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eq.diofanteo .pdf



Nome del file originale: eq.diofanteo.pdf

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Le equazioni diofantee X 4 +Y 4 = Z 2 , X 4 +Y 4 = Z 4

Innanzitutto, cominciamo con il ricordare l’enunciato del celeberrimo:
“Ultimo” Teorema di Fermat.
L’equazione
X n + Y n = Z n , con n ≥ 3 ,
non ammette soluzioni intere (x, y, z) con xyz 6= 0.
Ci limitiamo qui a dare qualche informazione essenziale su tale enunciato, rinviando per annotazioni storiche ad una vasta ed eccellente bibliografia disponibile sull’argomento (cfr. E.T. Bell [2], H.M. Edwards [5], P.
Ribenboim [11], S. Singh [14], A. van der Porten [15], A. Weil [16]).
Fermat ha scritto tale enunciato in una nota a margine della sua copia
dell’Arithmetica di Diofanto attorno al 1635. Molto probabilmente il nome di
Ultimo Teorema di Fermat (in breve, UTF) deriva dal fatto che dei numerosi
teoremi enunciati da Fermat questo `e l’ultimo del quale, fino al 1995, non
si conosceva ancora una risposta definitiva sulla sua validit`a. Negli oltre tre
secoli dalla morte di Fermat, molti illustri matematici hanno lavorato su tale
problema.
Finalmente nel 1995, A. Wiles utilizzando una variet`a di risultati profondi, sviluppati in molteplici settori della matematica ed, in particolare,
ponendosi nell’ambito della teoria delle curve ellittiche ha dimostrato la
celebre Congettura di Taniyama–Shimura, la quale era gi`a noto implicare
l’UTF (risultati di G. Frey, J.-P. Serre, K. Ribet).
Non `e dato di sapere con certezza se Fermat avesse veramente trovato
una dimostrazione per l’UTF, ma ci`o sembra improbabile. Opinione diffusa
`e che egli abbia avuto l’idea, estremamente geniale, di operare in quello che
oggi si chiama anello degli interi del campo delle radici n–esime dell’unit`a,
idea perseguita successivamente da E. Kummer attorno al 1850, e di aver
“ingenuamente” creduto che tale anello, come l’anello Z degli interi, fosse
sempre un dominio a fattorizzazione unica (in breve, UFD); ma ci`o in generale non `e vero. Anzi, nel 1964, C.L. Siegel ha dimostrato, dopo un lungo
percorso al quale hanno contribuito numerosi matematici, che tale anello `e
un UFD solamente per un numero finito di valori di n.
In ogni caso, Fermat stesso dimostr`o completamente la validit`a dell’UTF
nel caso n = 4 (e questa `e una delle poche dimostrazioni complete di tutta
la sua opera in Teoria dei Numeri). Per far ci`o, egli applic`o il suo metodo
della “discesa infinita” di cui era, a ragione, particolarmente orgoglioso.
Il caso n = 4 ha un rilievo particolare perch´e permette di ricondurre

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l’enunciato dell’UTF ad uno analogo, relativo “solamente” ad esponenti
primi dispari. Infatti, `e evidente che se l’UTF `e dimostrato per un esponente m, esso `e pure dimostrato per ogni multiplo di m. Infatti, per ogni
k ≥ 1, si ha che:
X km + Y km = Z km

se e soltanto se U m + V m = W m

dove U = X k , V = Y k , W = Z k . Poich´e ogni intero n ≥ 3 `e divisibile per
4 oppure per un primo dispari p, `e evidente che basta dimostrare l’UTF nel
caso in cui n = 4 e in quello in cui n = p `e un primo dispari.
In questo paragrafo ci proponiamo di dare una dimostrazione completa
dell’UTF nel caso n = 4.
Osserviamo, innanzitutto, che:
Proposizione 2.1. Se l’equazione diofantea:
X4 + Y 4 = Z2

(2.1.1)

non ha soluzioni (x, y, z) non banali (cio`e con xyz 6= 0), allora l’equazione
diofantea:
X4 + Y 4 = Z4

(2.1.2)

non ha soluzioni (x, y, z) non banali.
Dimostrazione. Se (x0 , y0 , z0 ) fosse una soluzione non banale (cio`e x0 y0 z0 6=
0) di (2.1.2), allora (x0 , y0 , z02 ) sarebbe una soluzione non banale di (2.1.1).


