee grosse e fini deve essere
scelta tra i valori della seguente serie:
0.18 0.25 0.35 0.50 0.70 1.0 1.4 2.0
I tipi di linea considerati dalla norma sono di seguito elencati. Ciascun tipo è associato ad una
lettera, pertanto, quando, ad esempio, si dirà “linea tipo A”, si intenderà linea continua grossa.

Si noti che le linee cosiddette miste debbono intendersi come linee tratto lungo-tratto breve, e
non come linee tratto-punto.

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La normativa stabilisce in maniera dettagliata i campi di applicazione dei vari tipi di linea,
come mostrato nel prospetto che segue.

NOTA: sebbene le linee tipo C e D, siano tra loro intercambiabili, in uno stesso disegno deve
essere utilizzato un solo tipo di linea.
Se si sovrappongono due o più linee di tipo differente viene dato il seguente ordine di
priorità:

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Esempi di applicazione di linea continua grossa

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LEGGI FONDAMENTALI DEL DISEGNO
1.
2.
3.
4.

Per un punto passano infinite rette
Una retta contiene infiniti punti
Due punti determinano una retta
Due rette determinano un punto

I punti si indicano con lettere maiuscole e se è un punto generico si indica con la lettera P

Le rette si indicano con lettere minuscole e se è una retta generica si indica con la lettera “r” .

Se un disegno si vuole indicare tutta la lunghezza del segmento si scrivono le due lettere dei
due punti che lo compongono e poi si mette una linea sopra di esse .

Una retta può essere spezzata se è composta da diversi segmenti.

Una retta può essere orizzontale o verticale dopo aver determinato l’orientamento del foglio

Una retta può essere parallela e non parallela.

Due rette si dicono convergenti quando convergono in un punto ben preciso invece si dicono
divergenti quando partono da un punto ben preciso e si divergono in direzioni ben diverse

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IL PUNTO E LA LINEA
Come in tutte le discipline scientifiche anche nella
geometria si adotta una terminologia specifica,
finalizzata a definire con precisione tutto ciò che si
vuole trattare. Si riportano pertanto in queste
schede le principali definizioni geometriche.

Due rette sono parallele se, pur appartenendo allo
stesso piano non hanno punti in comune, ossia non
si incontrano,

Enti o elementi geometrici
Sono i punti, le linee, i piani, le figure piane e
solide dotate di determinate caratteristiche.
Figura geometrica
È un insieme di elementi geometrici.
Punto
È l'ente geometrico più semplice; esso è privo di
dimensioni serve a definire una posizione, univoca
(una e una soltanto) nello spazio o dove si
incontrano due rette complanari non parallele o a
costituire l'elemento separatore di due linee
contigue. Si indica con una lettera maiuscola
dell'alfabeto latino (A, B, C, ecc.).

perpendicolari se si incontrano formando angoli
retti, incidenti se hanno un punto in comune,
coincidenti se hanno tutti i punti in comune.
Definiamo orizzontale una linea retta parallela a
una immaginaria linea di orizzonte, verticale la
linea retta perpendicolare a questa, oblique tutte le
rette inclinate.
Le rette e le linee in genere sono indicate con una
lettera minuscola dell'alfabeto latino (a, b, c, ...)

Linea
È l'entità geometrica definita dall’insieme delle
posizioni successive di un punto in movimento; ha
come unica dimensione la lunghezza.

Semiretta
È una parte di retta che inizia un punto detto
origine. Un punto P di una retta la divide in due
semirette con origine in P.
Segmento
Porzione di retta limitata da due punti detti estremi
Linea spezzata
È una linea formata da segmenti consecutivi
Linea curva
È una linea in cui nessuna parte di essa è un
segmento di retta

Linea retta
È definita da una serie infinita di punti allineati
secondo un'unica direzione.

Linea mista
È una linea formata da linee spezzate e curve. Oltre
a queste definizioni fondamentali, la linea può
essere definita a molteplici modi in base al suo
andamento, al suo spessore ecc.
Superficie
È Ia parte visibile di un corpo; essa può essere
piana o curva a seconda della forma del corpo. La
misura di grandezza della superficie è l'area.

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Tavola n ° 1

1) Disegnare l’asse di un segmento AB
Si dice asse di un segmento la perpendicolare ad esso condotta per il suo punto di mezzo. Si centri in A e in B
con raggi uguali tra loro e maggiori della metà del segmento ( più grandi possibili), si determinino i punti C e
D che congiunti definiscono l’asse cercato

2) Perpendicolare ad una retta per il suo punto medio
Si centri in C e con raggio più grande possibile, si descriva una semicirconferenza che determina sul segmento
dato AB i punti 1 e 2, si centri in 1 e in 2 e con un medesimo raggio a piacere, più grande possibile, si
determini il punto D, la retta CD è la perpendicolare cercata.

3) Perpendicolare ad una retta da un punto P fuori da essa
Si centri in C con raggio più grande possibile, si descriva l’arco 1-2, si centri in 1 e 2 con raggi uguali tra loro
e si determini il punto D. La retta CD è la perpendicolare cercata.

4 – 5 – 6 ) Dividere il segmento AB in un numero qualsiasi di parti
Sfruttando il teorema di Talete si conduca da un estremo A una retta qualunque AB( per il n ° 4-5) o AE (per
il n ° 6) e su questa a partire da A si riportano tanti segmenti consecutivi uguali ad un segmento arbitrario,
quante sono le parti in cui si vuole dividere il segmento dato.