Vogliamo ora dimostrare che l’equazione diofantea (2.1.1) non ha soluzioni
non banali, utilizzando il metodo della discesa infinita di Fermat. A tal scopo
supporremo che esista una soluzione (x, y, z) di (2.1.1) con x 6= 0, y 6= 0,
e z 0; ne sceglieremo una del tipo suddetto con z minimo positivo ed
applicando, essenzialmente due volte, il teorema fondamentale sulle terne
pitagoriche, mostreremo che `e possibile trovare un’altra soluzione (x1 , y1 , z1 )
di (2.1.1) con x1 6= 0, y1 6= 0 e z z1 0, pervenendo cos`ı ad un assurdo.
Teorema 2.2. L’equazione diofantea:
(2.1.1)

X4 + Y 4 = Z2

non ammette soluzioni intere (x, y, z) con xyz 6= 0.
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Dimostrazione. Supponiamo che esistano soluzioni non banali di (2.1.1).
Consideriamo allora una soluzione (x, y, z) di (2.1.1) con x 6= 0, y 6= 0, z > 0
e z il minimo intero positivo per il quale (x, y, z) sia una soluzione non banale
di (2.1.1). Possiamo, ovviamente, supporre che anche x ed y siano positivi.
I Passo: MCD(x, y) = d = 1.
Se, per assurdo, d 6= 1, poich´e d 4 | (x4 + y 4 ) e quindi d2 | z (basta ragionare sui fattori primi di d), allora xd , yd , dz2 sarebbe ancora una soluzione
(intera) di (2.1.1) con z dz2 0.
II Passo: x2 = 2ab, y 2 = a2 − b2 , z = a2 + b2 con a, b ∈ Z, 0 b a, a
dispari e b pari e MCD(a, b) = 1.
Essendo MCD(x, y) = 1, (x2 , y 2 , z) `e una terna pitagorica primitiva.
Quindi, a meno di un eventuale (ma inessenziale) scambio tra x e y, esistono a, b ∈ Z, a b 0, tali che x2 = 2ab, y 2 = a2 − b2 , z = a2 + b2 ,
MCD(a, b) = 1 e a 6≡ b (mod 2) (cfr. Teorema 1.8). Se, per assurdo, a fosse
pari, allora b sarebbe dispari e, quindi, y 2 ≡ −b2 ≡ −1 ≡ 3 (mod 4), donde
una contraddizione, perch´e una quadrato di un intero `e congruo a 0 oppure
1 (mod 4).
III Passo: b = 2uv, y = u2 − v 2 , a = u2 + v 2 con u, v ∈ Z, 0
v
u,
MCD(u, v) = 1 e u 6≡ v (mod 2).
Infatti, b2 + y 2 = a2 con b pari e MCD(a, b, c) = 1 , essendo MCD(a, b) =
1; cio`e (b, y, a) `e una terna pitagorica primitiva.
IV Passo: Conclusione.
Dal II e III Passo si ricava che
x2 = 2ab = 4(u2 + v 2 )uv .
Poich´e MCD(u, v)=1, anche MCD(u, u2 +v 2 ) = MCD(v, u2 +v 2 ) = 1, quindi
u, v, u2 + v 2 sono quadrati di interi (Lemma 1.7), dunque:
u = x21 ,

v = y12 ,

u2 + v 2 = z12

con

x1 , y1 , z1 ∈ N+ .

Quindi x41 + y14 = z12 , con x1 6= 0 e y1 6= 0 (ad esempio, se fosse x1 = 0,
allora u = 0, b = 0, x = 0). Inoltre,
z1 ≤ z12 = u2 + v 2 = a ≤ a2

a2 + b2 = z ,

donde la conclusione.


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2

Esercizi e complementi

2.1. Mostrare che l’equazione 1/X 4 +1/Y 4 = 1/Z 4 non ammette soluzioni intere.
[Suggerimento. Se (a, b, c) `e una soluzione intera dell’equazione data, allora moltiplicando ambo i membri per (abc)4 , si ricava che (bc)4 + (ac)4 − (ab)4 = 0.]
2.2. (P. Fermat) Mostrare che l’equazione diofantea
X4 − Y 4 = Z2
non ha soluzioni (x, y, z) con x, y, z > 0.
[Suggerimento. Supponiamo che l’equazione diofantea data abbia soluzioni (x, y, z)
“positive” e sia (x0 , y0 , z0 ) una soluzione con il valore minimo positivo per la x.
` subito visto che MCD(x0 , y0 ) = d = 1, altrimenti (x0 /d, y0 /d, z0 /d) sarebbe
E
un’altra soluzione con x0 /d < x0 .
Caso 1. y0 dispari. Notiamo che (z0 , y02 , x20 ) `e una tppp (= terna pitagorica primitiva
positiva). Quindi z0 = 2st, y02 = s2 − t2 , x20 = s2 + t2 con MCD(s, t) = 1, s > t > 0
ed s 6≡ t (mod 2). D’altra parte
s4 − t4 = (s2 + t2 )(s2 − t2 ) = x20 y02 ,
dunque (s, t, x0 y0 ) `e un’altra soluzione dell’equazione data con s2 < s2 + t2 = x20 e,
quindi, s < x0 .
Caso 2. y0 pari. Notiamo che (y02 , z0 , x20 ) `e una tppp. Quindi
y02 = 2st, z0 = s2 −t2 , x20 = s2 +t2 , con MCD(s, t) = 1 , s > t > 0 ed s 6≡ t (mod 2) .
Si supponga, per fissare le idee, che s sia pari e t dispari. Essendo MCD(2s, t) = 1,
` subito visto
da y02 = 2st, ricaviamo che esistono a, b > 0 tali che 2s = a2 , t = b2 . E
2
che a deve essere pari, quindi a = 2c e, dunque, s = 2c . Da ci`o segue che:
x20 = s2 + t2 = 4c4 + b4 .
Quindi (2c2 , b2 , x0 ) `e una tppp. Pertanto:
2c2 = 2uv, b2 = u2 −v 2 , x0 = u2 +v 2 con MCD(u, v) = 1, u > v > 0 , u 6≡ v (mod 2).
Dunque da c2 = uv, si ricava che u = z 2 e v = w2 . Sostituendo, abbiamo:
b2 = u 2 − v 2 = z 4 − w 4
quindi (z, w, b) `e un’altra soluzione dell’equazione diofantea data con z =
u2 + v 2 = x0 .]

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u <

2.3. (Formulazione di Fermat dell’Esercizio 2.2). Non esiste una terna pitagorica
(x, y, z) tale che (1/2)xy sia un quadrato (cio`e, l’area di un triangolo rettangolo a
lati interi non pu`
o essere uguale all’area di un quadrato con lato intero).
[Suggerimento. Sia (x, y, t) una tp. Se l’area (1/2)xy `e uguale a u2 con u > 0, allora
2xy = 4u2 , quindi:
(x + y)2 = x2 + y 2 + 2xy = z 2 + 4u2
(x − y)2 = x2 + y 2 − 2xy = z 2 − 4u2
pertanto:
(x2 − y 2 )2 = z 4 − (2u)4
e ci`
o contraddice l’Esercizio 2.2.]
2.4. Provare che l’equazione X 4 −Y 4 = 2Z 2 non ha soluzioni negli interi positivi.
[Suggerimento. Sia (x, y, z) una soluzione dell’equazione data. Poich´e x e y devono
essere entrambi dispari, allora si dimostra agevolmente (utilizzando il Lemma 1.7)
che x2 +y 2 = 2a2 , x+y = 2b2 , x−y = 2c2 per opportuni interi (a, b, c) che possiamo
prendere positivi; da qui a2 = b4 + c4 .]
2.5. L’equazione X 4 − 4Y 4 = Z 2 non ha soluzioni negli interi positivi.
[Suggerimento. Riscrivere l’equazione nella forma seguente: (2Y 2 )2 + Z 2 = (X 2 )2 .]
2.6. Mostrare che:
(a) (A.M. Legendre) L’equazione X 4 + Y 4 = 2Z 2 `e risolubile negli interi positivi ed ha come soluzioni intere positive soltanto le terne (k, k, k 2 ), k ≥ 1.
(b) L’equazione X 4 + Y 4 = kZ 2 con 3 ≤ k ≤ 4 non `e risolubile negli interi
positivi.
` chiaro che (k, k, k 2 ) per k ≥ 1 `e una soluzione positiva della
[Suggerimento. (a) E
equazione diofantea assegnata. Viceversa se (x, y, z) `e una terna di interi positivi
tali che x4 +y 4 = 2z 2 con x 6= y allora necessariamente x ≡ y (mod 2). Supponiamo
(per fissare le idee) che x > y e quindi che x2 + y 2 = 2a, x2 − y 2 = 2b per una
opportuna scelta di a, b > 0. Da ci`o si ricava che x2 = a + b, y 2 = a − b e quindi
2z 2 = x4 + y 4 = 2(a2 + b2 ). Pertanto z 2 = a2 + b2 e a2 − b2 = (xy)2 e, quindi,
a4 − b4 = (xyz)2 e ci`
o `e assurdo per l’Esercizio 2.2.
(b) k = 3: basta osservare che l’equazione diofantea U 2 + V 2 = 3Z 2 non `e
risolubile (si ricordi che un quadrato di un intero `e congruo a 0, 1 (mod 4)).
k = 4: basta osservare che X 4 + Y 4 = (2Z)2 non `e risolubile (Teorema 2.2).]
2.7. Verificare che la sola soluzione intera (x, y, z), con MCD(x, y, z) = 1, della
equazione X 4 + Y 4 = 2Z 2 si ha per x = y = z = 1.
[Suggerimento. Le soluzioni dell’equazione data soddisfano anche l’equazione Z 4 −
(XY )4 = ((X 4 − Y 4 )/2)2 , la conclusione discende dagli Esercizi 2.2 e 2.6 (a).]

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