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GLI ANGOLI
Si intende per angolo ciascuna delle due parti di
piano delimitate da due semirette che hanno
l'origine in comune. Si chiamano lati le due
semirette, vertice l'origine comune. Gli angoli si
misurano in gradi sessagesimali. La misura di un
angolo si indica con il termine ampiezza (ad
esempio ampiezza 90°) e lo strumento di misura
degli angoli è il goniometro.
Rispetto alla sua ampiezza l'angolo può essere di
diversi tipi:
Retto: se ha ampiezza 90°;
Acuto: se l'ampiezza è minore di 90°;
Ottuso: se l'ampiezza è maggiore di 90°;
Piatto: se i suoi lati sono uno sul prolungamento
dell'altro; esso ha ampiezza 180°;
Giro: quando i lati coincidono; l'ampiezza è di
360°;

Rispetto alla loro posizione gli angoli possono
essere :
• consecutivi: quando hanno un vertice e un
lato in comune
• adiacenti: quando hanno un vertice e un
lato in comune e gli altri due lati sono sulla
stessa retta;
• opposti al vertice: quando hanno un vertice
in comune e lati sono rispettivamente il
prolungamento dei medesimi oltre il
vertice.

Rispetto alla loro somma gli angoli possono essere
. complementari: quando la loro somma è 90°;
. supplementari: quando la loro somma è 180°




convesso : quando l'ampiezza è minore di
180° (in questo caso l'angolo non contiene
il prolungamento dei suoi lati);
concavo: quando l'ampiezza è maggiore di
180° (in questo caso l'angolo contiene il
prolungamento dei suoi lati).

Definiamo infine bisettrice la semiretta che
partendo dal vertice divide l'angolo in due parti
uguali.

CHIEREGATO MARCO

LUOGHI GEOMETRICI
Si dice luogo geometrico o luogo l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono
di una proprietà comune.
SONO LUOGHI GEOMETRICI:
L’asse di un segmento, la bisettrice di un angolo, la circonferenza, l’iperbole, la
parabola, l’ellisse, le altezze di un triangolo equilatero, le diagonali di un rombo, ecc…
ASSE DI UN SEGMENTO
Si definisce asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento stesso e passante
per il suo punto medio.
L’asse di un segmento è un luogo geometrico perchè tutti i sui punti godono della stessa
proprietà di essere equidistanti dagli estremi del segmento.

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Tavola n ° 2

1) Bisettrice di un angolo
Si centri nel vertice V con raggio ad arbitrio e si descriva l’arco 1-2, si centri in 1 e in 2 e si descriva il punto
3. Congiungendo il punto 3 con il punto V si troverà la bisettrice cercata.

2) Trisezione dell’angolo retto
Dato l’angolo retto con vertice V, si centri in V e con raggio a piacere, si tracci un arco che determina sui lati
dell’angolo retto i punti 1 e 2. Si centri in 1 e in 2 con lo stesso raggio V2 e si determinano sull’arco tracciato
i punti 3 e 4. L’angolo retto V21 risulta quindi diviso in tre parti uguali.

3) Somma di due angoli dati
Si tracci un segmento AB, si tracci un angolo puntando in A con apertura arbitraria e si determina il punto 1,
si punti in 1 con apertura 1-2 (nella figura in alto) e si determini il punto 2, si punti in 2 con apertura 3-4 e si
determini il punto 3

4) Differenza di due angoli dati
Si tracci il segmento AB, si punti in A = alla qualsiasi precedente e si tracci un arco determinando il punto 1;
si centri in 1 con apertura 1-2 (nella figura in alto) e si determini il punto 2; si centri in 2 con apertura 3-4 e si
determini il punto 3. Si congiunge 2 e 3 con A. La figura degli angoli cercata è delimitata dai punti A-1-3.

5) Parallela ad una retta a distanza data
Si determinano a piacere i punti 1 e 2 sulla retta r e si innalzano da questi le rispettive perpendicolari. Si
centra in 1 e 2 con apertura di compasso uguale alla distanza D e si trovino i punti 3 e 4 per i quali passa la
parallela richiesta.

6) Parallela ad una retta passante per un punto P
Si congiunge il punto 1, preso a piacere sulla retta r, con il punto P.
Si centra in 1 con apertura di compasso 1P e si interseca la retta r nel punto 2.
Con la stessa apertura si centra in P e si traccia un arco passante per il punto 1
Si centra in 1 con apertura P2 e si interseca sull’ultimo arco tracciato il punto 3.
La parallela richiesta passa per i punti P e 3.

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IL TRIANGOLO
Il triangolo è il poligono più semplice: ha tre lati,
tre angoli tre vertici e la somma degli angoli è
sempre 180°.
Rispetto ai lati il triangolo può essere:
- equilatero: quando tutti i lati sono uguali;
- isoscele: quando due lati sono uguali;
- scaleno: quando i tre lati sono diversi fra loro;
- mistilineo: quando uno o più lati sono curvi

- altezza: la perpendicolare per il vertice al lato
opposto;
- asse: la perpendicolare per il punto medio di un
lato;
- baricentro: il punto d'incontro delle tre mediane;
- ortocentro: il punto d'incontro delle tre altezze;
- circocentro: il punto d'incontro dei tre assi; esso è
anche il centro del cerchio circoscritto al triangolo;
- incentro: il punto d'incontro delle tre bisettrici;
esso è anche il centro del cerchio inscritto nel
triangolo.

QUADRANGOLI
I quadrangoli o quadrilateri sono poligoni a quattro
lati e si distinguono in parallelogrammi, tripezi,
quadrilateri generici.

Rispetto agli angoli il triangolo può essere:
- acutangolo: se tutti gli angoli sono acuti;
- ottusangolo: se ha un angolo ottuso;
- rettangolo: se ha un angolo retto; in questo caso i
due lati formano l'angolo retto prendono il nome di
cateti e l'altro ipotenusa.

Parallelogrammi
Hanno i lati opposti paralleli e gli angoli opposti
uguali
Appartengono a questa famiglia:
• il quadrato, parallelogrammo con quattro
angoli retti e quattro lati uguali;
• il rettangolo, parallelogrammo con quattro
angoli retti e diagonali uguali che si
incontrano nei loro punti medi;
- il rombo (o losanga), parallelogrammo con le
diagonali che sono le bisettrici degli angoli e si
incontrano nei loro punti medi.

Trapezi
Hanno due lati paralleli. Appartengono a questa
famiglia:
- il trapezio rettangolo, che ha due angoli retti;
- il trapezio isoscele, che ha due lati uguali;

Definiamo inoltre :
- mediana: il segmento che unisce un vertice con il
punto medio del lato opposto;

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I QUADRILATERI
Si dice poligono la parte di piano limitata da una
linea spezzata semplice chiusa.
I poligoni sono individuati, in base al numero degli
angoli o dei lati, in:


TRIANGOLO O TRILATERO (3 LATI)



QUADRANGOLO
QUADRILATERO ( 4 LATI )

O
Gli altri poligoni sono individuati dalla dicitura
poligono di (13, 14, 16,17,18, 19,21...) lati.
I vertici del poligono sono individuati da lettere
maiuscole dell'alfabeto latino (A, B, C, ...).
Gli elementi del poligono sono:
- lato: ognuno dei segmenti della spezzata che
individua il poligono;
- perimetro: la serie dei segmenti della spezzata
del poligono;
- vertice: il punto d'incontro di due lati
consecutivi;
- diagonali: i segmenti che uniscono due vertici
non consecutivi.
Chiamiamo convesso il poligono che non è
intercettato dal prolungamento dei suoi lati,
concavo il caso contrario; equilatero il poligono
che ha tutti i lati uguali, equiangolo il poligono
che ha tutti gli angoli uguali, equivalenti i poligoni
che hanno la stessa area.

pentagono (5 lati)
esagono (6 lati)
ettagono (7 lati)
ottagono (8 lati)
ennagono (9 lati)
decagono (10 lati)
endecagono (11 lati)
dodecagono (12 lati)
pentadecagono (15 lati)
icosagono (20 lati)

I poligoni regolari sono poligoni con i lati e gli
angoli uguali.
Nei poligoni regolari si dice:
- centro: il punto interno al perimetro che è
equidistante dai lati e dai vertici;
- apotema: il segmento che va dal centro al punto
medio di un lato.
Un poligono regolare si di ce circoscritto a una
circonferenza quando i suoi lati sono tutti tangenti
alla medesima inscritto in una circonferenza
quando i suoi vertici sono contenuti su di essa. I
poligoni regolari possono sempre essere circoscritti
o inscritti rispetto a una circonferenza.

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Tavola n ° 3
1) Pentagono regolare dato il lato
Si centra in A e B, estremi di un segmento AB di lunghezza uguale al lato del pentagono, con apertura di
compasso uguale ad AB si tracciano due archi di circonferenza che si intersecano nel punto 1.
Dal punto 1 si traccia l’asse del segmento AB ( la perpendicolare al segmento ) la cui intersezione con il
segmento stesso ne individua il punto medio M.
Dal punto A si innalza un perpendicolare ad AB fino a incontrare nel punto 2 l’arco tracciato in precedenza
con centro in A e raggio AB .
Si centra in M con apertura uguale ad M2 e si traccia un arco di circonferenza che interseca il prolungamento
del segmento AB nel punto 3 .
Si centra in B con apertura uguale a B3 e si traccia un arco di circonferenza che interseca l’arco tracciato con
centro in A e raggio AB nel punto E che interseca l’asse di AB nel punto D .
Si centra in D con apertura uguale al lato del pentagono e si traccia un arco di circonferenza che interseca
l’arco tracciato con centro in B e raggio AB nel punto C .
Sono così definiti i cinque vertici A, B, C, D, E, del pentagono richiesto.

2) Esagono regolare dato il lato
Si centra in A e B estremi di un segmento AB di lunghezza uguale al lato dell’esagono, con apertura di
compasso uguale ad AB e si tracciano due archi di circonferenza che si intersecano nel punto O, centro del
cerchio circoscritto all’esagono richiesto.

3) Disegnare un poligono con un numero qualunque di lati (es. 13)
Si disegni il segmento AB, si centra in A e B con apertura = ad AB e ci descrivano due archi che vanno a
determinare il punto 1. Si tracci il segmento 1B e lo si divida in sei parti uguali e si porti da 1 a O un numero
di divisioni pari al numero di lati del poligono da ottenere meno sei, per esempio tredici
lati
13 – 6 = 7. O è il centro del poligono cercato.

4) Pentagono inscritto in una circonferenza
Si tracciano i diametri perpendicolari 1-2 e 3-4, si centri in 5, punto medio di 1Oe con raggio 5-3 si descriva l’
arco 3-6, AB = 3-6 è la corda sottesa cinque volte nella circonferenza data.

5) Esagono inscritto in una circonferenza
Si tracci li diametro FC, si centri in F e C con apertura uguale al raggio della circonferenza e si descrivano gli
archi che si intersecano con la circonferenza nei punti AE – BD.
Congiungendo i punti ABCDEF si ottiene l’esagono cercato.

6) Numero qualunque di lati (es. 13) inscritti in una circonferenza
Si descriva il diametro 1-2 e lo si divida in tante parti quante sono i lati del poligono (es. 13). Si centri in 1 e 2
e con raggio uguale al diametro si descriva il punto C. Si unisca il punto C con il punto 3 e lo si prolunghi fin
sulla circonferenza determinando il punto B. Il segmento AB è il lato del poligono che riportato n ° volte sulla
circonferenza descrive il poligono cercato.

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Tavola n ° 4
1) Triangolo equilatero dato il lato
Si tracci il segmento AB uguale al lato l e centrando in A e B con raggio uguale ad l si tracciano due archi che
si incontrano nel punto C, terzo vertice del triangolo cercato.

2) Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza data
Si traccia un dimetro che interseca la circonferenza nei punti A e B. Si centra in A e in B con apertura di
compasso uguale al raggio della circonferenza e si traccia un arco che interseca la circonferenza nei punti C e
D. Congiungendo il punto B con C e D si ottiene il triangolo richiesto.

3) Triangolo rettangolo dati l’ipotenusa e un cateto
Si traccia una semicirconferenza di diametro A-B uguale all’ipotenusa a . Si centra in A con apertura di
compasso uguale alla lunghezza del cateto noto c e si traccia un arco che interseca la circonferenza in un
punto C. Congiungendo il punto C con A e con B si ottiene il triangolo richiesto.

4) Triangolo rettangolo dati i cateti
Si costruisce l’angolo retto con vertice A. Si riportano sui lati, a partire da A, le misure h e b dei cateti
ottenendo i punti B e C. Congiungendo il punto B con C si ottiene il triangolo richiesto.

5) Triangolo isoscele dati la base e il lato obliquo
Si centra in A e in B, estremi del segmento AB di lunghezza uguale alla base del triangolo, con apertura di
compasso uguale alla lunghezza del lato obliquo l e si tracciano gli archi che si intersecano in C.
Congiungendo il punto C con A e B si ottiene il triangolo richiesto.

6) Triangolo scaleno dati i lati
Si centra negli estremi del segmento AB uguale a un lato, in A con apertura di compasso uguale alla
lunghezza del secondo lato l e in B con apertura di compasso uguale alla lunghezza del terzo lato l’e si
tracciano due archi di circonferenza che si intersecano in C individuando il triangolo richiesto.

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Tavola n ° 5
1) Quadrato di lato dato
Sull’estremo A di un segmento AB, di lunghezza l uguale a quella del lato del quadrato, si innalza una
perpendicolare al segmento con uno dei metodi descritti. Si centra in A con apertura di compasso uguale a l e
si traccia un arco di circonferenza che interseca nel punto D la perpendicolare ad AB uscente da A. Si centri in
D e in B con la stessa apertura e si tracciano due archi di circonferenza la cui intersezione individua il punto
C. Sono così definiti i quattro vertici A, B, C, D del quadrato richiesto.

2) Quadrato data la diagonale
Sull’estremo A di una semiretta r si innalza una perpendicolare alla semiretta stessa con uno dei metodi
descritti. Si costruisce la bisettrice dell’angolo retto in A e si riporta su di essa a partire da A la lunghezza d
della diagonale individuando il punto C. Si costruisce la perpendicolare alla semiretta r passante per C in
modo da trovare il punto B. Si centra in A con apertura di compasso AB e si riporta sulla perpendicolare alla
semiretta r uscente da A il segmento AB individuando il punto D. Sono così definiti i quattro vertici A,B,C,D,
del quadrato richiesto.

3) Rettangolo date la base e l’altezza
Si tracci un segmento AB = b, da B si conduca la perpendicolare ad AB e su di essa si porti un segmento BC
uguale ad h dal cui estremo C si centri per descrivere un arco di raggio b che, intersecando un arco di raggio h
e di centro A, determina il quarto vertice D del triangolo cercato.

4) Rettangolo date la base e la diagonale
Sull’estremo A di un segmento AB, di lunghezza b uguale alla base, si innalza una perpendicolare al
segmento. Si centra in B con apertura di compasso uguale alla lunghezza d della diagonale e si traccia un arco
che interseca in D la perpendicolare uscente da A. Si centra in D con apertura uguale a b e in B con apertura
uguale a AD e si tracciano due archi di circonferenza la cui intersezione individua il punto C. Sono così
definiti i quattro vertici A,B,C,D del rettangolo richiesto.

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Tavola n ° 6
1) Rombo dati il lato e un angolo
Con vertice nell’estrema A di un segmento AB, di lunghezza uguale al lato del rombo, si costruisce un angolo
uguale a quello disegnato α. Si centra in A con apertura di compasso uguale ad AB e si traccia un arco di
circonferenza che intercetta il lato dell’angolo nel punto D. Si centra in B e in D con apertura uguale lato del
rombo e si tracciano degli archi di circonferenza che si intersecano nel punto C. Sono così definiti i quattro
vertici A,B,C,D del rombo richiesto.

2) Rombo date le diagonali
Si tracci il segmento AC = d ’ e se ne conduca l’asse sul quale si porti simmetricamente ad O la diagonale DB
= d. ABCD è il rombo cercato.

3) Trapezio isoscele dati la base maggiore, il lato obliquo e l’angolo alla base
Si costruiscono due angoli, uguali a quello assegnato α, agli estremi A e B di un segmento AB di lunghezza
uguale alla base maggiore del trapezio. Si riporta la lunghezza del lato obliquo sul prolungamento dei lati dei
due angoli dividendo i punti C e D. Sono così definiti i quattro vertici A,B,C,D del trapezio richiesto.

4) Trapezio isoscele date le basi e l’altezza
Si innalza la perpendicolare per il punto medio M di un segmento AB di lunghezza uguale alla base maggiore
del trapezio. Si riporta sulla perpendicolare, a partire da M, l’altezza del trapezio trovando il punto H. Si
traccia la parallela ad AB passante per H . Si centra in H con aperture di compasso uguale alla metà della
base minore del trapezio e si riporta questa distanza sulla parallela ad AB individuando i punti C e D. Sono
così definiti i quattro vertici A,B,C,D del trapezio richiesto.

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Tavola n ° 7

Regola generale per la costruzione dei poligoni regolari dato il lato
Si centra in A e B, estremi di un segmento AB di lunghezza uguale al lato del poligono, con apertura di
compasso uguale ad AB e si tracciano due archi di circonferenza che si intersecano nel punto O, centro della
circonferenza di raggio uguale ad AB passante per e per B; il punto O costituisce il punto di partenza per la
costruzione dei poligoni. Si divide il raggio OO’, appartenente all’asse del segmento AB, in sei parti uguali
ottenendo i punti da 6 (coincidente con O) a 12 (coincidente con O’) che sono i centri delle circonferenze
circoscritte ai poligoni di corrispondente numero di lati. Per ottenere il poligono voluto è ora sufficiente
riportare la misura del lato sulla circonferenza, individuando i vertici. Proseguendo nella divisione in parti
uguali dell’asse di AB al di sopra del punto O’ si ottengono i centri dei poligoni regolari con più di dodici lati.
Il centro 5 della circonferenza circoscritta al pentagono si ottiene riportando il segmento O5 al di sotto di O.

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LA CIRCONFERENZA
Si definisce circonferenza la linea costituita dai
punti di un piano equidistanti da un punto fisso
detto centro, cerchio Ia superficie interna della
figura geometrica individuata dalla circonferenza.
Inoltre ricordiamo le seguenti definizioni :
Raggio: ciascun segmento che unisce il centro con
un punto della circonferenza.
Arco: tratto di
circonferenza
individuato da due
punti
che
ne
costituiscono
gli
estremi. Si indica
con i punti estremi e
una piccola curva,
su
questi;
ad
esempio
l'arco
individuato
dai
punti A e B si
indica, AB . Semicirconferenza: arco uguale a
metà circonferenza.
Corda: segmento che unisce due punti della
circonferenza individuando nel contempo un arco;
la corda si dice sottesa all'arco e l'arco, a sua volta,
sottende la corda.
Saetta o freccia: segmento perpendicolare alla
corda che unisce il punto medio di questa alla
circonferenza.
Diametro: corda che passa per il centro, uguale a
due volte il raggio.
Semicerchio: ognuna delle due parti in cui il
cerchio resta diviso dal suo diametro.
Segmento circolare a una base: ciascuna delle
due parti di un cerchio diviso da una corda.
Segmento circolare a due basi: parte del cerchio
compresa fra due corde.
Segmento o settore circolare: parte di cerchio
delimitata da due raggi e dall'arco fra questi
compreso; può essere convesso o concavo.
Quadrante: parte di cerchio delimitata da due

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raggi fra loro perpendicolari (due diametri
perpendicolari dividono il cerchio in quattro
quadranti).
Crona circolare: parte di cerchio compresa fra due
circonferenze concentriche (cioè che hanno Io
stesso centro).
Tangente : retta che ha un punto di contatto con Ia
circonferenza ed è perpendicolare al raggio che
congiunge il punto di contatto con il centro
Secante: retta che incontra la circonferenza in due
punti.

Le circonferenze concentriche sono due o più
circonferenze aventi il centro in comune, sono
invece eccentriche quando non hanno in comune il
centro e sono una interna all'altra.

Le circonferenze sono tangenti se hanno un sol
punto in comune: tangenti interne se tutti i punti di
una circonferenza sono interni all'altra e hanno un
punto in comune; tangenti esterne se le due
circonferenze sono una esterna all'altra e hanno un
punto di contatto in comune. Due circonferenze
sono secanti quando hanno in comune due punti;
esterne quando non hanno alcun punto in comune.

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TANGENZE E RACCORDI

• Due circonferenze sono tangenti in un punto

quando hanno in quel punto la stessa retta normale
e quindi la stessa retta tangente.
• Due curve si raccordano in un punto P quando in
qual punto cambia il loro raggio di curvatura ma si
mantiene costante la tangente e la normale

fig 4

fig 3

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Tavola n ° 8
1) Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto P
Si tracci la circonferenza di raggio dato e il corrispondente raggio prolungandolo esternamente alla
circonferenza per determinare il punto P.
Si costruisca la perpendicolare sul punto, P e si congiungano i due punti trovati.

2) Circonferenza tangente a una retta e passante per un punto esterno alla retta
Si unisce il punto A, estremo della retta r con il punto di tangenza P. Si costruisce l’asse del segmento AP. Si
traccia la perpendicolare alla retta r passante per P. L’asse del segmento AP interseca la perpendicolare alla
retta r nel punto O che è il centro della circonferenza di raggio OP e passante per A.

3) Circonferenza tangente ad una circonferenza e passante per un punto A esterno a
essa.
Si unisce il punto A esterno alla circonferenza di centro O con il punto di tangenza P. Si costruisce l’asse del
segmento AP. L’asse del segmento AP interseca la retta passante per O e per P nel punto O’, che è il centro
della circonferenza tangente a quella di centro O e passante per A.

4) Rette tangenti a una circonferenza e passanti per un punto P esterno a essa
Si unisce O con P e si costruisce l’asse del segmento OP che ne individua il punto medio M.
Si centra in M con apertura di compasso uguale a OM e si traccia un arco di circonferenza che interseca la
circonferenza nei punti 1 e 2 che sono i punti di tangenza (le congiungenti P1 e P2 formano un angolo di 90°
con rispettivamente O1 e O2).

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Tavola n ° 9
1) Circonferenza passante per tre punti A,B,C non allineati
Si costruiscono gli assi del segmento AB e BC, ottenuti congiungendo a due a due i punti A,B e C. Il punto O,
intersezione tra i due assi, è il centro della circonferenza richiesta.

2) Circonferenza inscritta in un triangolo
E’ sufficiente tracciare le bisettrici di due angoli: il loro punto di intersezione O è il centro della circonferenza
richiesta e il raggio O1 si ottiene tracciando la perpendicolare, passante per O, a un lato.

3) Tangenti comuni a due circonferenze che si intersecano in un punto esterno alla
congiungente dei raggi
Si congiungono i centri O e O’ delle due circonferenze. Si traccia una circonferenza concentrica a quella di
raggio maggiore e di diametro uguale alla differenza dei due raggi. Si procede come nella costruzione (tavola
n ° 8 es. 4) tracciando, a partire da O’, le tangenti alla nuova circonferenza passanti per i punti 2 e 3. Si
prolungano i raggi uscenti da O e passanti per 2 e 3 determinando sulla circonferenza maggiore i punti 4 e 5.
Si tracciano, da 4 e da 5, le parallele alle tangenti O’2 e O’3 individuando i punti 6 e 7 sulla circonferenza
minore. Le rette passanti per i punti 4 e 6, e per 5 e 7 sono le tangenti richieste.

4) Costruzione di tre o più circonferenze inscritte in una circonferenza e tangenti fra loro
La costruzione è di tipo generale e vale per tutti i casi. Si suddivide la circonferenza in tante parti quante sono
le circonferenze da inscrivere. Si traccia la bisettrice di un angolo al centro formato dai raggi passanti per due
punti di suddivisione consecutivi 1 e 2, che determina i punto V sulla tangente alla circonferenza passante per
1. Si traccia la bisettrice dell’angolo in V che incontra in O’ il raggio O1. Si centra in O con apertura di
compasso OO’ e si traccia una circonferenza che interseca tutti i raggi, O1,O2,…..,O8, individuando così i
centri delle circonferenze tra loro tangenti e inscritte nella circonferenza di centro O. I punti di tangenza fra le
circonferenze sono dati dalle congiungenti dei rispettivi centri. E’ possibile, infine, tracciare una circonferenza
interna tangente a tutte le circonferenze inscritte.

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Tavola n ° 10
1) Raccordo di due semirette perpendicolari fra loro
Si centra in V con apertura di compasso a piacere e si traccia un arco di circonferenza che incontra le rette nei
punti 1 e 2.
Si centra in 1 e in 2 con la stessa apertura e si tracciano due archi che si intersecano in O.
Il punto O è il centro dell’arco di raccordo.
Le congiungenti O1 e O2 sono perpendicolari alle rette s’ e s

2) Raccordo di due semirette formanti un angolo acuto, dato il punto P di raccordo posto
su uno dei lati
Si prolungano le semirette fino a trovare il loro punto di intersezione V.
Si centra in V con apertura di compasso uguale a VP e si traccia un arco di circonferenza che interseca il
secondo lato nel punto 1.
Si traccia la bisettrice dell’angolo con vertice in V.
Si innalza a partire dal punto 1, una perpendicolare della retta s’che incontra la bisettrice nel punto O.
Il punto O è il centro dell’arco di raccordo.

3) Raccordo di due semirette formanti un angolo ottuso, dato il punto P di raccordo
posto su uno dei lati
Si prolungano le semirette trovando il loro punto di intersezione V.
Si centra in V con apertura di compasso uguale a VP e si traccia un arco di circonferenza che interseca il
secondo lato nel punto 1.
Si traccia la perpendicolare alla retta s passante per il punto P e la perpendicolare alla retta s’ passante per il
punto 1: le due perpendicolari si intersecano nel punto O.
Il punto O è il centro dell’arco di raccordo.

4) Raccordo di due rette divergenti, dato il punto P di raccordo posto su una di esse.
Si tracciano due rette, parallele alle rette date a e b, interne a esse e a una stessa distanza, arbitraria da esse.
Le parallele alle rette a e b si intersecano nel punto V.
Si costruisce la bisettrice dell’angolo formato dalle parallele alle rette a e b.
Si traccia la parallela alla retta a passante per il punto P che interseca la bisettrice nel punto O.
Dal punto O si traccia la perpendicolare alla retta b individuando su questa il secondo punto di raccordo P’.
Il punto O è il centro dell’ arco di raccordo.

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Tavola n ° 11
1) Raccordo tra due rette convergenti, dato il raggio r dell’arco di raccordo
Si tracciano due rette, parallele alle rette date a e b, interne a esse e a una distanza da esse uguale al raggio r
dell’arco di raccordo.
Si traccia la perpendicolare alla retta a passante per O punto di intersezione delle parallele alle rette a e b,
individuando il punto di raccordo A.
Si traccia la perpendicolare alla retta b passante per O individuando il punto di raccordo B.
Si centra in O con apertura di compasso uguale a OA e si traccia l’arco di raccordo.

2) Raccordo di un arco di circonferenza di centro O e raggio r e di una sua corda con un
arco di raggio r’
Si centra in O con apertura di compasso uguale a r - r’ e si traccia un arco concentrico a quello dato che
interseca nel punto O’ la parallela alla corda data, tracciata alla distanza r dalla stessa.
La congiungente OO’ interseca l’arco dato nel punto 1 di raccordo.
Si traccia la perpendicolare alla corda data passante per O’ che interseca la corda stessa nel punto 2 di
raccordo.
Il punto O’ è il centro dell’arco di raccordo.

3) Raccordo con arco di circonferenza di raggio dato r, di due circonferenze di raggi r1 e
r2, con centro O1 e O2 e tra loro esterne.
Primo caso
L’arco di raccordo appartiene a una circonferenza tangente esternamente alla circonferenza data.
Il raggio dell’arco di raccordo deve essere uguale o maggiore della semidistanza fra le due circonferenze.
Si traccia da O1, centro della circonferenza di raggio r1, un arco di circonferenza di raggio uguale a r1 + r2.
I due archi si intersecano nel punto O centro dell’arco di raccordo. Unendo O con O1 e O2 si trovano i punti di
tangenza A e B dell’arco con le circonferenze.

4) Raccordo con arco di circonferenza di raggio dato r, di due circonferenze di raggi r1 e
r2, con centro O1 e O2 e tra loro esterne.
Secondo caso
L’arco di raccordo appartiene a una circonferenza che contiene le circonferenze date.
Il raggio di raccordo r deve essere uguale o maggiore alla metà del segmento O1 O2 + r1+ r2.
Si traccia da O1, centro della circonferenza di raggio r1, un arco di circonferenza di raggio uguale a r1 - r2.
Si ripete l’operazione tracciando da O2, centro della circonferenza di raggio r2, con un arco di circonferenza di
raggio uguale a r- r2.
I due archi si intersecano nel punto O centro dell’arco di raccordo. Unendo O con O1 e O2 si trovano
i punti di tangenza A e B dell’arco con le circonferenze.

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Tavola n ° 12
1) Tracciare la tangente ad una circonferenza dato il suo punto P
Si tracci la circonferenza di raggio dato e il corrispondente raggio prolungandolo esternamente alla
circonferenza per determinare il punto P.
Si costruisca la perpendicolare sul punto, P e si congiungano i due punti trovati.

2) Tracciare le circonferenze di raggio dato r tangenti ad una retta dato in un suo punto
P
Si tracci una retta e su un punto qualsiasi di essa si costruisca una perpendicolare su ambedue i lati. Si centri
in O con apertura uguale al raggio dato e si descriva l’arco che individua il centro della circonferenza nei
punti 1 e 2.
Si centri in 1 e in 2 con raggio dato e si descrivano le circonferenze.

3) Tracciare la tangente ad una circonferenza data ad un punto P esterno
Si unisce O con P e si costruisce l’asse del segmento OP che ne individua il punto medio M.
Si centra in M con apertura di compasso uguale a OM e si tracci un arco di circonferenza che interseca la
circonferenza nei punti 1 e 2 che sono i punti di tangenza.

4-5-6) Trasformare i raccordo gli esercizi precedenti
Si applica la stessa costruzione che è stata usata negli esercizi 1-2-3 ma ingrossando un raccordo a piacere.

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Tavola n ° 13
1) Tangenti esterne a due circonferenze di raggio dato
Si centri in O2 e si descriva una circonferenza di raggio uguale alla differenza dei raggi delle circonferenze
date.
Si centri in C, punto medio di O1O2 e con raggio CO2 si determinino i punti D, E , le rette O2D e O2E
incontreranno la circonferenza maggiore nei punti di contatto F e G. Le parallele per O1 alle O2D e O2E
determineranno sulla circonferenza minore i punti di contatto, H,I.
Le rette FH e IG sono le tangenti cercate.

2) Tangenti interne di due circonferenze di raggio dato
Si centri in O2 e si descriva una circonferenza di raggio uguale alla somma dei raggi delle circonferenze date,
questa interseca l’arco di centro C e raggio CO2 nei punti L e M.
Le rette O2L ed O2M incontreranno la circonferenza maggiore nei punti di contatto N e P.
Le parallele per O1 alle O2L alle O2M incontreranno sulla circonferenza minore i punti di contatto Q e R. Le
rette NQ e PR sono le Tangenti interne cercate.

3-4) Trasformare in raccordo gli esercizi precedenti
Si applica la stessa costruzione che è stata usata negli esercizi 1-2 ma ingrossando uno o più raccordi a
piacere.

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Tavola n ° 14
1) Circonferenza di raggio dato r tangente a due rette assegnate
Si traccino le due rette assegnate, e su ognuna di esse si descrivano due perpendicolari da ambedue le parti a
distanza arbitraria l’una dall’altra.
Si centri nel punto sulla retta, in cui essa si è incontrata con la perpendicolare e con apertura di raggio dato si
descriva un arco sulle perpendicolari individuando i punti 1 e 2 nella prima perpendicolare e i punti 3 e 4 nella
seconda perpendicolare.
Si congiungano i punti (1-3) - (1’-3’) e i punti (2-4) - (2’- 4’) in modo che intersecandosi si trovino i centri
delle circonferenze a distanza data.
Si descriva la perpendicolare da ugni centro delle circonferenze a entrambe le rette assegnate in modo da
individuare i due punti di tangenza di ogni circonferenza.

2) Circonferenza di raggio dato r tangente ad una retta e a due circonferenze assegnate
Si descriva la prima circonferenza di raggio dato e la retta a distanza arbitraria.
Si centri in O con apertura uguale alla somma della prima e della seconda circonferenza e si descriva un arco
di circonferenza.
Si descrivano due perpendicolari sulla retta a distanza arbitraria l’una dall’altra e centrando nel punto in cui si
intersecano con la retta si descrivano i punti 1 e 2.
Congiungendo i punti 1 e 2 si trovano i centri delle due circonferenze sull’arco prima descritto.

3-4) Trasformare in raccordo gli esercizi precedenti
Si applica la stessa costruzione che è stata usata negli esercizi 1-2 ma ingrossando uno o più raccordi a
piacere.

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CURVE POLICENTRICHE PIANE

Tavola n ° 15
1) Costruzione di un ovale dato l’asse minore AB
Si tracci l’asse del segmento AB e centrando in O, punto medio di AB, con raggio OA si determinano i punti
C e D sull’asse maggiore. Si centri in A e in B con raggio AB e si tracciano due archi che incontrano le rette
AC, AD, BC e BD nei punti di raccordo E, F, G, H . Centrando in C e D, con raggio CE, si completi l’ovale
raccordando i due archi precedenti.

2) Costruzione di un ovale dato l’asse maggiore
Si divida l’asse AB in tre parti uguali, nei punti di divisione C, D si descrivano due circonferenze di raggio
AC che si incontrano nei punti E, F, si uniscono E ed F con C e con D e si determinano i punti di raccordo G,
H, I, L; si centri in E ed F con raggio EG e si completi l’ovale raccordando le due prime circonferenze
tracciate.

3) Costruzione di un ovale dato l’asse maggiore
Si divida l’asse AB in quattro pari uguali e centrando nei punti di divisione C, E si descrivano due
circonferenze di raggio AC e due archi di circonferenza di raggio CE che si incontrano nei punti F, G; si
uniscono F,G con C ed E e si determinano i punti di raccordo H, I, L, M. Centrando in F e in G, con raggio
FH, si completi l’ovale raccordando le due circonferenze prima tracciate.

4) Costruire l’ovale dati i due assi AB e CD .
Si tracciano i segmenti AB e CD perpendicolari fra loro e tagliantisi nel punto medio O.
Si centri in O con e con raggio OA si determini il punto E sulla retta CD.
Centrando in C con raggio CE si determini il punto F sul segmento BC. Si tracci l’asse del segmento BF che
incontra le AB e CD nei punti G ed H; si determinino i loro simmetrici L ed I rispetto ad O e centrando in H
ed I con raggio CH si traccino due archi che incontrano le rette HG, HL, IL, ed IG nei punti di raccordo N, M,
Q e P. Si completi l’ovale raccordando i due archi tracciati con altri due di centro G ed L.

5) Disegnare la spirale di Archimede dato il passo p
Tracciato il segmento OA uguale al passo p si descriva la circonferenza di raggio OA e la si divida assieme al
suo raggio in uno stesso numero di parti uguali che si numerano come i figura; tracciate per i punti di
divisione della circonferenza delle semirette uscenti da O, si descrivano gli archi concentrici di centro O
passanti per i punti di divisione di OA fino ad incontrare le corrispondenti semirette in punti della spirale
cercata. Per prolungare la spirale si portino da ciascun punto precedentemente trovato, sul relativo raggio, dei
segmenti uguali al passo p

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